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D.9  Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 146])

PIC Dreieck

halber Dreiecksumfang
s = a+b+c
--2--
Radius des Umkreises
R = 2sainα- = 2sbinβ- = 2csinγ-
Radius des Inkreises
r = ∘ -------------
  (s-a)(s-b)(s-c)
        s = s tan α2- tan β
2 tan γ
2 = 4R sin α2-β
2γ
2
Flächeninhalt
S = 1
2ab sin γ = 2R2 sin α sin β sin γ = rs =
∘ ---------------------
  s(s - a)(s - b)(s - c)
Sinussatz
--a-
sin α = -b--
sinβ = -c--
sinγ = 2R
R ist der Umkreisradius
Projektionssatz
c = a cos β + b cos α
Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck
c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ
Mollweidsche Gleichungen
(a + b) sin γ
2 = c cos ( α-β)
  -2--
(a - b) cos γ
 2 = c sin (α-β)
  2
Tangenssatz
aa+-bb = tan α+-β
tan-α-2β
    2
Halbwinkelsatz
tan α-
2 = ∘ ---------
  (s-b)(s-c)
    s(s-a)
Tangensformeln
tan α = ca-saincoβsβ = ba-saincoγsγ
Beziehungen für halbe Winkel
sin α2- = ∘ ---------
  (s-b)b(sc-c)
cos α-
 2 = ∘ s(s--a)-
    bc

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 148])




gegeben Formeln



1.
1 Seite und 2 Winkel (a,α,β)
γ = π-α-β, b = asinβ
 sinα, c = a-sinγ
 sinα, S = 1
2ab sin γ



2.
2 Seiten und der eingeschlossene Winkel (a,b,γ)
tan α-β
-2-- = a- b
a+b cot γ
-2 α+β
-2-- = π
2 -γ
2 α und β werden aus α +β und α-β berechnet. c = asinγ-
sin α, S = 1
2ab sin γ



3.
2 Seiten und der einer von ihnen gegenüberliegende Winkel (a,b,α)
sin β = bsinα-
 a Für a b ist β < π
2 und eindeutig bestimmt. Für a < b sind die folgenden Fälle möglich:
  1. β hat für b sin α < a zwei Werte β2 = π - β1
  2. β hat genau einen Wert (π
 2) für b sin α = a
  3. Für b sin α > a ist es unmöglich, ein Dreieck zu konstruieren.

γ = π -α-β c = a-sinγ
 sinα S = 1
2ab sin γ




4.
3 Seiten (a,b,c)
r = ∘ (s--a)(s-b)(s--c)-
  ------s------, tan α2- = sr-a, tan β
2 = -r-
s-b, tan γ
2 = -r-
s-c, S = rs = ∘ ---------------------
  s(s - a)(s - b)(s - c)



Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke



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