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5.7  Lösung der Schrödingergleichung für einen unendlichen Potentialtopf

PIC

Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt die Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens in einem unendlichen tiefen Potentialtopf (Abb. 5.7). Die Breite des Topfes ist a. Wir nehmen als Ansatz die Funktion ψ(x,t) = ϕ(x)e-iωt. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet

                      ℏ2  ∂2
^Hϕ =  E ϕ   = ⇒    - ------2-ϕ(x) = E ϕ(x)
                     2m  ∂x
(5.1)

Dabei haben wir die Potentialfunktion

       {  0    für   0 ≤ x ≤  a
V(x ) =
          ∞   sonst
(5.2)

Im Potentialtopf für 0 x a haben die Lösungen die Form

           ikx      -ikx
ϕ (x ) = A1e   + A2e
(5.3)

mit k = 2π∕λ. Die beide Terme entsprechen zwei harmonischen Wellen, die sich in der negativen und der positiven Richtung der x-Achse ausbreiten. Die Potentialfunktion V in den Wänden des Potentialtopfs hat den Wert unendlich. Dann sind die Amplituden der Lösungen der Schrödingergleichung innerhalb der Wände des Topfes null. Mit anderen Worten, die Wellenfunktion soll für ϕ(x 0) = 0 und ϕ(x a) = 0 verschwinden. Die Randbedingungen ergeben

        A1 + A2  = 0
A1eika + A2e- ika = 0
(5.4)

Wenn wir die obigen Gleichungen nach A1 und A2 auflösen, bekommen wir

            - A1 = A2
   ( ika   - ika)
A1  e   - e      = 0
(5.5)

Nun ist eika - e-ika = 2i sin (ika). Wir erhalten also

2A1i sin (ka) = 0  ⇒  k = nπ ∕a
(5.6)

mit n . Die Lösung der Schrödingergleichung für den Potentialtopf hat also die Form

ϕ  (x) = ϕ(x) = 2iA  sin (nπx ∕a) = A˜ sin(nπx ∕a)
  n                 1                1
(5.7)

Wenn wir den Ansatz unter Berücksichtigung der Randbedingungen in die Schrödingergleichung einsetzen

- ℏ2
----
2m ∂2
---2
∂xϕn(x) = Enϕn(x) (5.8)
können die dazugehörigen Energieeigenwerte gefunden werden
      n2π2ℏ2
En =  -------
      2ma2
(5.9)

Die Wellenfunktion ϕn(x) muss auf 1 normiert sein, da wir das Teilchen sicher im gesamten Raum finden. Aus 0aϕ* n(x)·ϕn(x)dx = 1 erhalten wir den Wert der Konstanten Ã1 = ∘ ----
  2∕a oder A1 = √1--
 2a.


Die Einschränkung (Lokalisierung) der Wellenfunktion auf ein beschränktes Gebiet, den Potentialkasten, bedingt die Quantisierung der Teilchenenergie.



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