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2.2  Darstellung von elektronischen Messsystemen: Signalflussdiagramme

Eine weitere Möglichkeit, die Struktur einer Schaltung darzustellen bieten die Signalflussdiagramme. Der Hauptvorteil der Signalflussdiagramme liegt darin, dass sie sich einfacher zeichnen lassen.

2.2.1  Grundlagen


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Abbildung 2.12.: Signalflussdiagramm. Oben ist ein allgemeiner Zweig dargestellt, bei dem gilt: Y i = AijXj. Als Beispiel ist unten das Ohm’sche Gesetz U = RI gezeigt.

Abbildung 2.12 zeigt einen einfachen Signalflussgraphen. Es wird die Gleichung

Yi = AijXj
(2.1)

dargestellt. Die Variablen Xi und Y j sind jeweils mit einem Punkt dargestellt. Diese Punkte heissen Knoten. jede Variable hat in einem Signalflussdiagramm einen Knoten. Die Verknüpfung von zwei Variablen erfolgt durch Zweige. Dabei ist immer in Flussrichtung (gegeben durch den Zweig) die Übertragungsfunktion auf die Ausgangsvariable anzuwenden. Hier steht bewusst Übertragungsfunktion: ein Integral oder eine Ableitung sind auch denkbar.


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Abbildung 2.13.: Summation in einem Signalflussdiagramm: Y j = i=1nA jiXi.

Eine Summation von Werten wird wie in Abbildung 2.13 dargestellt. Soll ein konstanter Wert dazu gezählt werden, so wird der Wert als Variable mit der Übertragungsfunktion 1 geführt.

      n
     ∑
Yj =    AjiXi
     i=1
(2.2)


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Abbildung 2.14.: Übertragungsregeln in einem Signalflussdiagramm: Xj = AjkXk für (k = 1, 2,,n).

Der Wert einer Variablen wird auf alle von dem entsprechenden Knoten ausgehenden Variablen übertragen, wie in Abbildung 2.14 dargestellt.

Xj = AjkXk    f¨ur(k = 1,2,...,n)
(2.3)

Gilt für eine Kette, dass

Xj  = Aj(j−1)Xj −1  f¨ur(j = 2,..., n)
(2.4)

dann können diese Gleichungen zusammengefasst werden zu

                                  (  n       )
                                    ∏
Xn  = A21 ·A32 · ...·An (n−1)X1 =      Ai(i− 1)  X1
                                    i=2
(2.5)

Dies wird im Signalflussdiagramm wie in Abbildung 2.15 dargestellt.


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Abbildung 2.15.: Multiplikationsregeln für Signalflussdiagramme: Xn = (          )
  n∏
  i=2 Ai(i−1)X1.

2.2.2  Begriffe aus der Theorie der Signalflussdiagramme


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Abbildung 2.16.: Signalflussdiagramm zur Erklärung der Definitionen

Die folgenden Definitionen sind in Abbildung 2.16 abgebildet:

Pfad
Ein Pfad ist ein zusammenhängender, in eine Richtung zeigende Abfolge von Verbindungen zwischen Knoten. In Abbildung 2.16 ist (X1 X2 X3 X4), (X2 X3 X2), (X3 X3) und (X1 X2 X4) Pfade.
Eingangsknoten
Ein Eingangsknoten ist ein Knoten, von dem nur Pfade ausgehen. Beispiel: X1.
Quelle
Siehe Eingangsknoten (der Begriff muss vom Diagramm her verstanden werden, nicht von der Aussenwelt)
Ausgangsknoten
Ein Ausgangsknoten ist ein Knoten, bei dem nur einlaufende Pfade auftreten. Beispiel: X4. Gibt es keine solchen Knoten, fügt man einen Zusatzknoten mit einer Übertragungsfunktion A = 1 hinzu.
Senke
Siehe Ausgangsknoten.
Vorwärtspfad
Ein Vorwärtspfad ist ein Pfad, der vom Eingangsknoten zum Ausgangsknoten führt. Beispiel: (X1 X2 X 3 X4), oder (X1 X2 X4).
Rückwärtspfad
Ein Rückwärtspfad ist ein Pfad, ist ein Pfad dessen Anfangs- und Endknoten gleich sind. Beispiel: (X2 X3 X2) und (X3 X3).
Rückkopplungsschleife
Siehe Rückwärtspfad.
Selbstbezogene Schleife
(X3 X3) ist eine selbstbezogene Schleife.
Verstärkung eines Zweiges
Die Verstärkung eines Zweiges ist der Faktor, mit dem bei diesem Zweig multipliziert werden muss. Beispiel: A33 ist die Verstärkung der selbstbezogenen Schleife.
Verstärkung eines Pfades
Die Verstärkung eines Pfades ist der Operator, der entsteht wenn man alle Teiloperatoren hintereinander anwendet. Im Falle rein multiplikativer Verstärkungen ist dies Das Produkt der einzelnen Pfadverstärkungen. Beispiel. Der Pfad (X1 X2 X4) hat die Verstärkung A21A32A42.
Schleifenverstärkung
Die Schleifenverstärkung ist die Verstärkung einer Rückkoppelungsschleife. Beispiel: (X2 X3 X2)hat die Verstärkung A32A23.

2.2.3  Allgemeine Formel für Signalflussdiagramme

bezeichnet man mit T das Verhältnis zwischen Dem Signal am Ausgangsknoten und dem am Eingangsknoten, so gilt

     ∑
     i PiΔi
T =  -------
       Δ
(2.6)

Dabei ist

Zwei Pfade heissen nichtberührend, wenn sie keine gemeinsamen Knoten haben. Δ heisst die Determinante des Signalflussgraphen oder seine charakteristische Funktion. Signalflussgraphen treten auch als Feynmansche Pfaddarstellungen auf. Auch in der Quantenelektrodynamik gelten analoge Rechenregeln für Pfade.



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