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D.4  Rechnen mit Vektoren

D.4.1  Vektoridentitten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Lngen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

    (     )
       ax
a = |(  ay |)
       az

Fr die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

D.4.1.1. Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

k = ab  = axbx + ayby + azbz = abcos (∠(a,b))
(D.1)

Vektorprodukt

           (              )
              aybz - azby
c = a ×b = |(  azbx - axbz |)      |a × b | = ab sin (∠(a,b))
              a b  - a b
               x y    y x
(D.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

ab = ba (D.3)
a×b = -b×a (D.4)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

ab  = 0
(D.5)

Sie sind kollinear, wenn

a × b =  0
(D.6)

Doppeltes Vektorprodukt

a × (b × c) = (ac )b - (a b )c
(D.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

(a × b) c = (b × c ) a
= (c × a ) b
= -(b × a ) c
= -(c × b) a
= -(a × c ) b
= axbycz + aybzcx + azbxcy -(azbycx + axbzcy + aybxcz) (D.8)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(a × b)c  = 0
(D.9)

Lagrangesche Identitt

(a × b) (c × f ) = (a c )(bf ) - (af  )(bc )
(D.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(a × b ) × (c × d ) = ((a × b )f )c - ((a × b )c )f
(D.11)

D.4.1.2. Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

         (     )   (  da  )    (     )
d      d    ax        -dxt        a˙x
--a = -- |(  ay |) = |(  dadyt |) =  |( a˙y  |)
dt    dt    az        daz        a˙z
                       dt
(D.12)

Ableitung eines Produktes

d               dφ       d
-- (φ(t)a(t)) = ---a + φ-- a
dt              dt      dt
(D.13)

Ableitung des Skalarproduktes

d           da          db
dt (a b ) = dt-b + a  dt
(D.14)

Ableitung des Vektorproduktes

 d           da            db
-- (a × b) = --- × b + a × ---
dt            dt           dt
(D.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist aa = a2 = const. Aus Gleichung (D.14) folgt

       2
0 = da--=  d- (a a ) = da-a+a   da- = da-a       ⇒      da-⊥a
     dt    dt          dt          dt    dt                dt
(D.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

                   da ||   τ2 d2a ||        τn dna ||
a(t+ τ ) = a(t)+ τ ---|| + -----2-|| + ...+ ------n|| + ...
                   dt |t  2  dt  |t        n!  dt |t
(D.17)

D.4.1.3. Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

∂-φ(r)       φ(r-+-ϵc)---φ-(r-)
  ∂c   = lϵi→m0         ϵ
(D.18)

Ableitung ∂φ(r)
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂-φ(r =  |c| ∂φ(r-)
  ∂c         ∂ec
(D.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem strksten Abfall (Einheitsvektor n)

∂φ(r)-   ∂φ-(r-)
 ∂ec  =   ∂n   cos (∠ec,n )
(D.20)

D.4.1.4. Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

∂a-(r) = lim a(r-+-ϵc)---a-(r-)
  ∂c     ϵ→0         ϵ
(D.21)

Ableitung ∂a∂(erc) in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂a (r       ∂a(r )
--∂c- =  |c| -∂e---
               c
(D.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

∂a (r)
------
  ∂c =(cgrad   ) a (D.23)
= 1-
2(rot (a × c) + grad  (ca ) + cdiv  a - adiv  c
- c × rot a -  a × rot c)

Gradient eines Produktes

grad  (φ1 φ2) = φ1grad  φ2 + φ2grad  φ1
(D.24)

Kettenregel beim Gradienten

                dφ1-
grad  φ1 (φ2 ) = dφ2 grad φ2
(D.25)

Gradient eines Skalarproduktes

grad  (ab ) = (agrad   )b+ (bgrad  ) a+a ×rot  b+b ×rot  a
(D.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

grad  (rk ) = k
(D.27)

Divergenz eines Produktes

div (φa ) = φdiv a + agrad  φ
(D.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

             r-k-
div (rk ) =  |r|
(D.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

div (a × b) = brot  a -  arot  b
(D.30)

Rotation eines Produktes

rot  (φa ) = φrot a + grad  φ × a
(D.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

rot (a × b) = (bgrad   )a - (a grad )b+adiv  b - bdiv a
(D.32)

Rotation eines Potentialfeldes

rot  (grad  φ) = 0     ∀φ
(D.33)

Divergenz einer Rotation

div  (rot a) = 0     ∀a
(D.34)

Rotation einer Rotation

rot (rot a ) = grad  (div a ) - div  (grad a )
(D.35)



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