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D.11  Die Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder zu beschreiben.

Wir beginnen, indem wir die Funktion

{ 1 a f(x) = a, für |x| ≤ 2; 0, sonst.
(D.1)

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pict

Darstellung von f(x), wobei a variiert wird.

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In der Abbildung D.11 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von f(x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve

∫∞ a∫∕2 |a∕2 ( ( )) A = f(x)dx = 1dx = x-|| = 1- a-− − a- = 1 f a a |− a∕2 a 2 2 −∞ − a∕2
(D.2)

ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche Delta-Funktion

δ(x) := lim f (x) a→0
(D.3)

Damit ist auch

∫∞ ∫∞ ( ) a∫∕2 δ(x)dx = lim f(x) dx = lim 1dx = lim 1 = 1 a→0 a→0 a a→0 − ∞ − ∞ −a∕2
(D.4)

Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes

∫∞ g(x )δ(x )dx −∞

wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe von g(x) ist dann

( | ) ( | ) ∂ || xn ∂n || g(x) = g(0)+x ∂x-g(x )|| +...+ n!- ∂xn-g(x)|| +... x=0 x=0
(D.5)

Dann ergibt das Integral

pict

Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung

∞ ∫ g(x)δ(x − x0)dx = g (x0 ) −∞
(D.7)

gilt.


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