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B.7  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Diese Operatoren können in [AW95] nachgeschaut werden oder mit [WR14] berechnet werden.

B.7.1  Zylinderkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇ Ψ(r,ϕ,z ) = ∂Ψ-(r,ϕ,z)e + 1-∂Ψ-(r,ϕ,z)e + ∂Ψ-(r,ϕ,-z)e r,ϕ,z ∂r r r ∂ϕ ϕ ∂z z
(B.3)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( ) Vr(r,ϕ,z) |(V ϕ(r,ϕ,z)|) Vz(r,ϕ,z) ist

( ) ∂Vr(r,ϕ,z ) 1 ∂V ϕ(r,𝜃,z) ∂Vz(r,𝜃,z) ∇r,ϕ,z·V (r,ϕ, z) = -----------+ -- Vr(r,ϕ,z) + ----------- + ----------- ∂r r ∂ϕ ∂z
(B.4)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( Vr(r,ϕ,z)) |V (r,ϕ,z)| ( ϕ ) Vz(r,ϕ,z) ist

( 1∂Vz(r,𝜃,z) ∂Vϕ(r,𝜃,z)- ) | r ∂ϕ − ∂z | ∇r,ϕ,z×V (r,ϕ, z) = |( ∂Vr(∂rz(,𝜃,z)− ∂Vz(r∂,𝜃r,z) )|) ∂Vϕ(r,𝜃,z) − 1 ∂Vr(r,𝜃,z)-− V (r,𝜃,z) ∂r r ∂ϕ ϕ
(B.5)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

( ) ∂2 Ψ(r,𝜃,z) 1 1∂2 Ψ(r,𝜃,z) ∂Ψ (r,𝜃, z) ∂2Ψ (r,𝜃,z) Δr,ϕ,zΨ (r,ϕ,z) = -------2---+ -- --------2--- + ---------- + ------2---- ∂r r r ∂ϕ ∂r ∂z
(B.6)

B.7.2  Kugelkoordinaten

Die Definition lautet

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Die Skalenfaktoren lauten

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Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

∇r,𝜃,ϕ Ψ(r,𝜃,ϕ) = ∂Ψ-(r,𝜃,-ϕ)er+ 1-∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e𝜃+ 1-csc(𝜃)∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)e ϕ ∂r r ∂𝜃 r ∂ϕ
(B.9)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,𝜃,ϕ) = ( ) | Vr(r,𝜃,ϕ)| ( V𝜃(r,𝜃,ϕ)) V ϕ(r,𝜃,ϕ) ist

∂V (r,𝜃,ϕ) 1 ( ∂V (r,𝜃,ϕ )) ∇r,𝜃,ϕ·V (r,𝜃,ϕ ) = --r-------+ -- Vr(r,𝜃,ϕ) + ---𝜃------- ( ( ∂r r ∂𝜃 )) 1 ∂V ϕ(r,𝜃,ϕ) + -- csc(𝜃) sin(𝜃)Vr(r,𝜃,ϕ ) + cos(𝜃)V𝜃(r,𝜃,ϕ ) +---------- r ∂ϕ
(B.10)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,𝜃,ϕ) = ( ) Vr (r,𝜃, ϕ) |(V 𝜃(r,𝜃,ϕ)|) V ϕ(r,𝜃,ϕ) ist

∇r,𝜃,ϕ × V (r,𝜃,ϕ ) = ( 1( ∂Vϕ(r,𝜃,ϕ)- ( ∂V𝜃(r,𝜃,ϕ)- ))) | r ∂𝜃 ( − csc(𝜃) ∂ϕ − cos(𝜃))Vϕ(r,𝜃,ϕ) | || 1r csc(𝜃) ∂Vr(r∂,𝜃ϕ,ϕ)− sin(𝜃)Vϕ(r,𝜃,ϕ) − ∂Vϕ(∂rr,𝜃,φ) || ( ∂V𝜃(r,𝜃,φ) 1(∂Vr(r,𝜃,φ) ) ) ∂r − r ∂𝜃 − V𝜃(r,𝜃,φ)
(B.11)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

( ) 1 1∂2Ψ (r,𝜃,ϕ) ∂Ψ (r,𝜃,ϕ ) ∂2 Ψ(r,𝜃,ϕ ) Δr,𝜃,ϕΨ (r,𝜃,ϕ) = r- r----∂𝜃2-----+ ---∂r------+ ----∂r2----- ( ( ) ) 1- ∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)- 1- ∂Ψ-(r,𝜃,ϕ)- ∂2Ψ-(r,𝜃,ϕ)- + r csc(𝜃) sin(𝜃) ∂r + r cos(𝜃 ) ∂𝜃 + csc(𝜃) ∂ϕ2
(B.12)


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