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7.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 99])

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

    (       )
r =    r(z)
       r′(z)
(7.1)

wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben

raus = Arein
(7.2)

7.1.1  Lichtpropagation entlang eines Lichtstrahls

Für eine Gerade haben wir die Geradengleichung

r(z) = r′·z  + r(0)
(7.3)

Wir kennen r(z0) und r(z0) sowie z1 = z0 + d und haben dann

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7.1.2  Lichtpropagation durch eine Linse

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Skizze zur Berechnung der Linsenmatrix

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In Abbildung 7.1.2 ist der Strahlengang von einem Gegenstand mit der Gegenstandshöhe G im Abstand g von der Linse zu einem Bild mit der Bildhöhe B < 0 im Abstand b zur Linse aufgezeichnet. Wir interessieren uns für den grünen Strahl mit der ursprünglichen Steigung rg. Gesucht ist die Steigung rban der Linse im Abstand r = rg = rb.

Wir können die folgenden Gleichungen aufstellen:

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7.1.3  Lichtpropagation durch eine gewölbte Grenzschicht

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Skizze zur Berechnung der Matrix für eine gewölbte Grenzfläche

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In Abbildung 7.1.3 betrachten wir zuerst Winkelbeziehungen

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und die weiteren Beziehungen

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und damit

(   )   (          ) (  )
  r2  =     1    0    r1
  r′2      n2n−2Rn1  nn12   r′1
(7.8)

und mit R →∞ auch für eine ebene Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse

(r  )   (1   0 ) (r )
   2′  =      n1    1′
  r2      0  n2   r1
(7.9)

7.1.4  Lichtpropagation durch eine schräge Grenzschicht

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pict

Skizze zur Berechnung der Matrix für eine schräge Grenzfläche

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Wir betrachten in Abbildung 7.1.4 eine Grenzfläche zwischen Medien mit n1 und n2, die um den Winkel δ gegen die Normale auf die optische Achse geneigt ist.

Wir haben die folgenden Beziehungen:

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Diesmal gibt es zur Matrixgleichung noch einen konstanten Term

(   )   (      ) (  )   (       )
  r2      1  0    r1         0
  r′  =   0  n1   r′  +   n1−n2δ
   2         n2    1        n2
(7.11)

Für δ = 0 erhalten wir das Resultat für eine Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse.

7.1.5  Lichtpropagation bei Reflexion an einem gewölbten Spiegel

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Skizze zur Berechnung der Matrix für einen Spiegel.

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Nach der Abbildung 7.1.5 gelten die folgenden Winkelbeziehungen:

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Mit den Beziehungen r1= tan(γ) γ und r2= tan(β) β erhalten wir

r′=  r′−  2r-
 2    1   R
(7.13)

und

(  )    (       )(   )
 r2       1   0    r1
 r′  =   − 2- 1    r′
  2        R        1
(7.14)

7.1.6  Lichtpropagation bei einem Indexmedium

Wir betrachten hier nach Yariv [Yar75, pp. 106] ein sogenanntes quadratiesches Indexmedium, also ein Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

            [                ]
                 -k2  2    2
n(x,y ) = n0 1 − 2k (x  + y )
(7.15)

Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise

   (    )
d     dr
ds- n ds- =  ∇n  = grad  n
(7.16)

kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist s die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann d∕ds durch d∕dz ersetzt werden.

   (     )            [               ]
-d- n dr-  = n grad    1 − k2(x2 + y2)  = − n0k2-r
dz    dz       0           2k                 k
(7.17)

Da n nicht von z abhängt, ist auch

 d (  dr )     d2r     n  k        [    k          ] d2r
---  n---  = n --2-= − --0-2r = n0  1 − -2-(x2 + y2) ---2
dz    dz       dz        k              2k           dz
(7.18)

Nehmen wir nun weiter an, dass k2
2k(x2 + y2) « 1 ist, so können wir schreiben:

  d2r      n k
n0----=  − -0-2r
  dz2       k
(7.19)

Uns interessiert nur der Abstand r = |r|. Da n0 > 0 ist, kann es eliminiert werden. Damit erhalten wir die Differentialgleichung für paraxiale Strahlen

       (   )
d2r-    k2-
dz2 +    k   r = 0
(7.20)

Wenn der Strahl am Eingang die Position r0 und die Steigung r0hat, ist die Lösung

pict

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k2 > 0 der Länge

(   )   (       ( ∘ ---)     ∘ ---   ( ∘---) ) (  )
  r2         cos    kk2ℓ         kk-sin     k2k-ℓ    r1
  r′  = (   ∘ k2-   (∘ k2-)     2  (∘ k2-)   )  r′
   2      −    k sin    k ℓ    cos     k ℓ       1
(7.22)

Wenn k2 < 0 ist, wenn wir also eine Zerstreuungslinse haben, bekommen wir

pict

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k2 < 0 der Länge

(  )    (       ( ∘ ---)     ∘---    ( ∘ ---)) (  )
 r2         cosh    k2ℓ        k-sinh     k2ℓ     r1
   ′  = ( ∘ k2-    (k∘ k2-)     k2  ( ∘ k2k)  )    ′
 r2         k sinh     k ℓ    cosh     k ℓ       r1
(7.24)

7.1.7  Zusammenfassung Lichtpropagation

___________________________________________________________________________




GeradeStrecke
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⌊   ⌋
|1d |
⌈   ⌉
 01



Dünne Linse, Brennweite f (f > 0: Sammellinse, f < 0: Zerstreuungslinse
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⌊      ⌋
| 1  0 |
⌈   1- ⌉
 −  f1



Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes n1 und n2
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⌊    ⌋
|1 0 |
⌈  n1⌉
 0 n2



Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius R und den Brechungsindizes n1 und n2
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⌊            ⌋
     1     0
|⌈            |⌉
 n2-− n1-1-n1
   n2   R n2



Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius R
pict
⌊      ⌋
|  1  0|
⌈   2- ⌉
 −  R 1



GeradeStrecke
pict
⌊       ( ∘ ---)   ∘ ---   (∘ ---)⌋
     cos    kk2ℓ       kk-sin     k2k ℓ
⌈   ∘ k2-  ( ∘ k2-)   2  (∘ k2-)  ⌉
  −   k sin    k ℓ   cos     k ℓ



Matrizen für die Strahlausbreitung

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

pict

Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.

_____________________________________________________________________

Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch

       [        ] [      ]       [              ]
          1   0     1  d            1      d
raus =   − 1f  1     0  1   rein =   − 1f  − fd+ 1   rein
(7.25)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt

       [               ] [               ]
r   =     1       d         1       d     r
 aus     − 1f1 − fd1 + 1     − 1f2- − fd2 + 1    ein
(7.26)

Ausmultipliziert erhalten wir

       ⌊                            (      )        ⌋
              1 − d-             d·  2 − -d
raus = ⌈   1-   1-f2  -d--   d-  (     d-)f2(    -d) ⌉ rein
         − f1 − f2 + f1f2  − f1 +  1 − f1 ·  1 − f2
(7.27)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss raus = rein sein. Wir setzen

A   =   1 − d--
            f2
           (     d )
B   =   d·  2 − ---
                f2
          1    1     d
C   =   − f-−  f--+ f-f--
           1   (2    1)2  (       )
D   =   − d-+   1 − -d- ·   1 − -d-     (7.28)
          f1        f1          f2

Damit bekommen wir auch

rn+2  =   A·rn  + B ·r ′
 ′                     n′
rn+2  =   C ·rn + D ·r n          (7.29)

Wir lösen die erste Gleichung nach rnauf und erhalten

r′ = -1 (r   −  A·r  )
 n   B    n+2       n
(7.30)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

r′   = -1 (r   −  A·r    )
 n+2   B    n+4       n+2
(7.31)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (7.29) ein und erhalten

rn+4 − (A  + D )rn+2 + (AD  − BC  )rn = 0
(7.32)

Durch ausrechnen erhält man, dass AD BC = 1 ist. Wenn wir b = 1
2(A + D ) = (                  )
 1 − d-−  d-+  -d2-
     f2   f1   2f1f2 setzen, können wir schreiben

rn+4 − 2brn+2 + rn = 0
(7.33)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ ¨r+kr = 01 Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp [   √ --]
 ±i   kz. Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz rs = r0 exp [isΘ ] mit s = 2n ein und erhalten

 2iΘ      iΘ
e   −  2be  + 1 =  0
(7.34)

Die Lösung ist

 iΘ       √ -2----        √ -----2
e   = b ±   b  − 1 = b ± i  1 − b
(7.35)

Mit b = cos Θ und daraus   ------
√ 1 − b2 = sin Θ ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also

rs = rmax sin(sΘ + δ)
(7.36)

mit rmax = r0 sin δ. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss Θ reell sein. Daraus folgt

|b| ≤ 1
(7.37)

Aus der Definition von b folgt2

− 1  ≤  1 − d-−  d-+  -d2-  ≤ 1
        (   f1  )f(2   2f1f2)
  0  ≤   1 − 2df-  1 − 2df-   ≤ 1       (7.38)
              1         2

7.1.8  Stabilität

Wenn wir die neuen normierten Koordinaten g1 = 1 d∕(2f1) und g2 = 1 d∕(2f2) einführen, heisst die Stabilitätsbedingung

0 ≤ g1g2 ≤ 1
(7.39)

__________________________________________________________________________

pict

Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.

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Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man f = R∕2 setzt, wobei R der Krümmungsradius des Spiegels ist.

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pict

Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.

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Versuch zur Vorlesung:
Laser (Versuchskarte AT-052)




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