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Skripte]
2.2 Darstellung von elektronischen Messsystemen:
Signalflussdiagramme
Eine weitere Möglichkeit, die Struktur einer Schaltung
darzustellen bieten die Signalflussdiagramme. Der Hauptvorteil
der Signalflussdiagramme liegt darin, dass sie sich einfacher
zeichnen lassen.
2.2.1 Grundlagen
Abbildung 2.12 zeigt einen einfachen Signalflussgraphen. Es
wird die Gleichung
| (2.1) |
dargestellt. Die Variablen Xi und Y j sind jeweils mit einem
Punkt dargestellt. Diese Punkte heissen Knoten. jede
Variable hat in einem Signalflussdiagramm einen Knoten. Die
Verknüpfung von zwei Variablen erfolgt durch Zweige. Dabei
ist immer in Flussrichtung (gegeben durch den Zweig) die
Übertragungsfunktion auf die Ausgangsvariable anzuwenden.
Hier steht bewusst Übertragungsfunktion: ein Integral oder
eine Ableitung sind auch denkbar.
Eine Summation von Werten wird wie in Abbildung 2.13
dargestellt. Soll ein konstanter Wert dazu gezählt werden, so
wird der Wert als Variable mit der Übertragungsfunktion 1
geführt.
| (2.2) |
Der Wert einer Variablen wird auf alle von dem
entsprechenden Knoten ausgehenden Variablen übertragen,
wie in Abbildung 2.14 dargestellt.
| (2.3) |
Gilt für eine Kette, dass
| (2.4) |
dann können diese Gleichungen zusammengefasst werden
zu
| (2.5) |
Dies wird im Signalflussdiagramm wie in Abbildung 2.15
dargestellt.
2.2.2 Begriffe aus der Theorie der Signalflussdiagramme
Die folgenden Definitionen sind in Abbildung 2.16
abgebildet:
-
Pfad
- Ein Pfad ist ein zusammenhängender, in eine
Richtung zeigende Abfolge von Verbindungen
zwischen Knoten. In Abbildung 2.16 ist (X1 →
X2 → X3 → X4), (X2 → X3 → X2), (X3 → X3)
und (X1 →X2 →X4) Pfade.
-
Eingangsknoten
- Ein Eingangsknoten ist ein Knoten, von
dem nur Pfade ausgehen. Beispiel: X1.
-
Quelle
- Siehe Eingangsknoten (der Begriff muss vom
Diagramm her verstanden werden, nicht von der
Aussenwelt)
-
Ausgangsknoten
- Ein Ausgangsknoten ist ein Knoten,
bei dem nur einlaufende Pfade auftreten. Beispiel:
X4. Gibt es keine solchen Knoten, fügt man einen
Zusatzknoten mit einer Übertragungsfunktion A = 1
hinzu.
-
Senke
- Siehe Ausgangsknoten.
-
Vorwärtspfad
- Ein Vorwärtspfad ist ein Pfad, der
vom Eingangsknoten zum Ausgangsknoten führt.
Beispiel: (X1 → X2 → X − 3 → X4), oder (X1 →
X2 →X4).
-
Rückwärtspfad
- Ein Rückwärtspfad ist ein Pfad, ist ein
Pfad dessen Anfangs- und Endknoten gleich sind.
Beispiel: (X2 →X3 →X2) und (X3 →X3).
-
Rückkopplungsschleife
- Siehe Rückwärtspfad.
-
Selbstbezogene Schleife
- (X3 → X3) ist eine
selbstbezogene Schleife.
-
Verstärkung eines Zweiges
- Die Verstärkung
eines Zweiges ist der Faktor, mit dem bei diesem
Zweig multipliziert werden muss. Beispiel: A33 ist die
Verstärkung der selbstbezogenen Schleife.
-
Verstärkung eines Pfades
- Die Verstärkung eines Pfades
ist der Operator, der entsteht wenn man alle
Teiloperatoren hintereinander anwendet. Im Falle
rein multiplikativer Verstärkungen ist dies Das
Produkt der einzelnen Pfadverstärkungen. Beispiel.
Der Pfad (X1 → X2 → X4) hat die Verstärkung
A21A32A42.
-
Schleifenverstärkung
- Die Schleifenverstärkung ist die
Verstärkung einer Rückkoppelungsschleife. Beispiel:
(X2 →X3 →X2)hat die Verstärkung A32A23.
2.2.3 Allgemeine Formel für Signalflussdiagramme
bezeichnet man mit T das Verhältnis zwischen Dem Signal
am Ausgangsknoten und dem am Eingangsknoten, so
gilt
| (2.6) |
Dabei ist
- Pi die Pfadverstärkung des i-ten Vorwärtspfades.
- Pjk das j-te mögliche Produkt von k sich nicht
berührenden Rückkoppelschleifen.
- Δ = 1− k+1 ∑
k∑
jPjk = 1−∑
jPj1+∑
jPj2−
∑
jPj3 +
… = 1 - (Summe aller Schleifenverstärkungen)+
(Summe aller Verstärkungsprodukte von je zwei sich
nicht berührenden Rückkoppelschleifen) - (Summe
aller Verstärkungsprodukte von je drei sich nicht
berührenden Rückkoppelschleifen) + …
- Δi = Δ berechnet unter Weglassung aller
Rückkoppelschleifen, die den Pfad Pi berühren.
Zwei Pfade heissen nichtberührend, wenn sie keine
gemeinsamen Knoten haben. Δ heisst die Determinante
des Signalflussgraphen oder seine charakteristische
Funktion. Signalflussgraphen treten auch als Feynmansche
Pfaddarstellungen auf. Auch in der Quantenelektrodynamik
gelten analoge Rechenregeln für Pfade.
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