Schwerkraft oder Gravitation

Die Schwerkraft oder Gravitation ist die einzige langreichweitige Kraft (soweit wir wissen), die sich nicht kompensiert. In diesem Kapitel sollen Aspekte der Gravitation besprochen werden. Einige der Diskussionspunkte sind auch für die Behandlung der elektrostatischen Felder von Bedeutung.

Keplersche Gesetze

Die Keplerschen Gesetze lauten

Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, wobei die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse steht.
Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und den Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz seiner mittleren Entfernung zur Sonne.

Das zweite Keplersche Gesetz drückt die Drehimpulserhaltung aus. Diese besagt, dass in einem abgeschlossenen System $\vec{L}= \vec{p}\times \vec{r}= const = m \vec{v}\times \vec{r}$ gilt. In den Zylinderkoordinaten $(r,\phi)$ lautet der Satz der Drehimpulserhaltung $L = m r v_\phi$ Für eine sehr kurze Zeit

gilt

Newtonsches Gravitationsgesetz

Aus der Umlaufszeit des Mondes von 27.3 Tagen kann mit der Formel für die Zentripetalbeschleunigung

die Gravitationskraft auf der Mondbahn $r = 3.84 \times 10^{8} m$ ausgerechnet werden.

$\displaystyle a_z = \frac{4 \pi^2 \times 3.84 \times 10^8}{(27.3 \times 86400)^2}\frac{m}{s^2} = 0.00272 \frac{m}{s^2}$

(4.330)

Auf der Erdoberfläche (

)ist $g = 9.81 \frac{m}{s^2}$ . Wenn wir annehmen, dass sich die Gravitationsbeschleunigung wie $a_G = Kr^\alpha$ verhält, dann ist

$\displaystyle \frac{a_{G,1}}{a_{G,2}} = \frac{r_1^\alpha}{r_2^\alpha} = \left(\... ...eft(\frac{r_1}{r_2}\right)}= \frac{\ln a_{G,1} -\ln a_{G,2}}{\ln r_1 - \ln r_2}$

(4.331)

Wir setzen ein und erhalten $\alpha = -1,9977$ , also ein Gravitationsgesetz der Form $F_G \propto r^{-2}$ .

Neben dieser Beobachtung, die unabhängig von den Keplerschen Sätzen ist, kann man auch aus diesen die Form des Gravitationsgesetzes abgeleiten.

1. Möglichkeit

Da die Gravitation die einzige Möglichkeit für die ursächliche Kraft der Zentripetalbeschleunigung ist, muss

sein. Das 3. Keplersche Gesetz sagt nun dass

ist. Wir haben also

$\displaystyle F_g = m a_z = \frac{4 \pi^2 m r}{T_0^2} = \frac{4 \pi^2 m r}{K r^3} = \frac{4 \pi^2 m}{K r^2}$

(4.332)

Das heisst, dass nach dem 3. Keplerschen Gesetz die Gravitationskraft $F_G \approx \frac{1}{r^2}$ sein muss.

2. Möglichkeit

$\includegraphics[width=0.6\textwidth]{ellipse.eps}$

Parameter bei einer Ellipse. Die Ellipse ist definiert, dass die Summe der Abstände von jedem Punkt ihrer Berandung zu den beiden Brennpunkten konstant und gleich dem grossen Durchmesser ist.

Wir nehmen an, dass die Bahn

eines Teilchens ganz allgemein durch $s(r,\phi)$ gegeben ist. Dann schreiben wir die Geschwindigkeit in einem Zylinderkoordinatensystem als $v = (v_r;v_\phi)$ . Der Drehimpuls ist in diesem Koordinatensystem durch $L = m r v_\phi = m r^2 \dot{\phi} = const$ gegeben. Damit ist auch $\dot{\phi} = \frac{L}{mr^2}$ und $\dot{r} = \frac{dr}{d\phi}\dot\phi=\frac{dr}{d\phi} \frac{L}{mr^2}$ .

$\displaystyle E_{kin} = \frac{1}{2} m\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\right) =... ...L^2}{2m}\left(\frac{\left((\frac{dr}{d\phi}\right)^2}{r^4}+\frac{1}{r^2}\right)$

(4.333)

Die Gesamtenergie bestehend aus der kinetischen Energie und einer unbekannten potentiellen Energie $E_{pot}$ muss konstant sein.

$\displaystyle E_{tot} = E_{kin}+E_{pot} = const = \frac{L^2}{2m}\left(\frac{\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}{r^4}+\frac{1}{r^2}\right)+E_{pot}$

(4.334)

Das erste Keplersche Gesetz sagt aus, dass die Bahnen Ellipsen sind. Wir verallgemeinern auf Kegelschnitte und bemerken, dass alle Kegelschnitte (Hyperbel, Parabel und Ellipse) in Zylinderkoordinaten durch die Gleichung

gegeben sind, wobei $\phi$ der Winkel des Ortsvektors zur grossen Halbachse ist. Wir haben dann

$\displaystyle \frac{dr}{d\phi} = \frac{p}{(1-\epsilon\cos\phi)^2}(-\epsilon\sin\phi) = p \frac{r^2}{p^2}(-\epsilon\sin\phi) = \frac{-r^2\epsilon\sin\phi}{p}$

(4.336)

Mit dieser Gleichung kann $\frac{\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}{r^4}$ berechnet werden

$\displaystyle \frac{\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}{r^4} = \frac{r^4 \epsilon^... ...ac{\epsilon^2}{p^2}\sin^2\phi = \frac{\epsilon^2}{p^2}\left(1-\cos^2\phi\right)$

(4.337)

Weiter ist $\frac{p}{r} = 1 -\epsilon\cos\phi$ und damit $\cos^2\phi = \left(1-\frac{p}{r}\right)^2\frac{1}{\epsilon^2}$ . Somit wird

$\displaystyle \frac{\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2}{r^4} = \frac{\epsilon^2}{p... ...{1}{\epsilon^2}\right] = \frac{\epsilon^2-1}{p^2} + \frac{2}{pr} -\frac{1}{r^2}$

(4.338)

$\displaystyle E_{kin} = \frac{1}{2} \frac{L^2}{m}\left(\frac{\epsilon^2-1}{p^2}... ...= \frac{1}{2} \frac{L^2}{m}\left(\frac{\epsilon^2-1}{p^2} + \frac{2}{pr}\right)$

(4.339)

Weiter ist es, bei einer Annahme von linearen Systemen, natürlich, dass die Gravitationskraft proportional zu den beteiligten Massen ist.

$\displaystyle \overrightarrow{F}_{1,2} = - G \frac{m_1 m_2}{r_{1,2}^2} \frac{\vec{r}_{1,2}}{r_{1,2}}$

(4.341)

search_for=universal_in!">Gravitationskonstante $G= 6.673(10) \times 10^{-11} \frac{m^3}{ kg s^2}$

Der Vektor $\frac{\vec{r}_{1,2}}{r_{1,2}}$ ist ein Einheitsvektor, der von der Masse

zur Masse

zeigt. Dieser Vektor definiert das Vorzeichen der Kraft!

Aus der Gravitationskraft kann die potentielle Energie der Gravitation berechnet werden, indem wir von einem Ort

auf dem Strahl vom Koordinatenursprung (Ort der Masse

ins unendliche integrieren.

$\displaystyle E_{pot} = -\int\limits_r^\infty F(\rho) d\rho = \int\limits_r^\in... ...ho = \left.G m_1 m_2 \frac{1}{\rho}\right\vert _r^\infty = -G \frac{m_1 m_2}{r}$

(4.342)

Was wir bis jetzt berechnet haben, ist die Arbeit von die benötigt wird, um eine Masse

im Feld der Masse

ins Unendliche zu verschieben. Wir müssen zeigen, dass diese Arbeit unabhängig vom Weg ist. Jede allgemeine Verschiebung kann als eine Kombination einer radialen Verschiebung sowie einer zweiten Verschiebung in konstantem Abstand zur Masse

geschrieben werden. Bei der Verschiebung auf einer Kugelschale (konstanter Abstand) ist die Kraft immer senkrecht auf der Verschiebung, die Arbeit also null. Das heisst, dass nur die Abstandsänderung zur Arbeit beiträgt, und diese ist gleich, unabhängig vom Weg. Deshalb ist das Gravitationsfeld ein konservatives Kraftfeld.

$\displaystyle \vec{{}F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}E_{pot} = -(-G m_1 m_2)\left(\b... ...rac{1}{r^2}\frac{dr}{dy} \\ -\frac{1}{r^2}\frac{dr}{dz} \\ \end{array}\right)$

(4.343)

$\displaystyle \frac {dr}{dx} = \frac{d}{dx}\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}} 2x = \frac{x}{r}$

(4.344)

$\displaystyle \vec{{}F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}E_{pot} = -\frac{G m_1 m_2}{r^2... ... \frac{r}{r} \\ \end{array}\right) = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}$

(4.345)

Oft ist es sinnvoll, die von der Masse

ausgehende Kraftwirkung unabhängig von der Masse

anzugeben. Wir definieren deshalb:

Der Feldvektor des Gravitationsfeldes ist

$\displaystyle \vec{g}(\vec{r_{1,2}}) = \frac{\vec{F}(\vec{r_{1,2}})}{m_2} = - G \frac{m_1}{r_{1,2}^2} \frac{\vec{r}_{1,2}}{r_{1,2}}$

(4.346)

An der Erdoberfläche ist der Betrag des Feldvektors der Gravitation $\left\vert\vec{g}(Erdradius)\right\vert = 9.81 \frac{m}{s^2}$ (stimmt das?).

$\includegraphics[width=0.5\textwidth]{gravitationsfeld.eps}$

Das Gravitationsfeld

Wir können für das Gravitationsfeld Feldlinien einzeichnen. Eine Probemasse wird durch das Gravitationsfeld beschleunigt und bewegt sich entlang der Feldlinien. Das Gravitationsfeld verhält sich analog zum elektrostatischen Feld.

In der Nähe der Erdoberfläche

können wir die potentielle Energie linearisieren.

$\displaystyle E_{pot}(R+\Delta r) = E_{pot}(R) + \frac{dE_{pot}}{dr}\Delta r = -G M_e m \frac{1}{R} + G m_e m \frac{1}{R^2} \Delta R$

(4.347)

Wenn wir den Nullpunkt der potentiellen Energie auf die Erdoberfläche legen, haben wir

$\displaystyle E_{pot}(R+\Delta r) - E_{pot}(R) = G m_e m \frac{1}{R^2} \Delta R = m \left[ G m_e \frac{1}{R^2}\right] \Delta R = m g \Delta R$

(4.348)

Die Formel $E_{pot}=mgh$ ist die für die Erdoberfläche linearisierte Form der potentiellen Energie des Gravitationsenergie $E_{pot} = - G \frac{m_E m}{r^2}$ der Erde.

Selbstenergie der Erde

Analog zum klassischen Elektronenradius könnte man sich fragen, bei welchem Radius die Gravitationsenergie der Erde gleich der Energie

ist. Wir setzen

$\displaystyle r = G \frac{m_E}{c^2} \approx 6.67\times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg... ...{24} kg}{\left(3 \times 10^8 \frac{m}{s}\right)^2} \approx 4.4 \times 10^{-3} m$

Messung der Gravitationskonstante

Durch die Bestimmung der Umlaufzeiten und Umlaufbahnen von Himmelskörpern kann immer nur das Verhältnis zweier Massen, nie aber der Absolutwert bestimmt werden. Deshalb müssen zwei Testmassen in einen kontrollierten Abstand gebracht werden.

$\includegraphics[width=0.5\textwidth]{gravitationswaage.eps}$

Abbildung der Gravitationswaage aus der Vorlesungssammlung.

Die Gravitationswaage ist symmetrisch aufgebaut, um Fehler zu minimieren und um den Effekt zu verdoppeln. Gemessen wird die Winkelbeschleunigung

$\displaystyle \alpha = \frac{a}{d} = \frac{1}{d}\left(G \frac{M}{b^2}-F_{elast}\right)$

(4.349)

Schwere und träge Masse

Wir haben bis jetzt immer angenommen (und bei der Beschleunigungsmethode (Gleichung (4.257) ), die wir angewandt hatten, tun wir dies auch), dass die träge Masse

(der Proportionalitätsfaktor im 2. Newtonschen Axiom) gleich der schweren Masse

im Gravitationsgesetz sei. Gleichung (4.257) müsste eigentlich lauten

$\displaystyle m_t d \alpha = m_t a = \left(G \frac{M m_s}{b^2}-F_{elast}\right)... ...alpha = \frac{a}{d} = \frac{1}{d}\left(G \frac{M m_s}{m_t b^2}-F_{elast}\right)$

(4.350)

Raumfahrt

Mit der üblicherweise verwendeten Notation, dass $E_{pot}=mgh$ sei, berechnet man sofort, dass es unmöglich sein sollte, die Erde zu verlassen. Wir starten an der Erdoberfläche und setzen

und möchten, unter Vernachlässigung der Reibung bis in den Abstand

kommen. Die dafür nötige kinetische Energie ist

$\displaystyle E_{kin}(r_f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} m v_a^2 = E_{pot}(r_f)-E_{pot}(R_E)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -G \frac{M_E m}{r_f}+ G \frac{M_e m}{R_E}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle G M_E m \left(\frac{1}{r_E}-\frac{1}{r_f}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle G M_E m \frac{r_f-R_E}{r_f R_E}$	(4.351)

$\displaystyle v_a = \sqrt{2 G M_E \left(\frac{1}{r_E}-\frac{1}{r_f}\right)}$

(4.352)

Wenn wir $r_f=\infty$ setzen, berechnen wir, dass

ist. Die Geschwindigkeit auf einer Umlaufbahn in der Höhe

können wir mit der Zentripetalbeschleunigung ausrechnen:

Potentielle Energie, Gesamtenergie und Umlaufbahnen

$\displaystyle E_{tot}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle E_{pot} + E_{kin}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -G\frac{M_E m}{r_b} +\frac{1}{2} m v^2(r_b)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -G\frac{M_E m}{r_b} +\frac{1}{2} m \frac{G M_E }{r_b}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{2} \frac{G M_E m}{r_b}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac {1}{2} E_{pot} = -E_{kin}$	(4.355)

Wenn wir eine bestimmte Umlaufsfrequenz vorgeben, also $\omega$ , dann Teilchen einen Drehimpuls $L= I\omega = m r_B^2 \omega$ . Seine kinetische Energie ist dann $E_{kin} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2}\frac{L^2}{I}$ . Dies entspricht einer potentiellen Energie im mitdrehenden Koordinatensystem

$\displaystyle E_{zentr}(r) =\frac{1}{2}\frac{L^2}{I}=\frac{1}{2}\frac{L^2}{m r_b^2}$

(4.356)

$\displaystyle E_{tot} = \frac{1}{2}\frac{L^2}{m r_b^2} - G\frac{M_E m}{r_b}$

(4.357)

Sie hat ein Minimum bei dem für den Drehimpuls charakteristischen Bahnabstand. Ellipsenbahnen können als ein Oszillieren in dieser Landschaft der potentiellen Energie angesehen werden.

$\includegraphics[width=0.6\textwidth]{zentripotential.eps}$

Kombiniertes Gravitations-und Zentrifugalpotential