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Unterabschnitte

• Kraft F ist fehlerbehaftet
• Auslenkung $z$ fehlerbehaftet.
• Auslenkung z und Kraft fehlerbehaftet
• Ausgleichsrechnung für allgemeine Beziehungen

Numerische Verfahren

Wir betrachten nun zuerst den einfachen Fall einer linearen Beziehung zwischen zwei Grössen. Bei einer Feder wären dies die Auslenkung $z$, die angewandte Kraft $F$ und die Lage des Nullpunktes $z_{0}$. Ohne Verlust der Allgemeinheit kann $z_{0}=0$ gesetzt werden. Folgende Annahmen können nun gemacht werden:

1. Die Messung der Kraft F ist fehlerbehaftet
2. Die Messung der Position z ist fehlerbehaftet
3. Beide Messgrössen sind fehlerbehaftet.

Kraft F ist fehlerbehaftet

In diesem Falle können wir den Fehler für den $i$-ten Messpunkt wie folgt angeben:

$$F_i-k\cdot z_i = \epsilon_i$$

Das Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate verlangt nun , dass

$$\sum\limits_{i=1}^n \epsilon_i^2 = \left[\epsilon\;\epsilon\right]=\textrm{minimal}$$ (8.103)

ist. $\left[\epsilon\;\epsilon\right]$ ist eine Abkürzung für die Summe. Also

$$\frac{\partial}{\partial k}\left(\sum\limits_{i=1}^n \epsilon_i^2... ...ght)= 2\sum\limits_{i=1}^n\left(\left(F_i-kz_i\right)\left(-z_i\right)\right)=0$$ (8.104)

Diese Gleichung kann umgeschrieben werden:

$$0 = k\sum\limits_{i=1}^n z_i^2 -\sum\limits_{i=1}^n F_i z_i = k\left[z\; z\right]-\left[F\; z\right]$$ (8.105)

oder

$$k = \frac{\left[F\; z\right]}{\left[z\; z\right]}$$ (8.106)

Auslenkung $z$ fehlerbehaftet.

Wir können die Gleichung für den Zusammenhang zwischen der Auslenkung und der Kraft auch so umschreiben, dass $z$ unsicher ist. Dann gilt

$$z_i-\frac{F_i}{k}=\epsilon_i'$$ (8.107)

Eine kurze Rechnung zeigt, dass in diesem Falle

$$k = \frac{\left[F\; F\right]}{\left[F\; z\right]}$$ (8.108)

ist.

Auslenkung z und Kraft fehlerbehaftet

Wenn beide Messgrössen fehlerbehaftet sind, gilt:

Abstand von Messpunkt und Ausgleichsgerade, wenn beide Messwerte fehlerbehaftet sind. Hier ist $k$ ein Schätzwert für die Federkonstante.

Anhand der Zeichnung 8.2.3 findet man heraus, dass

$$\frac{F_i}{k} \cos \alpha + \delta = z_i\sin\alpha$$ (8.109)

oder

$$\delta = z_i \sin\alpha -\frac{F_i}{k}\cos\alpha$$ (8.110)

Die Summe der Abstandsquadrate muss null sein, also muss

$$\sum\limits_{i=1}^n \delta^2 =\sum\limits_{i=1}^n \left(z_i \sin\alpha - \frac{F_i}{k} \cos\alpha\right)^2$$ (8.111)

minimal sein. Also ist

$$0 = \frac{\partial}{\partial \alpha}\sum\limits_{i=1}^n \delta^2$$ (8.112)

$$ = \frac{\partial}{\partial \alpha}\sum\limits_{i=1}^n \left(z_i \sin\alpha - \frac{F_i}{k} \cos\alpha\right)^2$$

$$ = \sum\limits_{i=1}^n 2\left(z_i \sin\alpha - \frac{F_i}{k} \cos\alpha\right)\left(z_i \cos\alpha + \frac{F_i}{k} \sin\alpha\right)$$

$$ = 2\sum\limits_{i=1}^n \left(z_i^2 \sin\alpha\cos\alpha - \frac{F_i... ...os\alpha+ z_i \frac{F_i}{k} \sin^2\alpha - z_i\frac{F_i}{k} \cos^2\alpha\right)$$

$$ = 2\sum\limits_{i=1}^n \left(\left(z_i^2 - \frac{F_i^2}{k^2}\right)... ...ha\cos\alpha+ z_i \frac{F_i}{k} \left(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\right)\right)$$

$$ = \sum\limits_{i=1}^n \left(\left(z_i^2 - \frac{F_i^2}{k^2}\right)\sin2\alpha+ 2z_i \frac{F_i}{k} \cos2\alpha\right)$$

$$ = \sin2\alpha\sum\limits_{i=1}^n \left(z_i^2 - \frac{F_i^2}{k^2}\right)+ 2\cos2\alpha\sum\limits_{i=1}^n z_i \frac{F_i}{k}$$

Also wird

$$\tan 2\alpha = \frac{2\sum\limits_{i=1}^n z_i \frac{F_i}{k} }{\sum\limits_{i=1}^n z_i^2 - \sum\limits_{i=1}^n \frac{F_i^2}{k^2}}$$ (8.113)

$$ = \frac{2\left[z\;\frac{F_i}{k}\right]}{\left[z\;z\right]-\left[\frac{F_i}{k}\;\frac{F_i}{k}\right]}$$

Nun ist aber

$$k' = \tan\alpha = \tan\left(\frac{\arctan\left(\frac{2\left[z\;\f... ...{\left[z\;z\right]-\left[\frac{F_i}{k}\;\frac{F_i}{k}\right]}\right)}{2}\right)$$ (8.114)

Die wahre Federkonstante ist dann

$$k_{wahr} = k' \cdot k$$ (8.115)

wobei $k$ der ursprüngliche Schätzwert der Federkonstante war.

Als Beispiel ist in dieser Figur eine mit Zufallszahlen simulierte Rechnung zu sehen.

In der Abbildung 8.2.3 bedeuten fkz die angepasste Kurve, wenn nur $z$ fehlerbehaftet ist, fkf, die Anpassung, bei der $F$ einen Fehler hat sowie fkfz die Anpassung, bei der beide Grössen einen Fehler haben. Bei der letzten Kurve wurde die besprochene quadratische Anpassung durchgeführt. Wichtig ist, dass dafür ein Schätzwert der Federkonstante k verwendet wurde.

Ausgleichsrechnung für allgemeine Beziehungen

Wir betrachten nun die allgemeine Beziehung

$$z_i = \sum\limits_{j=1}^m A_j f\left(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{Ni}\right)$$ (8.116)

bei der die unbekannten Koeffizienten $A_j$ linear in den Gleichungen vorkommen. Wir fordern wieder, dass

$$\left[\epsilon\;\epsilon\right] = \sum\limits_{i=1}^n \epsilon_i^... ...n A_j f\left(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{Ni}\right)-z_i \right\}^2=\textrm{Minimum}$$ (8.117)

ist. Die Gleichung kann auch in Matrixschreibweise geschrieben werden:

$$\left( \begin{array}{ccc} f_1\left(x_{11},\ldots,x_{N1}\right) & ... ...right) = \left( \begin{array}{c} z_1 \\ \vdots \\ z_n \\ \end{array} \right)$$ (8.118)

Mit der Abkürzung

$$B_{ij} = f_j\left(x_{1i},\ldots,x_{Ni}\right)$$

wird die Gleichung

$$\left( \begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1m} \\ \vdots & &... ...right) = \left( \begin{array}{c} z_1 \\ \vdots \\ z_n \\ \end{array} \right)$$ (8.119)

oder

$$\mathbf{B}\vec A = \vec z$$ (8.120)

wobei

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1m} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{n1} & \ldots & B_{nm} \\ \end{array} \right)$$

$$\vec A = \left( \begin{array}{c} A_1 \\ \vdots \\ A_m \\ \end{array} \right)$$

und

$$\vec z = \left( \begin{array}{c} z_1 \\ \vdots \\ z_n \\ \end{array} \right)$$

ist. Die Lösung dieses überbestimmten GleichungsSystems im Sinne der Minimierung der Fehlerquadrate ist die Lösung des $m \times m$-Gleichungssystems

$$\left(\mathbf{B}^T\mathbf{B}\right)\vec A = \mathbf{B}^T\vec z$$ (8.121)

also

$$\vec A =\left(\mathbf{B}^T\mathbf{B}\right)^{-1}\mathbf{B}^T\vec z$$ (8.122)

Bei allgemeinen funktionalen Abhängigkeiten sucht man, mit welcher Methode auch immer, Näherungswerte für die unbekannten Parameter. Ist zum Beispiel

$$g_i\left(A,b,C,\ldots,x_i,y_i,z_i,\ldots\right)-L_i=\epsilon_i$$

und $A_0$,$B_0$,$C_0$, $\ldots$ Näherungswerte der Parameter, so kann eine Taylor-Entwicklung durchgeführt werden.

$$g_i\left(A,B,C,\ldots\right) = g-{i, 0}\left(A_0,B_0,C_0,\ldots\... ...ial g_i}{\partial A}\right)_{A_0, B_0, C_0, \ldots}\left(A-A_0\right)+\ldots$$ (8.123)

Mit $a_i = \left(\frac{\partial g_i}{\partial A}\right)_{A_0, B_0, C_0, \ldots}$, $b_i = \left(\frac{\partial g_i}{\partial B}\right)_{A_0, B_0, C_0, \ldots}$, $\ldots$, $\ell_i = L_i-g_{i, 0}$ und $\xi = A-A_0$, $\eta=B-B_0$ $\ldots$ ist die Gleichung wieder in linearisierter Form vorhanden.

$$a_i\xi+b_i\eta+\ldots-\ell_i=\epsilon_i$$ (8.124)

Die oben skizzierte Methode kann zur Lösung beliebiger Anpassunmgsprobleme in der Nähe von Punkten verwendet werden, bei denen eine Linearisierung möglich ist. Weiter Informationen können im Buch von Zurmühl [Zur63] gefunden werden.