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4.2  Energie des Magnetfeldes

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Berechnung der Energie im Magnetfeld

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Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle U(t) = U0 sin(ωt) verbundene reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand R und eine ideale Spule L. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet

U (t) = L ·I˙(t) + R ·I (t)
(4.1)

Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form

IS (t) = I0cos(ωt − δ )
(4.2)

Für den Fall, dass R « ωL ist, bekommt man

          U
IS(t) = − --0 · cosωt
         ωL
(4.3)

Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist

                       U 20                     U02  1
PU (t) = U (t)·I(t) = − ωL-· sinωt · cosωt =  − ωL-· 2-sin(2ωt )
(4.4)

Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des B-Feldes ändern, da wir keine dissipativen Elemente haben (R = 0). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit I(t) multipliziert, bekommt man

                               (     )
PU = U (t)·I (t) = L ·I ·I˙=  d-  L-I2
                             dt  2
(4.5)

Nun ist aber P = dE∕dt. Damit ist die Energie des Magnetfeldes

EL =  L-I2
      2
(4.6)

Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule

B  = μ0nI
(4.7)

mit der Selbstinduktivität

L =  μ0n2A ℓ
(4.8)

wobei A der Querschnitt der Spule und ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung für die Energie EL bekommt man

                  (     )2      2
EL  = 1· μ0n2A ℓ·   -B--   =  B--A ℓ
      2             μ0n       2μ0
(4.9)

Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes

      -B2-
wB  = 2μ
         0
(4.10)



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