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5.3  Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödingergleichung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die Energieeigenwerte des betrachteten Systems. In den nächsten Abschnitten sollen die Energieeigenwerte der Schrödingergleichung für verschiedenen Potentialfunktionen berechnet werden.

5.3.1  Stationäre Zustände

Wenn der Zustand eines Systems ψ eine ortsabhängige Linearkombination zweier Eigenfunktionen ψ1 = a1(x) exp(-1t) und ψ2 = a2(x) exp(-2t) ist, wobei a1(x),a2(x) und ein gemeinsamer Phasenfaktor auftreten kann, gilt

                     -iω1t         -iω2t
ψ = ψ1 + ψ2 =  a1(x)e     + a2(x)e
(5.1)

Wenn die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 zweier Zustände sich zeitlich nicht ändern, dann nennt man sie stationär und die Wahrscheinlichkeitsdichten p1 = ψ1*·ψ 1 und p2 = ψ2*·ψ 2 haben zeitlich sich nicht ändernde Werte. Im Dialekt der Quantenphysiker nennt man das scharfe Werte. Die entsprechenden Eigenwerte sind zeitunabhängig.

Obwohl die Funktionen ψ1 und ψ2 stationäre Zustände sein sollen, also zeitlich unveränderlich, ist die Summe ψ nicht stationär. Die kurze Rechnung

ψ*·ψ = (       -iω1t         -iω2t)
 a1 (x )e    +  a2(x)e* (      -iω1t         -iω2t)
 a1(x)e     + a2(x)e
= (                      )
 a *(x )eiω1t + a *(x )eiω2t
   1           2 (                       )
  a (x)e-iω1t + a (x)e-iω2t
   1            2
= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2e1te-2t + a 1a* 2e-1te2t
= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2e1te-2t + (  *   iω1t -iω2t)
 a 1a2e   e* (5.2)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ*ψ ist also zeitlich nicht konstant, das heisst nicht stationär. Es gibt keinen zeitlich konstanten Energieeigenwert zu dieser Funktion.

Zustände, die Eigenzustände des Energieoperators ^
E = i∂-
∂t sind, ändern sich mit der Zeit nicht. Sie werden stationäre Zustände genannt.

5.3.2  Kanonische konjugierte Variablen

Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik eines Systems mit der Lagrangefunktion L beschreibt die mechanischen Bewegungsgleichungen mit verallgemeinerten Ortskoordinaten qi und verallgemeinerten Impulskoordinaten pi = L∕∂q˙i. Die Variablen qi und pi werden üblicherweise kanonische konjugierte Variablen genannt.

In Quantenmechanik gibt es ein analoges Konzept zu kanonisch konjugierten Variablen, die kanonisch konjugierten Operatoren. Dies sind

Die Definitionen der Operatoren sind

^x = x
^px = ℏ-
i∂--
∂x
^r = xi + yj + zk
^p = ℏ
--
i
ϕ^ = ϕ
^L = ℏ
i-^r ×∇
E^ = i∂--
∂t (5.3)

wobei i, j und k die Einheitsvektoren sind, die das Koordinatensystem aufspannen.

5.3.3  Vertauschungsrelationen

Analog zur Poissonklammer der klassischen Mechanik gibt es in der Quantenmechanik Kommutatoren.


Die mathematische Operation
[    ]
 ^A,B^  = ^A ^B - ^B ^A

heisst Kommutator.


So wie die Operatoren in der Quantenmechanik definiert sind, gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:

Ort und Impuls
[^x,^px]ψ  = (^x^px - ^px^x )ψ = iℏψ,   ∀ψ
(5.4)

mit

^x = x
^px = -i∂
---
∂x
Energie und Zeit
[^E, t]ψ = (E^t - t^E )ψ = iℏψ,   ∀ψ
(5.5)

mit

^
E = i∂--
∂t

Die Vertauschungsrelationen von konjugierten Operatoren heissen auch Unschärferelationen. Sie sind eine Konsequenz der Wellennatur der Lösungen der Schrödingergleichung und wurden von Werner Heisenberg gefunden. Die Energie-Zeit-Unschärferelation gilt oftmals nicht als echte Unschärferelation, da die Zeit kein Operator ist.



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