7.3  Gausssche Strahlen

Als Vorstufe betrachten wir die durch eine Linse induzierte abstandsabhängige Phasendifferenz für paraxiale Strahlen. Die Linsenkrümmung sei R. Die x,y-Ebene sei senkrecht zur optischen Achse. Dann ist die Dicke der Sammellinse durch d(x,y) = d₀ − (x² + y²)∕2R ₁ − (x² + y²)∕2R ₂ gegeben. Der optische Weg setzt sich dann aus s = s_Linse(r) + s_Luft(r) zusammen. Die Zeit, die Das Licht für das durchlaufen dieser Strecke benötigt ist

(7.1)

Mit s_Luft = s₀ −s_Linse und unter Weglassung aller konstanten Terme bekommt man

(7.2)

Mit 1∕f = (n − 1)(1∕R₁ + 1∕R₂) ist das Resultat

(7.3)

Wenn wir mit E_L(x,y) die Amplitudenverteilung links von der Linse und mit E_R(x,y) die Verteilung rechts von der Linse beschreiben, gilt

(7.4)

Den gleichen Effekt erreicht man mit einem Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

(7.5)

Das Resultat aus Abschnitt 7.1.6 lautet

Aus der Elektrizitätslehre folgt (ohne Ableitung), dass für das elektrische Feld

(7.7)

gilt. Wir beschränken uns auf den Fall wo k²() = k² −kk ₂r² gilt. Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten für Funktionen, die nur von r = abhängen, ist

(7.8)

Wir verwenden die Abkürzung ∇_t² = + . Weiter setzen wir an:

(7.9)

und erhalten

(7.10)

Wenn die Intensität entlang z sich nur wenig ändert (k(∂ψ∕∂z) » ∂²ψ∕∂z² « k²ψ, ist, können wir für ψ ansetzen

(7.11)

Wir setzen dies ein und bekommen

(7.12)

Da dies Gleichung für alle r gelten soll, müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von r einzeln verschwinden. Also ist

In einem homogenen Medium ist k₂ = 0 so dass wir die Gleichung

(7.14)

erhalten. Wir definieren die Funktion s(z) über

(7.15)

Durch Einsetzen sehen wir, dass

(7.16)

Damit muss s(z) = az + b sein. Somit ist Q

(7.17)

Bequemer ist es im weiteren, wenn wir die Funktion

(7.18)

verwenden. Diese hat die Form

(7.19)

Wir setzen Q(z) in die Gleichung für P(z) ein und erhalten

Wir nehmen an, dass q₀ rein imaginär ist. Dann gilt für die örtliche Amplitudenverteilung

(7.21)

Wir setzen q₀ := i, berücksichtigen λ = 2πn∕k und verwenden die Identität ln(a + ib) = ln + i arctan(b∕a) und erhalten für den ersten Term im obigen Produkt

(7.22)

Der zweite Term wird

(7.23)

Die folgenden Definitionen sind üblich

Die Parameter haben die folgende Bedeutung:

Mit dieser abgekürzten Schreibweise wird

(7.28)

Weiter ist

(7.29)

Die Grösse 1∕q(z) beschreibt die Gaussschen Strahlen. Der Realteil gibt den Krümmungsradius der Wellenfronten, der Imaginärteil den Strahldurchmesser.

7.3.1  Divergenz und Strahldurchmesser

Die obigen Parameter haben die folgende Bedeutung

7.3.1.1. ω(z) und ω₀

Die transversale Amplitudenverteilung folgt einer Gausskurve, wie man aus dem Term exp[r²∕ω²(z)] ersehen kann. ω(z) ist die Distanz zur optischen Achse, bei der die Intensität um den Faktor e vom Maximum abgefallen ist. ω₀ beschreibt den minimalen Strahldurchmesser.

7.3.1.2. R(z)

R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfronten. Aus R(z) = z ist ersichtlich, dass lim _z→0R(z) = ∞ ist. Damit nähern Gausssche Wellen im Fokus eine ebene Welle an. Ebenso ist lim _z→±∞R(z) = ±∞. Auch für sehr grosse Distanzen sind Gausssche wellen eine gute Approximation für ebene Wellen.

7.3.1.3. Öffnungswinkel

Weit weg vom minimalen Strahldurchmesser kann ein Gaussscher Strahl durch einen Öffnungswinkel

(7.30)

beschrieben werden. Es gilt deshalb die folgende Gleichung

(7.31)

die formal äquivalent zur Unschärferelation ist. Damit ist klar, dass ein kleinerer Brennfleck unweigerlich einen grösseren Öffnungswinkel bedeutet. In einer nullten Approximation sieht man auch, dass ω₀ ≥ sein muss.

7.3.2  Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen

Die Transformation eines Gaussschen Strahls mit optischen Elementen, die durch die Matrix

charakterisiert sind, wird durch

(7.32)

beschrieben. Zum Beispiel wirkt eine Linse mit der Brennweite −f, also der Matrix

so auf einen Gaussschen Strahl

(7.33)

Wir nehmen den Kehrwert und bekommen

(7.34)

Mit der Definition 1∕q = 1∕R + iλ∕(πnω²) wird die Gleichung

(7.35)

Diese Gleichung muss für den Real- und den Imaginärteil separat erfüllt sein. Also haben wir

Wenn zwei optische Elemente mit den Matrizen

und

hintereinander geschaltet, ist das Resultat durch

gegeben. Die Analyse dieser Gleichung zeigt, dass für die Koeffizienten auch

(7.38)

gilt. Damit gelten für Gausssche Strahlen die gleichen mathematischen Formeln für die Berechnung von optischen Systemen wie bei Lichtstrahlen.

In der Eingangsebene 1 ist R₁ = ∞ und ω = ω₀₁. Dann ist

(7.39)

In der Ebene 2 ist

(7.40)

Damit ist

(7.41)

wobei a = 1∕f und b = λ∕(πω₀₁²n). In der Ebene 3 ist

(7.42)

Nun muss in der Ebene 3 auch gelten

(7.43)

In der Ebene 3 soll der Durchmesser minimal sein, also ist R₃ = ∞. Damit muss in der obigen Gleichung der Realteil null sein. Damit ergibt sich die Bedingung

(7.44)

Und damit ist auch der Ort des Strahlminimums gegeben. Der neue Strahldurchmesser ist

(7.45)

Der Parameter z₀ ist der konfokale Parameter, der angibt, in welcher Distanz vom Strahlminimum der Strahldurchmesser um zunimmt. Der Wert des konfokalen Parameters ist

(7.46)

7.3.3  Moden

Die Gaussschen Strahlen sind die Grundmode von Laserstrahlung. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine Knotenlinie hat. Es existieren weiter Moden, die durch die Anzahl Knotenlinien in horizontaler und vertikaler Richtung charakterisiert sind. Die möglichen Moden sind durch die Randbedingungen vorgegeben. So erzeugt eine vertikale Störung durch die Resonatorachse eine Mode mit zwei Maxima, die durch eine vertikale Knotenlinie getrennt sind.

Im folgenden werden Messungen von Moden gezeigt, die im Institut für Experimentelle Physik an vertikal emittierenden Laserdioden (VCSEL) aus der Abteilung Optoelektronik gemessen wurden.

Nach Yariv[Yar75, 118] genügen die Moden in rechteckförmigen Wellenleiter

wobei H_ℓ das Hermitsche Polynom ℓ-ten Grades ist und die anderen Grössen wie bei den Gaussschen Strahlen definiert sind.