Literatur | |
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Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.
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Die beiden Aufnahmen in Abbildung 2.3 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.
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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
Wir betrachten eine Welle e, die aus dem Medium mit μ1 und 𝜀1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ2 und 𝜀2 fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
Gegeben sind e, μ1, 𝜀1, μ2, 𝜀2, e und ωe. An den Grenzflächen gilt
Sei n der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes von e mit n liegt senkrecht zu n und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche Richtung zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein Kreuzprodukt mit n an. Unabhängig von der Richtung von e bekommt man mit dieser Operation immer die Komponente von e tangential zur Grenzfläche
| (2.2) |
Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren r und t in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden
| (2.3) |
Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gilt
wobei nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit n· = 0. Damit Gleichung (2.4) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein
| (2.5) |
Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (2.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss, ist im Allgemeinen nicht parallel zur Grenzfläche. Aus der ersten Gleichung in (2.6) folgt
| (2.7) |
Eine Gleichung vom Typ · = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor . ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (2.7) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu e −r liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor n liegt. n ist also parallel zu e −r. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst = ke = = kr. Wir können also schreiben
| (2.8) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
| (2.9) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der einfallenden Welle e und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der reflektierten Welle r.
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
| (2.10) |
(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)
Aus Gleichung (2.6) folgt weiter
| (2.11) |
Gleichung (2.7) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu e −t liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor n liegt. n ist also parallel zu e −t. Wir können also schreiben
| (2.12) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
| (2.13) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der einfallenden Welle e und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale n und dem Wellenvektor der transmittierten Welle t. Aus der Wellengleichung folgt
| (2.14) |
Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (2.13) auch als
| (2.15) |
oder
| (2.16) |
Mit der Definition (2.4) (n = ) bekommt man auch
| (2.17) |
Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.
Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (2.3) können wir die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren angeben:
Wir subtrahieren Gleichung (2.18a) von Gleichung (2.18b), beziehungsweise von Gleichung (2.18c).
Setzen wir mit Gleichung (2.8) für r −e = Γren und −e = Γten erhalten wir
Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen sind gleich.
| (2.20) |
Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor der Grenzfläche liegen.
Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009 | |
Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07. 2009). | |
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten 𝜀1 und 𝜀2 sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
| (2.21) |
wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen n sind, Ee ist die Amplitude der -Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die Amplitude der reflektierten und Et die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (2.3)
| (2.22) |
Aus der Kombination der Gleichungen (2.21) und (2.22) erhalten wir die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation.
Mit den Brechungsindizes n1 = und n2 = erhält man
Nach dem Brechungsgesetz ist
Wir setzen dies ein und erhalten
Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen die Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation
Dabei ist
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen für die s-Polarisation umgeschrieben werden
Dabei ist
Die Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien lauten
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n1. Ist n2 grösser als n1. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I2 muss grösser werden.
Bei fast senkrechtem Einfall erhalten wir
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Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die -Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die -Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.
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Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von durch
| (2.29) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
| (2.30) |
Wir teilen die beiden Gleichungen und lösen das Gleichungssystem und erhalten die Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich unter Verwendung der Brechungsindizes zu
Bei senkrechtem Einfall gilt cos α ≈ cos γ ≈ 1 und damit
Dass das Vorzeichen von Er anders ist als bei der s-Polarisation hängt mit der Definition der lokalen Koordinatensystem der reflektierten Wellen zusammen und ist kein Wiederspruch.
Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α = n2 sin γ eliminiert werden
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität bei nichtmagnetischen Materialien lauten
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für It.
Bei senkrechtem Einfall erhalten wir
Im Grenzfall α → 0 stimmen die Resultate für die s- und p-Polarisation überein. In diesem Falle ist
| (2.35) |
also ganz klar die Energie erhalten. Der Faktor n2∕n1 ist notwendig dazu.
Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (2.33) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert er. Wir erhalten also Er(α = π∕2 −γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel. Beim Brewsterwinkel gegeben durch α + γ(α) = π∕2 ist Er,p für die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist s-polarisiert!
Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt
| (2.36) |
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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Links ist der Analysator so gestellt, dass dass das an der Wasseroberfläche reflektierte Licht durchgelassen wird. Rechts die gleiche Szene, aber der Analysator blockt das an der Wasserfläche reflektierte Licht.
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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Die beiden Bilder aus Abbildung 2.3.4 sind hier übereinandergelegt.Die Trennlinie läuft entlang des Baumstammes.
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Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Linkes und rechtes Bild wurden mit zwei Stellungen des Polarisationsfilters aufgenommen.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes (links) und der Intensität(rechts) für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes (links) und der Intensität(rechts) für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.
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Literatur | |
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium (n1) in das schnellere n2 < n1 eintreten, es Winkel γ gibt ((n1∕n2) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist dann in die z-Richtung rein imaginär. Dies heisst, dass auch die z-Komponente des -Vektor der elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikzz mit kz = iκz der exponentielle Dämpfungsfaktor e−κzz, wobei κz vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter in die z-Richtung bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
Eine kurze Rechnung zeigt,
dass im Falle der Totalreflexion (n1 sin(α) ≥n2 und damit n22 −n 12 sin 2(α) ≤ 0) der Betrag von t,senkrecht
| (2.37) |
ist. Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit dem Brechungsindex n2 ist die exponentiell abfallende Lösung
| (2.38) |
Die resultierende Welle im Medium 2 hat dann die zeitgemittelte Intensität
| (2.39) |
Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge
| (2.40) |
Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π∕12 = 75° von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 = 1.55 in Luft n2 = 1 übertritt, ist λ0 = 35.71 nm.