Eigenschaften des $\vec{B}$-Feldes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])

Versuch zur Vorlesung: Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11)

Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion $\vec{B}$ ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz

$$\vec{F}_L = q \cdot \vec{v}\times \vec{B}$$ (3.249)

beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft $\vec{F}_L$ heisst Lorentz-Kraft.

Durch den Vergleich von Gleichung (3.104) und Gleichung (3.101) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben

$$B(r) = \frac{I}{2\pi\varepsilon_0 c^2}\cdot \frac{1}{r}$$ (3.250)

Die Induktionskonstante

$$\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$$ (3.251)

ermöglicht es Gleichung (3.105) kompakter zu schreiben

$$B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{I}{r}$$ (3.252)

Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

Materialien Folien zur Vorlesung vom 05. 06. 2008: PDF Seminar vom 05. 06. 2008. Aufgabenblatt 08

Die magnetische Induktion $\vec{B}$ bildet eine Rechtsschraube um den Strom $I$ (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion).

Versuch zur Vorlesung: Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50)

Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom.

Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit

$$\vec{F}_L = q_2 \cdot \vec{v}_2 \times \vec{B}_1(r)$$ (3.253)

wobei $q_2$ eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit $n_2$ der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, $\ell$ die betrachtete Länge, $A_2$ der Querschnitt des Leiters und $\left<v_2\right> = \left\vert\vec{v}_2\right\vert$, bekommt man

$$F_M = q_2 \cdot \left<v_2\right> \cdot B_1(r)\cdot n_2\cdot \ell \cdot A_2$$ (3.254)

Der Strom im Leiter 2 ist nun aber

$$I_2 = \left<v_2\right> \cdot q_2 \cdot n_2 \cdot A_2$$ (3.255)

Damit ist

$$F_M = I_2 \cdot B_1(r) \cdot \ell$$ (3.256)

Wenn wir Gleichung (3.107) einsetzen, bekommen wir

$$F_M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \ell \cdot I_1 \cdot I_2}{r}$$ (3.257)

Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.

$$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\frac{N}{A^2}$$ (3.258)

Die Einheit der magnetischen Induktion ist

$$[B] = Tesla = T = \frac{N\cdot s}{C \cdot m} = \frac{N}{A m}= \frac{V\cdot s}{m^2}$$ (3.259)

Manchmal wird die magnetische Induktion auch als magnetische Flussdichte bezeichnet.

Die magnetische Induktion wurde so definiert, dass in Gleichung (3.112) alle Faktoren bis auf den Strom $I_2$ und die Länge $\ell$ durch ${B}(r)$ symbolisiert werden. Diese Wahl ist willkürlich. Wir hätten genau so gut ein Feld durch

$$H(r) = \frac{I}{2\pi r}$$ (3.260)

definieren können. $\vec{H}$ heisst magnetisches Feld oder magnetische Feldstärke. Das magnetische Feld hat die Einheit

$$\left[H\right] = \frac{A}{m}$$

Das magnetische Feld $H$ ist unabhängig von der Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische Induktion $B$ hängt vom den Raum füllenden Material ab.

$$E \Leftrightarrow \ D = \varepsilon \varepsilon_0 E$$

$$H \Leftrightarrow B = \mu \mu_0 H$$

• Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung $q$ in einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung ist

  $$\vec{F}= q\cdot \vec{E}+ q\cdot \vec{v}\times \vec{B}$$ (3.261)

  
  
  Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik
• Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem elektrostatischen Feld.

Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

Der Betrag des Vektors $d\vec{F}$, der senkrecht auf $d\vec{\ell}$ und senkrecht auf $d\vec{B}$ steht, ist

$$dF = q \cdot \left< v \right> \cdot \sin \phi \cdot B \cdot n \cdot d\ell \cdot A$$ (3.262)

wobei $n$ die Dichte der Ladungsträger und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec{B}$ und $d\vec{\ell}$ ist. Mit der Stromdichte $\vec{i}= n \cdot \left< \vec{v}\right> \cdot q$ erhalten wir

$$dF = i \cdot A \cdot d\ell \cdot \sin\phi \cdot B = I \cdot d\ell \cdot \sin \phi \cdot B$$ (3.263)

Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach

$$d\vec{F}= I\cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}$$ (3.264)

Beispiel:

1. Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist

   $$\vec{F}= \oint I \cdot d\vec{\ell}\times \vec{B}= I \cdot \left( \oint d\vec{\ell}\times \vec{B}\right)$$ (3.265)

   
   
   Da das Linienintegral $\oint d\vec{\ell}\times \vec{B}$ über eine geschlossene Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben sich auf) ist $\vec{F}= 0$.
2. Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.
   
   

   Link zur Vorlesung:(Elektromotor)
   
   
   

   Versuch zur Vorlesung: Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046)
   
   

   
   
   

   
   

   

   Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

   
   

   
   
   

   Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das infinitesimale Drehmoment
   

   $$d\vec{M} = \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_1+ \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_1$$ (3.266)

   $$ + \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_2+ \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_2$$

   $$ = 2\cdot \vec{r}_1 \times d\vec{F}_1 + 2 \cdot \vec{r}_2 \times d\vec{F}_2$$

   
   
   In Gleichung (3.121) enthält das Differential die Beiträge der oberen linken Seite plus die Beiträge der oberen rechten Seite plus die Beiträge der unteren linken Seite plus die Beiträge der unteren rechten Seite. Das gesamte Drehmoment bekommt man, indem man über die halbe Seite $a$ integriert.
   $$\vec{M}= \int\limits_0^{a/2} d\vec{M}= \int\limits_0^{a/2}\left(2... ...}{ds} ds + \int\limits_0^{a/2}2 \cdot \vec{r}_2 \times \frac{d\vec{F}_2}{ds} ds$$
   Wenn $\vec{F}_1$ die Kraft auf die ganze obere Seite ist (und $\vec{F}_2$ entsprechend für die untere Seite), ist
   $$\int\limits_0^{a/2} 2\cdot \vec{r}_1 \times \frac{d\vec{F}_1}{ds}... ..._1}{ds} ds = 2\cdot \vec{r}_1 \times\frac{\vec{F}_1}{2}\vec{r}_1\times\vec{F}_1$$
   Damit ist

   $$\vec{M}= \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = 2 \cdot \vec{r}_1 \times \vec{F}_1$$ (3.267)

   
   
   Das Drehmoment $\vec{M}$ liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn $\phi$ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und $\vec{B}$ ist, gilt mit $F_1 = a\cdot I \cdot B$:

   $$M = 2 \frac{b}{2} \sin\phi \cdot F_1 = a\cdot b\cdot I \cdot \sin\phi \cdot B$$ (3.268)

   
   
   Wir definieren das magnetische Moment $\vec{m}$ so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass $\left\vert\vec{m}\right\vert = \textrm{Fl\uml {a}che} \cdot \textrm{Strom} = a\cdot b\cdot I$ ist. Damit ist

   $$\vec{M}= \vec{m}\times \vec{B}$$ (3.269)

   
   
   Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
3. Die potentielle Energie $E_{pot}$ einer um den Winkel $\phi$ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von $\phi=0$ ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel $\phi$ dreht. Die Arbeit, um von $\phi'$ nach $\phi'+d\phi'$ zu drehen ist

   $$dE_{pot} = 2 \cdot F_1 \sin\phi' \cdot\frac{b}{2}\cdot d\phi' = a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \sin\phi' \cdot d\phi'$$ (3.270)

   
   
   Damit erhalten wir

   $$E_{pot}(\phi) =a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \int\limits_0^\phi \sin\phi' \cdot d\phi' = - a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \left(\cos\phi -1\right)$$ (3.271)

   
   
   Wenn wir $E_{pot}(\phi=\pi/2) = 0$ wählen haben wir

   $$E_{pot} = - \vec{m}\cdot \vec{B}$$ (3.272)

   
   

Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.

Versuch zur Vorlesung: Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004)

Das Ampèresche Durchflutungsgesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])

Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom $I$ erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke $B = \frac{\mu_0}{2\pi r} I$ charakterisiert, wobei das $\vec{B}$-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises $S$, ergibt

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d \vec{s}= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\oint\limits_S \frac{r}{r} d\phi = \mu_0 I$$ (3.273)

Dieses Linienintegral ist unabhängig von $r$. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.

Ampèresches Durchflutungsgesetz

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \mu_0\iint\limits_{A(S)} \vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.274)

Der Beweis geht in mehreren Schritten:

Eine beliebige Kurve $S$ um einen geraden Leiter

$_{}$

$d\vec{s}'$ ist die Projektion des Weglängenelementes $d\vec{s}$ auf der Kurve $S$ auf die in der $xy$-Ebene liegende Projektion der Kurve $S'$. Es ist

$$\vec{B}\cdot d\vec{s}= \vec{B}\cdot d{\vec{s}}' = B(r) \cdot \cos\alpha ds' = B(r)\cdot r\cdot d\phi$$

da $\vec{B}(r)$ keine Komponente in die $z$-Richtung hat. Es ist

$$\vec{B}\cdot d\vec{s}= \frac{\mu_0}{2\pi} I \cdot d\phi$$

und damit

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} d\phi = \mu_0 I$$

Eine beliebige Kurve $S''$, die den Leiter nicht umschliesst

Es ist

$$\oint\limits_{S'} \vec{B}\cdot d\vec{s}= \int\limits_A^B \vec{B}\... ...{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_A^B d\phi+\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_B^A d\phi$$

$$= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_B-\phi_A\right)+ \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_A-\phi_B\right)=0$$

Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg $S$ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.

Eine beliebige Kurve $S$ um eine beliebige Stromverteilung

Wir betrachten
viele Ströme $I_k$, die von der Integrationskurve $S$ umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \mu_0 \sum\limits_k I_k$$

wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von $S$ eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.

Beispiel:

Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius $R$ soll homogen vom Strom $I$ durchflossen werden. Die Stromdichte $\vec{i}$ und der Strom $I$ stehen dann betragsmässig wie

$$I = i\left(\pi R^2\right)$$

in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg $s$. Ausserhalb des Leiters ($r>R$) haben wir

$$\oint_{s}\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r\cdot B(r) = \mu_0 \iin... ...\iint\limits_{\pi R^2 \text{(Querschnitt)}}\vec{i}\cdot d\vec{s}= \mu_0 \cdot I$$

Innerhalb des Leiters ($r\leq R$) gilt

$$\oint\limits_{s}\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r \cdot B(r) = \m... ... \pi r^2 = \mu_0 \cdot \frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2 = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$$

und damit

$$B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \frac{r}{R^2}$$

Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.

Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (C.43) ) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d\vec{s}= \iint\limits_{A(S)} {}\bo... ...{rot}}{} \vec{B}\cdot d\vec{a}= \mu_0 \iint\limits_{A(S)} \vec{i}\cdot d\vec{a}$$ (3.275)

Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen $A(S)$ gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{B}= \mu_0 \vec{i}$$ (3.276)

Materialien Folien zur Vorlesung vom 09. 06. 2008: PDF

Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

Wir definieren eine lineare Stromdichte $j = \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{I(\Delta y)}{\Delta y}$. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der $z$-Richtung

$${B}_z \equiv 0$$ (3.277)

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der $xy$-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die $x$-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von $\vec{B}$ parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter die Komponenten ${B}_x(x)$ und ${B}_y(x)$ des Feldes $\vec{B}$ im Abstand $x$ von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $z$-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss
  $${B}(x) = -{B}(-x)$$
  sein.
• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $y$-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um $j \rightarrow -j$. Die Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch
  $${B}_x(-x) = {B}_x(x)$$
  und
  $$B_y(-x)= -B_y(x)$$
  .

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

$${B}_x(x) \equiv 0$$ (3.278)

Um $\vec{B}_y$ zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad $S$ symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

$$\oint\limits_s \vec{B}\cdot d\vec{s}= 2 B_y(x)\cdot b + 2\cdot 0 = \mu_0 \iint\limits_{A(s)} \vec{i}d\vec{a}= \mu_0 \cdot j \cdot b$$

Das Resultat ist unabhängig von $x$ und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.32, Mitte).

$$B_y = \frac{\mu_0}{2}j$$ (3.279)

Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.

$$B = \mu_0 j$$ (3.280)

Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule

Quellenfreiheit

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.

Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes

Da überall auf der Integrationsfläche $A$ gilt: $\vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$, ist

$$\iint\limits_A \vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$$ (3.281)

Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass

$$\iint\limits_A \vec{B}\cdot d\vec{a}= \iint\limits_{Mantel} \vec{B}\cdot d\vec{a}$$

ist.

Integration über die Mantelfläche.

An der Mantelfläche gilt mit $da = h\cdot ds$

$$\vec{B}\cdot d\vec{a}= B(r) \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)h\cdot ds = - B(r) \sin\left(\alpha\right)h\cdot ds$$

$$= -B(r) \cdot dr \cdot h = -B(r) \cdot \frac{dr}{d\phi}d\phi \cdot h= -B(r) \cdot r'(\phi)\cdot d\phi \cdot h$$

und damit

$$\iint\limits_{Mantel} \vec{B}\cdot d\vec{a}= -\frac{\mu_0 I h}{2\... ...= \left.-\frac{\mu_0 I h}{2\pi}\ln\left(r(\phi)\right)\right\vert _0^{2\pi} = 0$$

Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen

$$\iint\limits_A \vec{B}\cdot d\vec{a}= 0$$ (3.282)

Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.41) ) zeigt man

Quellenfreiheit des Magnetfeldes

$$0=\iint\limits_A \vec{B}\cdot d \vec{a}= \iiint\limits_{V(A)} {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{B}\; dV$$ (3.283)

oder in differentieller Form

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{B}= 0$$ (3.284)

Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.

Das $\vec{B}$-Feld einer beliebigen Stromverteilung: das Vektorpotential $\vec{A}$

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 114])

Versuch zur Vorlesung: Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021)

In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion $\vec{B}$ möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential $U(\vec{r})$ durch

$$\vec{E}(\vec{r}) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U(\vec{r})$$

eindeutig ein elektrisches Feld $\vec{E}(\vec{r})$ konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{E}(\vec{r}) = 0$$

genügt. Grundlage war die Vektoridentität

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \mathfrak{F}(\vec{r})\right) \equiv 0$$

die für beliebige Funktionen $\mathfrak{F}(\vec{r})$ gilt (siehe Gleichung (C.33) ). Es gibt unter den Rechenregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.1.4) eine weiter Identität mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.34) .

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{\mathfrak{F}}\right)=0 \qquad\forall \vec{\mathfrak{F}}$$

Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{B}= \mu_0 \vec{i}$ und die Quellenfreiheit ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{B}= 0$ erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.68) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach Gleichung (C.34) ein beliebiges Vektorfeld $\vec{A}$ wählen und die magnetische Induktion $\vec{B}$ gleich der Rotation von $\vec{A}$ setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von $\vec{B}$ gewährleistet. Mit dem Vektorpotential $\vec{A}$

$$\vec{B}\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\left(x\text{,} y\text{,} z\right)$$ (3.285)

werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\right) = 0$$ (3.286)

ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von $\vec{A}$ garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}\... ...{grad}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}\right) - \Delta \vec{A}$ bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz

$$\Delta \vec{A}- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}\right) = -\mu_0 \vec{i}$$ (3.287)

Das Vektorpotential $\vec{A}$ kann immer so gewählt werden, dass ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}= 0$ gilt.

Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}= f \neq 0$ existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld $\vec{V}= {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \phi$ mit

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{V} = f$$ (3.288)

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{V} = 0$$

mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein Vektorpotential

$$\vec{A}' = \vec{A}- \vec{V}$$

Wegen Gleichung (3.144) gilt dann

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}' = {}\boldsymbol{\mathrm... ...,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{V}= {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}$$

Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche $\vec{B}$-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.144) gilt auch

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}' = {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}- {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{V}= f-f = 0$$

Zu jedem Vektorpotential $\vec{A}$ kann ein Vektorpotential $\vec{A}'$ gefunden werden, so dass ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{A}' = 0$ ist.

Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential $\vec{A}$ ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von $\vec{B}$ gehörenden Potentiale nennt man Eichung

In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential.

Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung

$$\Delta\vec{A}\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = -\mu_0\vec{i}\left(x\text{,} y\text{,} z\right)$$ (3.289)

kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,

$$\vec{A}\left(\vec{r}\right) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint \frac{\vec{i}\left(\vec{r'}\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}dV'$$ (3.290)

Aus der Beziehung $\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~{\vec{A}}=\vec{B}$ (Siehe Landau und Lifschitz, Klassische Feldtheorie [, pp. 121]) bekommen wir

$$\vec{B}(\vec{r}) = \,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~{\frac{\mu_0}{... ... \frac{\vec{i}\left(\vec{r'}\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}dV'}$$ (3.291)

Nun bezieht sich die Rotation nur auf $\vec{r}$, nicht aber auf $\vec{r}'$. Deshalb kann sie unter das Integral gezogen werden.

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \left(\,{}\boldsymbo... ...\vec{i}\left(\vec{r'}\right)}{\left\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}}\right)dV'$$ (3.292)

Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 468])

$$\,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~{U\,\vec{B}} = U\, \,{}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}~{\vec{B}} + \,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{}~{U}\times \vec{B}$$

Hier ist der Vektor $\vec{i}(\vec{r}')$ bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von $\vec{r}'$ und nicht von $\vec{r}$ abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen Konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise im Gradienten, nicht bezüglich $\vec{r}$ sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems $\vec{\rho}= \vec{r}-\vec{r}'$ aus. Es bleibt also

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{... ...\vert\vec{r}-\vec{r}'\right\vert}}\times \vec{i}\left(\vec{r'}\right)\right)dV'$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \left(\,{}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{... ...{\left\vert\vec{\rho}\right\vert}}\times \vec{i}\left(\vec{r'}\right)\right)dV'$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \left(\left(-\frac{\vec{\rho}}{\left\vert\vec{\rho}\right\vert}\right)\times \vec{i}\left(\vec{r'}\right)\right)dV'$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint { \frac{\vec{i}\left(\vec{r'}\right)\times\vec{\rho}}{\left\vert\vec{\rho}\right\vert^{3}}}dV'$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\vec{i}\left(\vec{\rho}\right) \times\vec{\rho}}{\left\vert\vec{\rho}\right\vert^{3}}dV_{\vec{\rho}}$$ (3.293)

Die letzte Zeile ergibt sich, da für die Zwecke der Integration $\vec{r}$ eine Konstante ist. Auch hier muss das Resultat der Integration unabhängig davon sein, dass wir das Koordinatensystem verschoben oder das Vorzeichen geändert haben. Deshalb darf man $\vec{i}(\vec{r}')=\vec{i}(\vec{r}-\vec{r'}) = \vec{i}(\vec{\rho})$ setzen.

Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom $dI\,\vec{e}_{Draht}(\vec{r}')=\vec{i}=I\,d\vec{\ell}$. $\vec{e}_{Draht}$ ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da $\vec{i}$ überall null ist ausser auf dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir $\vec{i}$ von $\vec{r}'$ oder von $\vec{\rho}$ abhängen lassen.

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\limits_{Leiter}\frac{d\vec{\ell}\times\vec{\rho}}{\rho^3}$$ (3.294)

Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Mit ihm kann man das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.

Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden, nämlich die Formel von Laplace.

$$d\vec{B}= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{d\vec{\ell}\times\vec{\rho}}{\rho^3}$$ (3.295)

Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung!

Beispiel:

Wir hatten in Abbildung 3.32 gesehen, dass ein homogener Strom in die $+z$-Richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form

$$B_y\left(x\text{,}\,y\text{,}\,z\right) = \left\{ \begin{array}{l... ...0, & \hbox{wenn $x<0$;} \\ B_0, & \hbox{wenn $x > 0$.} \\ \end{array} \right.$$ (3.296)

Für $x=0$ ist $B_y$ nicht definiert.

Darstellung von $\vec{B}$ in einer $(x=const)$-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei $x=0$.

Das zu Gleichung (3.151) gehörige Vektorpotential ist

$$A_x\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = 0$$

$$A_y\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = 0$$

$$A_z\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = \left\{ \begin{array}{ll} B_0\, x, & \hbox{f\uml {u}r $x < 0$;} \\ -B_0 x, & \hbox{f\uml {u}r $x>0$.} \\ \end{array} \right.$$ (3.297)

Wieder ist $\vec{A}$ für $x=0$ nicht definiert. Aus $\vec{B}= {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}$ bekommt man

$$B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} =$$ 0

$$B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} = \left\{ \begin{array}{ll} -B_0, & \hbox{f\uml {u}r $x<0$;} \\ B_0, & \hbox{f\uml {u}r $x>0$.} \\ \end{array} \right.$$

$$B_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} =$$ 0 (3.298)

$z$-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in $z$-Richtung in der $(x=0)$-Ebene.

Beispiel:

Das Vektorpotential

$$\vec{A}(\vec{r}) = \left( \begin {array}{c} \frac{1}{2}\,{\frac {... ... \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) }}\\ \noalign{\medskip }0\end {array} \right)$$

ergibt das magnetische Feld für einen in der $z$-Richtung laufenden Strom $I$

$$\vec{H}(\vec{r})=\left( \begin {array}{c} -\frac{1}{2}\,{\frac {I... ...\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) }}\\ \noalign{\medskip }0 \end {array} \right)$$

In Zylinderkoordinaten $(r,\theta,z)$ gehört zum Magnetfeld

$$\vec{H}(r,\theta,z)=\left( \begin {array}{c} 0\\ \noalign{\medskip }\frac{1}{2}\,{\frac {I}{\pi \,r}}\\ \noalign{\medskip }0\end {array} \right)$$

das Vektorpotential

$$\vec{A}(r,\theta,z) = \left( \begin {array}{c} \frac{1}{2}\,{\fra... ...{\pi \,r}}\\ \noalign{\medskip }0\\ \noalign{\medskip }0\end {array} \right)$$