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Materialien
Folien zur Vorlesung am 16. 04. 2007 PDF Übungsblatt 01 ausgegeben am 16. 04. 2007 Lösungsblatt 01 ausgegeben am 16. 04. 2007 |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])
Wenn sich ein System nicht in seiner Gleichgewichtslage befindet, dann schwingt in der Regel seine Position um diese Lage. Diese periodischen oder quasiperiodischen Bewegungen werden Schwingungen genannt. Die Schwingungsform kann sinusförmig sein (harmonische Schwingung) oder eine allgemeine Form haben. Mathematische Sätze sagen, dass jede periodische Bewegung in eine Summe von sinusförmigen Bewegungen aufgeteilt werden kann.
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(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])
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Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems
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Die Kraft auf die Masse ist durch
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(2.1) |
gegeben, wobei die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Masse beschleunigt, so
dass
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Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung
Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweise wird die obige Gleichung auch als
Frequenzen werden in Hertz ![]() ![]() ![]() ![]() |
Die Lösung der Gleichung (2.3) ist
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(2.4) |
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Diese Lösung wird durch die
Simulation
illustriert. Die
Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die
Position beim Nulldurchgänge ist
.
Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch. |
Die Geschwindigkeit der Masse ist
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(2.5) |
Die Geschwindigkeit bei ist
. Da von den drei die Schwingung
bestimmenden Grössen zwei,
und
unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit
und
der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.
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(2.6) |
Mit Gleichung (2.2) kann man schreiben
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(2.7) |
und damit
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(2.8) |
Damit sind die Frequenz und die Schwingungsdauer
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(2.9) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 387])
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Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung
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Da die Funktionen
und
beide die Schwingungsgleichung
erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe
auch die Simulation). Nach der Definition des
Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius
auf die
-Achse gerade der Cosinus.
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(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 388])
Die potentielle Energie einer um die Länge
ausgelenkten Feder ist
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(2.10) |
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(2.11) |
Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert
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(2.12) |
Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung
ist die Geschwindigkeit
. Also ist bei
einem harmonischen Oszillator
Setzen wir die Lösung
und damit auch
jeweils ein, erhalten wir
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(2.14) |
wobei wir
verwendet haben. Die Gesamtenergie ist
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||
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(2.15) |
unabhängig von . Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei
Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her.
Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator. |
Beispiele:
Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase
wie folgt geschrieben werden:
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||
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(2.16) |
Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte
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(2.17) |
sind.
Bei einer Schwingung|harmonisch ist
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|
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Im Phasenbild wird nun gegen
aufgetragen. Dabei ist die
Zeit
der Parameter. Wir sprechen auch von einer
Parameterdarstellung.
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Phasenbild eines harmonischen Oszillators
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Das Phasenbild zeigt den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit, nicht jedoch den Zeitlichen Ablauf. Phasenbilder werden zum Beispiel verwendet, um chaotische System zu beschreiben.
Zeichnet man
gegen
auf, so nennt man die Fläche
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(2.18) |
Die Einheit dieses ist
.
Dies ist die gleiche Einheit wie beim Planckschen Wirkungsquantum. Die von
einem Zustand im Phasenbild eingenommene Fläche sagt also etwas aus, wie nahe
dieser Zustand einem Quantenzustand ist.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 392])
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Schwingendes System im Schwerefeld
|
Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung
beschrieben (1. Simulation
und
2. Simulation). Die Ruhelage ist durch
gegeben. Also ist
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(2.20) |
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Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate
verwenden. Da
die beiden Koordinatensysteme
und
sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen
und die zweiten Ableitungen
gleich.
Deshalb wird Gleichung (2.19)
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(2.21) |
da ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung
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(2.22) |
Die potentielle Energie bezogen auf die neue
Gleichgewichtslage ist
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(2.23) |
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(2.24) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 394])
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Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse aufgehängt an einem masselosen Faden der
Länge
.
Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge
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(2.25) |
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(2.26) |
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(2.27) |
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(2.28) |
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(2.29) |
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(2.30) |
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Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung
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(2.31) |
Dieser Stoff wurde am 19. 04. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 19. 04. 2007 PDF |
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Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Drehpunktes rechnen. Das
Drehmoment ist
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(2.32) |
Die Bewegungsgleichung ist also
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(2.33) |
In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung
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(2.34) |
Mit
und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physikalische
Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung
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(2.35) |
Die Schwingungsdauer ist
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(2.36) |
Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers
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(2.37) |
Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das Trägheitsmoment
.
Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also
. Damit wird die Schwingungsdauer
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Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel
.
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Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)
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Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dient zur Winkelbeschleunigung des
Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment
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(2.38) |
Wieder setzen wir
. Die Periodendauer ist
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(2.39) |
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 400])
Wir beschreiben die potentielle Energie durch eine allgemeine Funktion
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(2.40) |
an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt . Dieser Punkt soll ein Gleichgewichtspunkt
sein
. Dann ist die Kraft
als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Die Steigung der
Kraft-Distanz-Kurve, die Federkonstante
ist durch die zweite Ableitung gegeben.
Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen die Schwingungsgleichung
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|
0 | ![]() |
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(2.41) |
geschrieben werden. Die Frequenz für kleine Bewegungen ist
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(2.42) |
Daraus folgt für die Periodendauer
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(2.43) |
Eine genaue Beobachtung zeigt, dass die Amplitude jeder freie Schwingung sich nach einer gewissen, charakteristischen Zeit um einen bestimmten Betrag erniedrigt. Die Dämpfung ist in vielen Fällen proportional zur Geschwindigkeit
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(2.44) |
Das Kräftegleichgewicht ergibt
Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz in der
Nähe von
. Mit jeder Schwingung nimmt die Energie
in einer definierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab. Diese
Leistung ist
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(2.46) |
Wenn wir durch
ersetzt, bekommt man
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(2.47) |
Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Die relative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. Wir lösen die Gleichung durch
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(2.48) |
und erhalten nach der Integration
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(2.49) |
oder, nach einer Exponentiation
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(2.50) |
Wir haben gesetzt. Mit der Zeitkonstante
bekommen wir
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(2.51) |
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Der Energieverlust pro Periode ist
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(2.52) |
Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durch die Güte . Wenn der
Energieverlust pro Periode
ist, gilt
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(2.53) |
Der Q-Faktor ist umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode
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Es gilt auch
Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist (
gilt für die Abnahme der Amplitude
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(2.55) |
Also ist
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(2.56) |
Die Schwingungsdifferentialgleichung des gedämpften Oszillators lautet also (Gleichung (2.45) )
Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz
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Dies ist eine quadratische Gleichung in . Die Lösungen sind
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Es gibt drei Lösungen
Bei
haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen
Fällen haben wir jeweils das
.
Dieser Stoff wurde am 23. 04. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 23. 04. 2007 PDF Übungsblatt 02 ausgegeben am 23. 04. 2007 Lösungsblatt 02 ausgegeben am 23. 04. 2007 |
Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind
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(2.59) |
Wir testen noch, dass für
die Lösung stimmt. Für diesen
Spezialfall lautet die Differentialgleichung
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Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist
Die Umrechnung finden Sie im Anhang, Kapitel J.
Wenn die Dämpfung den kritischen Wert
übertrifft, schwingt das System nicht mehr. Für
nennt man das System kritisch gedämpft. Für
ist es überkritisch gedämpft und für
unterkritisch gedämpft.
Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämpfer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird die Dämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.B. durch Bodenwellen angeregt, unterkritisch und man fliegt von der Strasse.
(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 406]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 154])
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Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung
sowie durch das Federpendel mit der Masse
, der Dämpfung
und die Federkonstante
. Die
rücktreibende Kraft an der Feder ist
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(2.61) |
Die Beschleunigung ist wieder durch
gegeben; die geschwindigkeitsproportionale
Dämpfung durch
Die Bewegungsgleichung ist also
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(2.62) |
Wenn wir einsetzten und umstellen, erhalten wir
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(2.63) |
Wir teilen durch und kürzen
ab und erhalten
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(2.64) |
Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung
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(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Teil der Lösung hat die Form
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(2.65) |
wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir
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|||
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(2.66) |
Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen und
mit Phasen in reine Winkelfunktionen
auflösen. Also setzen wie
und
. Wir bekommen dann
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(2.67) |
Diese Gleichungen können vereinfacht werden
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(2.68) |
Aus der zweiten Gleichung folgt
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(2.69) |
und daraus
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(2.70) |
Wir verwenden
und
und bekommen aus der ersten Gleichung
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||
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||
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(2.71) |
Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase
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(2.72) |
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(2.73) |
Mit der Definition der Güte aus Gleichung (2.54) sowie mit
schreiben wir
zuerst
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(2.74) |
und erhalten
|
Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude
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(2.77) |
Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die
Resonanzfrequenz, erhält man, indem man
berechnet.
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(2.78) |
Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems (Siehe Gleichung (2.60) ).
Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei hohen
Güten sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phase bei
und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.
Berechnung der Steigung
:
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An der Stelle
ist der Funktionswert
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Dieser Stoff wurde am 26. 04. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 26. 04. 2007 PDF |
Wenn in der -Richtung eine Schwingung
und in der
-Richtung eine Schwingung
überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können
entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel in einer elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.
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Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei
Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.
|
Eine Schwingung
kann durch einen Zeiger dargestellt werden. Die Projektion
dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.
Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinklige Dreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz
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(2.81) |
oder
Der Sinussatz liefert
Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass
ist, so ergibt sich
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(2.84) |
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Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um
verschieden sein. Wir setzen an
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(2.85) |
Die resultierende Schwingung ist
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(2.86) |
Wir rechnen nun wie folgt um
Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz mit einer
aufmodulierten Frequenz
. Wir nennen dieses Verhalten
auch Schwebung. Transparenter wird die Rechnung, wenn komplexe Zahlen
verwendet werden. Anstelle von
schreiben wir
, wobei wieder
ist. Wir schreiben
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(2.88) |
und weiter
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||
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(2.89) |
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 146])
Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch durch das Frequenzspektrumsowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundlage für diese Aussage ist der mathematische Satz, dass sich
jede periodische Funktion
(Frequenz
als Fourierreihe
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(2.90) |
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(2.91) |
Für gerade Funktionen
sind alle
, für ungerade Funktionen sind alle
.
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Synthese einer Schwingung mit
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Synthese einer Schwingung mit
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Synthese einer Schwingung mit
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Synthese einer Schwingung mit
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Synthese einer Schwingung mit
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Synthese einer Schwingung mit
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Die folgenden Applets illustrieren die Fourieranalyse und -synthese
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])
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Zwei mathematische Pendel im Abstand
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Wenn das linke Pendel um und das rechte Pendel um
ausgelenkt wird (in beiden
Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um
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(2.92) |
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(2.93) |
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(2.94) |
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(2.95) |
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(2.96) |
Dieser Stoff wurde am 30. 04. 2007 behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 30. 04. 2007 PDF Übungsblatt 03 ausgegeben am 30. 04. 2007 Lösungsblatt 03 ausgegeben am 30. 04. 2007 |
Wir teilen durch und schreiben in Matrizenform
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(2.98) |
Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz schwingen. Wir setzen also
an
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(2.99) |
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(2.100) |
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(2.101) |
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(2.102) |
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(2.103) |
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(2.104) |
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(2.105) |
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(2.106) |
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(2.107) |
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(2.108) |
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(2.109) |
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(2.110) |
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])
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Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für gleich Pendel
aussieht, die jeweils vom
-ten zum
-ten Pendel mit einer masselosen Feder mit der
Federkonstante
gekoppelt sind. Für das erste Pendel mit
gilt
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(2.111) |
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(2.112) |
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(2.114) |
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(2.115) |
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(2.116) |
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(2.117) |
Othmar Marti