5.6  Heisenbergsche Unschärferelation

Die Betrachtung im vorherigen Abschnitt legen die Frage nahe: was ist die minimale Grösse des Produktes ΔxΔp? Dazu betrachten wir ein Wellenpaket wie in Abbildung 5.5.1 gezeigt, das durch eine Gausssche Verteilung der Amplitude der Wellenfunktion (im Ortsraum oder in der Zeit) definiert ist.

(5.1)

Die Vorfaktoren dienen zur Normierung der Funktion. Das Maximum der Wellenfunktion befindet sich bei x = 0 (wie sich herausstellen wird), die Variable a ist die Breite des Pakets und k₀ der mittlere Wellenvektor. Die resultierende Funktion ψ(x, 0) ist eine Gausssche Verteilung in Abhängigkeit von x.

(5.2)

Diese Wellenfunktion ist normiert, d.h.

(5.3)

Die Streuung von x wird durch und gegeben

Die Streuung des Impulses wird mit p_x = −iℏ und p_x² = −ℏ² berechnet. Wir berechnen zuerst die erste Ableitung

(5.5)

und dann die zweite Ableitung

(5.6)

Dann ergibt sich

und damit

(5.8)

Das Gauss’sche Wellenpaket hat, sowohl im Orts- wie auch im Impulsraum, die optimale schmale Ausdehnung. Es ist möglich, auf Kosten der Ortsgenauigkeit die Messgenauigkeit für den Impuls zu steigern, und umgekehrt.

Wir nennen (5.9) die Heisenbergsche Unschärferelation.

Damit ist gezeigt, dass es unmöglich ist, gleichzeitig Ort und Impuls mit beliebigen Genauigkeit zu messen.