Zu Beginn folgen einige mathematische Definitionen, die für die korrekte Formulierung der Gesetze und Regeln notwendig sind. Der mathematische Formalismus beruht auf Hilbert-Räumen. Ein Hilbert-Raum wird wie folgt definiert:
H ist ein linearer Vektorraum über dem Raum der komplexen Zahlen ℂ mit den Eigenschaften:
Die Norm einer beliebigen Funktion f ∈H ist definiert als = (f·f)1∕2
Weil H ein linearer Vektorraum ist, gelten die folgenden Eigenschaften:
Ein Vektorraum ist vollständig, wenn es für jedes f eine Reihe f1,f2,f3,…fn →f gibt, so dass lim n→∞ = 0 gilt.
Wenn für das Skalarprodukt von f ∈ H und g ∈ H f·g = 0 gilt, dann sind f und g orthogonal.
Wenn für einen linearen Operator und eine Funktion f ∈H die Gleichung f = af gilt, dann f ist Eigenfunktion von . a ist der entsprechende Eigenwert von .
Hermitesche Operatoren sind Operatoren, für die die folgende Gleichung gilt
| (5.1) |
Zum Beispiel sind die Operatoren x = (ℏ∕i)(∂∕∂x) und = i(∂∕∂t) hermitesch.
Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators sind orthogonal und die dazugehörigen Eigenwerte sind reell.