Drehmatrizen

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I.1 Drehmatrizen

Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor _x = (1,0,0) ^T um den Winkel α wird durch die Matrix

( ) 1 0 0 R (α) = |( 0 cos(α) − sin (α)|) x 0 sin (α ) cos(α)

(I.1)

die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor _y = (0,1,0) ^T um den Winkel β wird durch die Matrix

( cos(β ) 0 sin (β )) | | Ry (β) = ( 0 1 0 ) − sin (β ) 0 cos(β)

(I.2)

die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor _z = (0,0,1 ) ^T um den Winkel γ wird durch die Matrix

( ) cos(γ) − sin (γ ) 0 Rz(γ) = |( sin (γ ) cos(γ ) 0 |) 0 0 1

(I.3)

ausgeführt.

Der Vektor = (x,y,z) ^T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden. Dies wird mit der Operation

( ) ( ) ( ) 1 0 0 x x r′ = Rx(α)r = |(0 cos(α ) − sin(α )|) |(y|) = |( ycos(α ) − z sin (α )|) 0 sin(α) cos(α ) z ysin(α) + z cos(α )

(I.4)

bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.

Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1) wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ kann man auch α durch −α ersetzen.

( ) T −1 | 1 0 0 | Rx (− α ) = Rx(α ) = R x (α) = ( 0 cos(α) sin(α)) 0 − sin(α) cos(α)

(I.5)

Eine Drehung um einen beliebigen Vektor _α = (xα,yα,zα) ^T mit x_α² + y_α² + z_α² = 1 wird durch

R T(α )=
( (xα,yα2,zα) ( 2 2) )
xα +cos(α) yα+ zα − xαyα cos(α)(+2xαyα2)− zα2sin(α) −xαzαcos(α)+ xαzα +yαsin(α)
( −xαyαcos(α)+xαyα+ zαsin(α) cos(α) xα+ zα +yα −xαsin(α)−(y2αzα co2s)(α)+2yαzα)
−xαzαcos(α)+xαzα− yαsin(α) xαsin(α)− yαzαcos(α)+ yαzα cos(α)xα +yα + zα

(I.6)

beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der Richtung von _α (Der Daumen zeigt in die Richtung von _α, die Finger geben die Drehrichtung).

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