Weiter: Anwendungen der Newtonschen Axiome Oben: Dynamik, die Newtonschen Axiome Zurück: Trägheitsgesetz: Erstes Newtonsches Axiom  Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter

Unterabschnitte

• Masse ($m$)(m)
• Kraft ($\vec{F}$)(F)
  • Drittes Newtonsches Axiom
  • Kraft durch Gewicht und schwere Masse
• Arten von Kräften
• Beispiele zur Lösung von Bewegungsproblemen

Kraft, Masse,Impuls: Zweites Newtonsches Axiom

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 74]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 12])

das zweite Newtonsche Axiom beantwortet die Frage: Was ist die Ursache der Bewegung?

Newtons Formulierung:
Die Änderung des Impulses $(\vec{P}= m\vec{v})$ eines Körpers ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft

$$\vec{F}= \frac{d\vec{p}}{d t} = \frac{d (m\vec{v})}{dt}$$ (4.65)

Bernoullis Formulierung³
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und proportional zur resultierenden Kraft $\vec{a}= \frac{\vec{F}}{m}$

Das zweite Newtonsche Axiom wird auch Aktionsgesetz genannt.

Bernoulli

$m$ muss konstant sein (analog zur Durchschnittsgeschwindigkeit)

Newton

analog zur Momentangeschwindigkeitmit
$$\begin{array}{ccc} & m=const & \\ \vec{F}= \frac{d(m\vec{... ...{v}}{dt} & = & m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec a \\ \end{array}$$

Einheit der Kraft: $1 N = 1 \frac{m kg}{s^2}$

a
$

Materialien

• Experiment mit Luftkissenbahn und Fallgewicht

Masse ($m$)(m)

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

Die Masse im zweiten Newtonschen Axiom ist die träge Masse.

Massenbestimmung mit dem 2. Newtonschen Axiom

• gleiche Kraft auf zwei Massen $m_1$ und $m_2$
• $F = m_1 a_1 = m_2 a_2 \Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{a_2}{a_1}$

Masse: Einheit kg, definiert mit Urkilogramm in Sèvres $\Rightarrow$ Sekundärnormale, Eichung!

Kraft ($\vec{F}$)(F)

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

Einheit der Kraft: $N = \frac{m\,kg}{s^2}$ Name: Newton

Kraft und Bahnkurve $\vec{r}(t)$ bei konstanter Masse

$$\vec{F}= m\vec{a}= m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$ (4.66)

d.h. die Kraft hängt von der Krümmung der Bahnkurve $\vec{r}(t)$ ab.

Impuls: Definition: $\vec{p}= m\vec{v}$ Einheit $\frac{m kg}{s} = Ns$

Die Weiterentwicklung der Physik nach Newton (u.a. Quantenmechanik) hat gezeigt, dass der Begriff des Impulses $\vec{p}$ universell verwendbar ist, nicht aber $m$ und $\vec{v}$.

Beantworten Sie die Fragen in (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) .

Drittes Newtonsches Axiom

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 80])

Drittes Newtonsches Axiom:
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn vom Körper $A$ aus auf den Körper $B$ die Kraft $\vec{F}$ ausgeübt wird, so wird vom Körper $B$ die Kraft $-\vec{F}$ auf den Körper $A$ ausgeübt.

Diese Reaktionskraft ist also gleich gross wie die ursprüngliche Kraft, aber entgegengesetzt gerichtet.

Beispiele: Gewicht auf Tisch

Während das erste wie auch das zweite Newtonsche Axiom auch in der Quantenmechanik und in der Relativitätstheorie gelten, versagt in diesen moderneren physikalischen Theorien das dritte Newtonsche Axiom.

Bsp: Wirkt die Kraft instantan?

Kraft durch Gewicht und schwere Masse

Dieser Stoff wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 46])

Jede Masse wird von jeder anderen Masse angezogen (Gravitation).

Die Erdanziehung auf eine Masse $m$ ist

$$\vec{F}_G = m \vec{g}$$ (4.67)

$\vert\vec{g}\vert = g = 9.81 \frac{m_s}{s^2}$ ist die Fallbeschleunigung auf Meereshöhe. $m_s$ ist die schwereMasse.

Anwendung: Massenbestimmung durch Kraftvergleich.

Wenn an einem Ort $F_{g,1} = F_{g,2}$ ist, so ist auch $m_1 = m_2$. Wenn an einem Ort $F_{g,1} = \alpha F_{g,2}$ ist, so ist auch $m_1 = \alpha m_2$.

Arten von Kräften

Dieser Stoff wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 82])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 30. 10. 2001 PDF

Übungsblatt 3 vom 30. 10. 2001 (HTML oder PDF)

Fundamentale Kräfte

1. Gravitationswechselwirkung
2. elektromagnetische Wechselwirkung
3. starke Wechselwirkung (Kräfte zwischen Kernbausteinen wie Protonen oder Neutronen
4. Schwache Wechselwirkung (Verantwortlich z.B. für den Zerfall der freien Neutronen).

Kontaktkräfte

Die Kraft ist proportional zur Auslenkung $F = - kx$, analog zur Feder. Anwendung: Federwaage.

Beispiele zur Lösung von Bewegungsproblemen

Dieser Stoff wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 86])

$F_Z$, $F_G$ und $F_N$ sind Kräfte auf den Körper

$F_Z = m a_x$

Reaktionskraft auf $F_Z$: $F_Z' = -F_Z$

3. Newtonsches Axiom: Kraft durch ziehende Hand = - Kraft auf Körper

Wenn die Masse des Fadens $m_F$ ist, ist

$F-F_Z' = m_f a_x$

Masse des Fadens vernachlässigbar: $F-F_Z' \approx 0$

Fadenspannung

Bei vernachlässigbarer Masse ist $\vert F_Z\vert$ überall im Faden gleich. $F_Z$ heisst die Zugkraft.

Beispiel: schiefe Ebene

Schiefe Ebene

$F_{G,x} = F_G \sin\Theta = m g \cos\Theta$ $F_{G,y} = -F_G \cos\Theta = -mg \cos \Theta$

In unserem Koordinatensystem ist $a_y$ null.

$\sum F_y = F_N -mg\cos\Theta = 0$

Also: $F_N = mg \cos\Theta$

Die x-Komponente ist

$\sum _x = mg\sin\Theta = ma_x$

oder $a_x = g \sin\Theta$

Beispiel: Gewicht an einer Schnur

Links: Konstruktion mit Kräfteparallelogramm, rechts vergrösserte Ansicht.

Gegeben ist: $F_g$, $\alpha$ und $\beta$

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke (Seitenlänge dividiert durch den Sinus des Gegenwinkels ist konstant)

$$\frac{F_g}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{F_1}{\sin(\pi/2-\beta)}=\frac{F_2}{\sin(\pi/2-\alpha)}$$ (4.68)

umgeformt

$$F_1 = F_g \frac{\cos(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}$$

$$F_2 = F_g \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)}$$ (4.69)

Schlussfolgerung: Wenn $\alpha$ und $\beta$ gegen null gehen, dann werden die Kräfte $F_1$ und $F_2$ sehr gross. Sie können leicht die maximal zulässige Seilspannung übersteigen.

Beispiel: Zentrifugalregulator (Erfindung von James Watt)

Schematische Darstellung des Wattschen Zentrifugalregulators. Die Masse $m$ wird durch die Gravitation und die Seilspannung beschleunigt. Die resultierende Kraft ist die Zentripetalkraft $F_Z$.

Zentripetalkraft

$$F_Z = m \omega^2 r = F_Z \sin\Theta$$ (4.70)

und

$$F_Z \cos \Theta = mg = F_G$$ (4.71)

Zusammen

$$\frac{F_Z \sin\Theta}{F_Z \cos\Theta} = \tan\Theta = \frac{m \omega^2 r}{mg} = \frac{r}{g}\omega^2$$ (4.72)

also ist für kleine $\Theta$

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{r}\tan\Theta} \approx \sqrt{\frac{g\Theta}{r}}$$ (4.73)

Der Wattsche Regulator ist also ein Drehzahlmesser.

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