7.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

(7.1)

wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben

(7.2)

7.1.1  Lichtpropagation entlang eines Lichtstrahls

Für eine Gerade haben wir die Geradengleichung

(7.3)

Wir kennen r(z₀) und r′(z₀) sowie z₁ = z₀ + d und haben dann

7.1.2  Lichtpropagation durch eine Linse

In Abbildung 7.1.2 ist der Strahlengang von einem Gegenstand mit der Gegenstandshöhe G im Abstand g von der Linse zu einem Bild mit der Bildhöhe B < 0 im Abstand b zur Linse aufgezeichnet. Wir interessieren uns für den grünen Strahl mit der ursprünglichen Steigung r_g′. Gesucht ist die Steigung r_b′ an der Linse im Abstand r = r_g = r_b.

Wir können die folgenden Gleichungen aufstellen:

7.1.3  Lichtpropagation durch eine gewölbte Grenzschicht

In Abbildung 7.1.3 betrachten wir zuerst Winkelbeziehungen

und die weiteren Beziehungen

und damit

(7.8)

und mit R →∞ auch für eine ebene Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse

(7.9)

7.1.4  Lichtpropagation durch eine schräge Grenzschicht

Wir betrachten in Abbildung 7.1.4 eine Grenzfläche zwischen Medien mit n₁ und n₂, die um den Winkel δ gegen die Normale auf die optische Achse geneigt ist.

Wir haben die folgenden Beziehungen:

Diesmal gibt es zur Matrixgleichung noch einen konstanten Term

(7.11)

Für δ = 0 erhalten wir das Resultat für eine Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse.

7.1.5  Lichtpropagation bei Reflexion an einem gewölbten Spiegel

Nach der Abbildung 7.1.5 gelten die folgenden Winkelbeziehungen:

Mit den Beziehungen r₁′ = tan(γ) ≈γ und −r₂′ = tan(β) ≈β erhalten wir

(7.13)

und

(7.14)

7.1.6  Lichtpropagation bei einem Indexmedium

Wir betrachten hier nach Yariv [Yar75, pp. 106] ein sogenanntes quadratiesches Indexmedium, also ein Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

(7.15)

Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise

(7.16)

kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist s die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann d∕ds durch d∕dz ersetzt werden.

(7.17)

Da n nicht von z abhängt, ist auch

(7.18)

Nehmen wir nun weiter an, dass (x² + y²) « 1 ist, so können wir schreiben:

(7.19)

Uns interessiert nur der Abstand r = . Da n₀ > 0 ist, kann es eliminiert werden. Damit erhalten wir die Differentialgleichung für paraxiale Strahlen

(7.20)

Wenn der Strahl am Eingang die Position r₀ und die Steigung r₀′ hat, ist die Lösung

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k₂ > 0 der Länge ℓ

(7.22)

Wenn k₂ < 0 ist, wenn wir also eine Zerstreuungslinse haben, bekommen wir

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k₂ < 0 der Länge ℓ

(7.24)

7.1.7  Zusammenfassung Lichtpropagation

___________________________________________________________________________

GeradeStrecke
Dünne Linse, Brennweite f (f > 0: Sammellinse, f < 0: Zerstreuungslinse
Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes n1 und n2
Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius R und den Brechungsindizes n1 und n2
Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius R
GeradeStrecke

Matrizen für die Strahlausbreitung

_____________________________________________________________________

Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch

(7.25)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt

(7.26)

Ausmultipliziert erhalten wir

(7.27)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss _aus = _ein sein. Wir setzen

Damit bekommen wir auch

Wir lösen die erste Gleichung nach r_n′ auf und erhalten

(7.30)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

(7.31)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (7.29) ein und erhalten

(7.32)

Durch ausrechnen erhält man, dass AD −BC = 1 ist. Wenn wir b = = setzen, können wir schreiben

(7.33)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ +kr = 0¹ Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp . Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz r_s = r₀ exp mit s = 2n ein und erhalten

(7.34)

Die Lösung ist

(7.35)

Mit b = cos Θ und daraus = sin Θ ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also

(7.36)

mit r_max = r₀∕ sin δ. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss Θ reell sein. Daraus folgt

(7.37)

Aus der Definition von b folgt²

7.1.8  Stabilität

Wenn wir die neuen normierten Koordinaten g₁ = 1 −d∕(2f₁) und g₂ = 1 −d∕(2f₂) einführen, heisst die Stabilitätsbedingung

(7.39)

Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man f = R∕2 setzt, wobei R der Krümmungsradius des Spiegels ist.