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5.5  Wahrscheinlichkeitsdichte und Wellenfunktion: Bohrsche Interpretation

Wie oben ausgeführt, beschreiben die Eigenfunktionen des Operators ^H (Lösungen der Schrödingergleichung) oder jedes anderen Operators nicht die räumliche Verteilung eines Teilchens. Nach Niels Bohr und der Kopenhagener Interpretation befindet sich ein Teilchen mit Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ (x )|2 = ψ*(x)ψ(x) am Ort x.

5.5.1  Wellenpakete

Wenn der Impuls px = kx eines Teilchens nicht scharf definiert ist, das heisst wenn das Teilchen nicht durch eine ebene Welle (unendlich ausgedehnt!) beschrieben wird, hat der Impuls des Teilchens eine Streuung Δpx2. Mit einer Fouriertransformation kann man den Ort ausrechnen, wenn bekannt ist, dass das Teilchen sich im Impulsraum zwischen px - Δpx2 px px + Δpx2 aufhält. Wir erwarten ein Resulat analog zur Beugung einer ebenen Welle an einem Spalt, also eine sinc(z) = sin(z)∕z-Funktion.

Wir betrachten nur den Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x,t) = ψ0 exp (i (kx - ωt)).

        px+Δpx∕2          px+ Δpx∕2
          ∫      ikx         ∫     ixpx∕ℏ       ℏ-(  ixΔpx∕2ℏ   - ixΔpx∕2ℏ) ixpx∕ℏ
ψ(x ) ∝        e   dpx =         e     dpx =  ix  e        - e          e
       px-Δpx∕2          px-Δpx∕2
(5.1)

dieses Resultat kann umgeformt werden

       2ℏ    ( xΔp   )
ψ(x) ∝ ---sin  ----x- eixpx∕ℏ
        x        2ℏ
(5.2)

Die Amplitude der Ortswellenfunktion ψ(x) ist abhängig von der Position, also also keine echte ebene Welle. Die Aplitude proportional zu:

sinc(z) = sinz-     mit       z = xΔpx--
            z                       2ℏ

Die erste Nullstelle von sin(z)∕z liegt bei z = π. Wenn wir annehmen, dass ⟨x⟩ = 0 ist, können wir schreiben

     xΔpx   x→ Δx
π =  -2ℏ---  =⇒    Δx · Δpx  = 2π ℏ ≈ 2πℏ = h
(5.3)

Das Produkt ΔxΔpx = h zeigt die realisierbare Genauigkeit der silultanen Orts- und Impulsbestimmung. Ein Wellenpaket mit einer Gauss’schen Einhüllenden ist in Abbildung 5.5.1 gezeigt. Bei diesem Wellenpakte kann gezeigt werden, dass das Produkt ΔxΔpx den minimal möglichen Wert annimmt.

PIC

Wellenpaket.



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