Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist
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die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.
Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.
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Gradient als Richtung der stärksten Steigung
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Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle
einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen
Ebene. Sie ist definiert:
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Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition
Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei
Variablen
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Wir betrachten eine Vektorfunktion
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Vektorfeld mit Umrandung
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Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die x-Richtung heisst das, dass
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fliesst.
In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung
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Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also
Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen
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Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann
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Wir definieren
Divergenz einer Vektorfunktion (x,y) in drei
Dimensionen
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Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion
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Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation
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Wir nehmen nun an, dass die durch (x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen
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und
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Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein „−“ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also
Rotation in zwei Dimensionen
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Für eine dreidimensionale Vektorfunktion
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kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also
Rotation in drei Dimensionen
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Man kann sich die Berechnung gut merken mit
Gedankenstütze für Rotation
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