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5.6  Heisenbergsche Unschärferelation

Die Betrachtung im vorherigen Abschnitt legen die Frage nahe: was ist die minimale Grösse des Produktes ΔxΔp? Dazu betrachten wir ein Wellenpaket wie in Abbildung 5.5.1 gezeigt, das durch eine Gausssche Verteilung der Amplitude der Wellenfunktion (im Ortsraum oder in der Zeit) definiert ist.

                  √ --  ∞
                ----a-- ∫   -a2(k-k0)2∕4 ikx
ψ(x, t = 0 ) = ψ0 (2π)3∕4  e          e   dk
                       -∞
(5.1)

Die Vorfaktoren dienen zur Normierung der Funktion. Das Maximum der Wellenfunktion befindet sich bei x, die Variable a ist die Breite des Pakets und k0 der mittlere Wellenvektor. Die resultierende Funktion ψ(x, 0) ist eine Gausssche Verteilung in Abhängigkeit von x.

              (    )1∕4
ψ (x, t = 0) =  -2--    eik0xe- x2∕a2
               πa2
(5.2)

Diese Wellenfunktion ist normiert, d.h. -∞ψ* Gauss(x)ψGauss(x)dx = 1.

Die Streuung von x wird

⟨x⟩ = -∞ψ* Gauss(x)Gauss(x)dx
= 1-
a∘ --
  2-
  π -∞(    (    2       ))
        x--
 exp  - a2 -  ik0xx(    (    2       ))
         x--
 exp   - a2 + ik0xdx = 0 (5.3)
⟨ 2⟩
 x = -∞ψ* Gauss(x)x2ψ Gauss(x)dx
= 1-
a∘ --
  2-
  π -∞(    (    2       ))
 exp  - x---  ik0x
        a2x2(    (    2       ))
 exp   - x-+  ik0x
         a2dx =  2
a--
4 (5.4)
Δx = ∘-----------
 ⟨x2⟩ - ⟨x⟩2 = a-
2 (5.5)

Die Streuung des Impulses wird mit px = -i∂∂x und px2 = -2-∂2
∂x2:

⟨px⟩ = -i -∞ψ* Gauss(x)∂-ψGauss(x)
    ∂xdx
= -iℏ
a∘ --
  2-
  π -∞(    (            ) )
         x2-
  exp  - a2 - ik0x  (   (   x2      ) )
∂--exp----a2-+-ik0x---
         ∂xdx = k0 (5.6)
⟨  ⟩
 p2x = -2 -∞ψ* Gauss(x)∂2ψGauss(x)
------2-----
    ∂xdx
= -ℏ2
-a-∘ --
  2
  π- -∞(     (           ) )
         x2
  exp  - a2-- ik0x   (   (    2      ) )
∂2  exp  - xa2 + ik0x
---------∂x2----------dx
= 2(       )
 -1-+ k2
 a2    0 (5.7)
Δpx = ∘ ------------
  ⟨p2x⟩ - ⟨px⟩2 = ∘ ---(-------)--------
  ℏ2  -1-+ k20  -  ℏ2k20
      a2 = ℏ-
a (5.8)

und damit

            a   ℏ   ℏ
Δx · Δpx  = --· --= --
            2   a   2
(5.9)

Das Gauss’sche Wellenpaket hat, sowohl im Orts- wie auch im Impulsraum, die optimale Streuung.


Wir nennen
           ℏ
Δx Δpx  ≥  --
           2
(5.10)

die Heisenbergsche Unschärferelation.


Damit ist gezeigt, dass es unmöglich ist, gleichzeitig Ort und Impuls mit beliebigen Genauigkeit zu messen.



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