Literatur | |
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Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.
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Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.8 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und 6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.
Versuch zur Vorlesung: | |
Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039) | |
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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
Wir betrachten eine Welle e, die aus dem Medium mit μ1
und 𝜀1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ2 und
𝜀2 fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine
reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
Gegeben sind e, μ1, 𝜀1, μ2, 𝜀2,
e und ωe
. An den
Grenzflächen gilt
Sei n der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der
resultierende Vektor des Kreuzproduktes von
e mit
n liegt
senkrecht zu
n und damit in der Grenzfläche der beiden
Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche
Richtung zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein
Kreuzprodukt mit
n an. Unabhängig von der Richtung
von
e bekommt man mit dieser Operation immer die
Komponente von
e tangential zur Grenzfläche
![]() | (6.2) |
Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten
der Vektoren r und
t in der Grenzfläche berechnen. Die
Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des
elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so
geschrieben werden
![]() | (6.3) |
Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir
Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
wobei nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist,
also mit
n·
= 0. Damit Gleichung (6.5) zu allen Zeiten an
einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen
gleich sein
![]() | (6.6) |
Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung
des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss,
ist
im Allgemeinen nicht parallel zur Grenzfläche. Aus der
ersten Gleichung in (6.7) folgt
![]() | (6.8) |
Eine Gleichung vom Typ ·
= ϖ beschreibt eine
Ebene. Die Endpunkte von
liegen in der Ebene mit dem
Normalenvektor
. ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt
an. Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene,
die senkrecht zu
e −
r liegt. Andererseits wissen wir,
nach unserer Konstruktion, dass
in der Grenzfläche
mit dem Normalenvektor
n liegt.
n ist also parallel zu
e −
r. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium
1, das heisst
= ke =
= kr. Wir können also
schreiben
![]() | (6.9) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
![]() | (6.10) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n
und dem Wellenvektor der einfallenden Welle
e und β der
Winkel zwischen der Oberflächennormale
n und dem
Wellenvektor der reflektierten Welle
r.
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
![]() (Einfallswinkel=Ausfallswinkel) |
Aus Gleichung (6.7) folgt weiter
![]() | (6.11) |
Gleichung (6.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die
senkrecht zu e −
t liegt. Andererseits wissen wir, nach
unserer Konstruktion, dass
in der Grenzfläche mit dem
Normalenvektor
n liegt.
n ist also parallel zu
e −
t. Wir
können also schreiben
![]() | (6.12) |
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
![]() | (6.13) |
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale n
und dem Wellenvektor der einfallenden Welle
e und γ
der Winkel zwischen der Oberflächennormale
n und
dem Wellenvektor der transmittierten Welle
t. Aus der
Wellengleichung folgt
![]() | (6.14) |
Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.13) auch als
![]() | (6.15) |
oder
![]() | (6.16) |
Mit der Definition (6.1) (n = ![]()
Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius. |
Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (6.3) können wir die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren angeben:
Wir subtrahieren Gleichung (6.18a) von Gleichung (6.18b), beziehungsweise von Gleichung (6.18c) erhalten wir die Beziehungen
Setzen wir mit Gleichung (6.9) für r −
e = Γre
n und
−
e = Γte
n erhalten wir für die Gleichungen (6.19a)
beziehungsweise (6.19b)
Damit gilt für die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren
Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren
dere einfallenden, reflektierten und gebrochenen
Wellen sind gleich.
|
Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor der Grenzfläche liegen.
Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009 | |
Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07. 2009). | |
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten 𝜀1 und 𝜀2 sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
![]() | (6.22) |
wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen n
sind, Ee ist die Amplitude der
-Feldkomponente der
einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche
(s-Polarisation), Er die Amplitude der reflektierten und Et die
der gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
![]() | (6.23) |
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig
sein, also ist nach Gleichung (6.3)
![]() | (6.24) |
Wir beachten, dass a2 − b2 = (a − b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten
![]() | (6.25) |
Die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation
lauten Mit den Brechungsindizes n1 = ![]() ![]() |
Nach dem Brechungsgesetz ist
Wir setzen dies ein und erhalten
Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen
Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation
![]() ![]()
|
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden
Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei
nichtmagnetischen Materialien
Dabei ist ![]()
|
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der
s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien
|
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als
Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor
für It.
Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die Energie mit
einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium
mit dem Brechungsindex n1. Ist n2 grösser als n1. so ist die
Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I2 muss grösser
werden.
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Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit
p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die
-Vektoren dar (rot für die einfallende
elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und
blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die
-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion
auf die Grenzfläche dünn.
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Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die
Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von
durch
![]() | (6.32) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
![]() | (6.33) |
Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
![]() | (6.34) |
Damit müssen wir das Gleichungssystem
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und
die zweite mit
und addieren
![]() | (6.36) |
Um Er zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung
in (6.35) mit cos γ und die untere mit
subtrahieren und erhalten
![]() | (6.37) |
Damit erhält man
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
|
Mit den Brechungsindizes n1 = und n2 =
erhält man
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
|
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für
nichtmagnetische Materialien:
|
Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α = n2 sin γ eliminiert werden
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für
nichtmagnetische Materialien:
|
Mit sin(α ± γ) cos(α ∓ γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für
nichtmagnetische Materialien:
|
Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei
nichtmagnetischen Materialien:
|
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei
(p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
|
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1Ee2 als
Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor
für
It.
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Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die s- und p-Polarisation.
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Im Grenzfall α → 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Wir betrachten den Fall kleiner Winkel. Dann lautet das Snelliussche Brechungsgesetz
![]() | (6.45) |
Weiter gilt
![]() | (6.46) |
Lässt man in Gleichung (6.42) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte und das transmittierte elektrische Feld
und damit Er,p > 0. Andererseits hat der Grenzwert des elektrischen Feldes Er,s für α gegen Null bei der s-Polarisation in Gleichung (6.30)
einen negativen Wert. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.8.3 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte Er,p und Es,p sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen in identische Richtungen.
Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (6.42) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also Er(α = π∕2 − γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.
Beim Brewsterwinkel gegeben durch α + γ(α) = π∕2 ist Er,p für die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist s-polarisiert! |
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.
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Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei n i die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1)eintreten.
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Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE2 berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.
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Folien zur Vorlesung vom 20. 07. 2009 | |
Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Wir betrachten hier die p-Polarisation. Der einfallende Energiefluss ist
![]() | (6.51) |
Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
![]() | (6.52) |
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
![]() | (6.53) |
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
berechnen.
Wir setzen A = cos[2α − 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung um
Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.
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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (n1 = 1) Medium in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.
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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten.
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Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = niE2 cos(α i) berechnet, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der
Normalkomponente von 𝜀 =
liefert das Snelliussche
Gesetz.
Da bei senkrechtem Einfall s- und p-Polarisation ununterscheidbar sind, können die Gleichungen am einfachsten aus Gleichung (6.40) abgeleitet werden. Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass mit α = 0 auch γ = 0 ist. Setzen wir diese beiden Werte in Gleichung (6.40) ein, erhalten wir
Die Intensitäten bei senkrechtem Einfall ist über
![]() | (6.58) |
gegeben. Also haben wir (wir lassen die gleichen Faktoren in allen Intensitätsgleichungen weg)
In beiden Fällen ist nur das Verhältnis der Brechungsindizes wichtig. Mit an = n2∕n1 erhalten wir
Aus den beiden Gleichungen (6.60c) und (6.60d) ersieht man leicht, das die Summe aus transmittierter und reflektierter Intensität
![]() | (6.61) |
ist. Wesentlich war dabei der Faktor n2∕n1 bei der Berechnung der transmittierten Intensität. Die folgende Abbildung 6.8.7 zeigt das Verhalten der refelktierten und transmittierten feldamplituden und Intensitäten als Funktion von an = n2∕n1.
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Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2∕n1.
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Abbildung 6.8.7 zeigt die gleichen Kurven in logarithmischer Darstellung.
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Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2∕n1, mit logarithmischer Abszisse.
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Literatur | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080) | |
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium (n1)
in das schnellere n2 < n1 eintreten, es Winkel γ gibt
((n1∕n2) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung
der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist dann in
die z-Richtung rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies
heisst, dass auch die z-Komponente des -Vektor der
elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär
wird. Darum wird aus eikzz mit k
z = iκz der exponentielle
Dämpfungsfaktor e−κzz, wobei κ
z vom Einfallswinkel abhängt.
Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren
Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter
in die z-Richtung bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist
die Reflexion perfekt.
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Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.
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Intensitätsverteilung einer total reflektierten Welle und der dazugehörigen evaneszenten Welle.
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Wir suchen nun eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor
t der transmittierten Welle und dem Welllenvektor
e der
einfallenden Welle für den Fall, dass n1 sin(α) ≥ n2 ist, also
dass dass Snelliussche Brechungsgesetz (6.17) keine reelle
Lösung hat.
Aus der Definition der Brechzahl n in Gleichung (6.1) und
der Gleichung (6.14) folgt mit λvac der Vakuumwellenlänge
und c = 1∕ der Vakuumlichtgeschwindigkeit
![]() | (6.62) |
Der Betrag der Tangentialkomponente e,tangential des
Wellenvektors der einfallenden Welle kann mit dem
Einfallswinkel berechnet werden:
![]() | (6.63) |
Der Betrag des Wellenvektors der transmittierten Welle ist andererseits
![]() | (6.64) |
Wir stellen Gleichung (6.64) um und isolieren t,senkrecht2,
und setzen dann Gleichungen (6.21) und (6.63) ein
Im falle der Totalreflexion ist n1 sin(α) ≥ n2 und damit
n22 − n
12 sin 2(α) ≤ 0. Damit erhalten wir für den Betrag von
t,senkrecht
![]() | (6.66) |
Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit dem Brechungsindex n2 ist die exponentiell abfallende Lösung
![]() | (6.67) |
Die resultierende Welle im Medium 2 hat dann die zeitgemittelte Intensität
![]() | (6.68) |
Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge
![]() | (6.69) |
Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π∕12 = 75° von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 = 1.55 in Luft n2 = 1 übertritt, ist λ0 = 35.71 nm.