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5.1  Hilbert-Räume

Zu Beginn folgen einige mathematische Definitionen, die für die korrekte Formulierung der Gesetze und Regeln notwendig sind. Der mathematische Formalismus beruht auf Hilbert-Räumen. Ein Hilbert-Raum wird wie folgt definiert:

H ist ein linearer Vektorraum über dem Raum der komplexen Zahlen mit den Eigenschaften:

Die Norm einer beliebigen Funktion f H ist definiert als f= (f·f)12

Weil H ein linearer Vektorraum ist, gelten die folgenden Eigenschaften:

Ein Vektorraum ist vollständig, wenn es für jedes f eine Reihe f1,f2,f3,fn f gibt, so dass lim n→∞fn - f= 0 gilt.

Wenn für das Skalarprodukt von f H und g H f·g = 0 gilt, dann sind f und g orthogonal.

5.1.1  Lineare Operatoren

Wenn für einen linearen Operator ^A und eine Funktion f H die Gleichung A^f = af gilt, dann f ist Eigenfunktion von A^. a ist der entsprechende Eigenwert von  ^
A.

5.1.2  Hermitesche Operatoren

Hermitesche Operatoren sind Operatoren, für die die folgende Gleichung gilt

(    )          (   )
 ^Af * ·g  = f*·   ^Ag   oder  ^A =  ^A †
(5.1)

Zum Beispiel sind die Operatoren ^px = (∕i)(∂∕∂x) und ^E = i(∂∕∂t) hermitesch.

Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators sind orthogonal und die dazugehörigen Eigenwerte sind reell.



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