next up previous contents index
Nächste Seite: Das Fermatsche Prinzip Aufwärts: Licht Vorherige Seite: Reflexion
Diese Version ist veraltet. Eine aktuellere Version finden Sie unter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3a-2003

Unterabschnitte


Brechung

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1032])
\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 17.4.2002 behandelt}}

Da jede Huygenssche Elementarwelle eine periodische Schwingung mit einer gegebenen Frequenz $\nu$ darstellt, ändert sich die Frequenz beim Übergang von einem Medium in das zweite nicht. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_m = c/n$ kleiner ist, gilt für die Wellenlänge


\begin{displaymath}
\lambda_m = \frac{c_m}{\nu} = \frac{c/m}{\nu} = \frac{\lambda}{n}
\end{displaymath} (3.5)

In einem Medium mit einer Brechzahl $n>1$ ist die Wellenlänge kleiner. So hat rotes Licht $\lambda =
600 nm$ in Glas die Wellenlänge $\lambda_m = 400 nm$.

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{brechung-geometrie.eps}

Geometrie der Brechung


Wir betrachten nun den Weg, den das Licht im Inneren eines Mediums zurücklegt. Wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit im Medium um den Brechungsindex $n$ kleiner ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck wissen wir, dass

$\displaystyle \overline{AB}\sin\varphi$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{AB'}$  
$\displaystyle \overline{AB}\sin\varphi '$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{BA'}$ (3.6)

Weiter ist
$\displaystyle \overline{AB'}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ c \Delta t}{n_1}$  
$\displaystyle \overline{BA'}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{c \Delta t}{n_2}$ (3.7)

Also gilt
\begin{displaymath}
\frac{ c \Delta t}{n_1\sin\varphi } = \frac{ c \Delta t}{n_2\sin\varphi '}
\end{displaymath} (3.8)

Wir kürzen mit $c \Delta t$ und setzen $\varphi = \varphi _1$ und $\varphi ' = \varphi _2$ und erhalten das Snellius'sche Brechungsgesetz.



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{Br...
...quation}
n_1 \sin\varphi _1 = n_2 \sin\varphi _2
\end{equation}}\end{minipage}}

\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 24.4.2002 behandelt}}

Materialien

Folien zur Vorlesung am 24. 04. 2002 (PDF)


Bei diesem Gesetz gibt es nur dann immer eine Lösung, wenn $n_1 \leq n_2$ ist. Sonst gibt es den Winkel der Totalreflexion. Wenn der vom optisch dichteren Medium einfallende Lichtstrahl gegen die Grenzflächennormale den Winkel $\varphi _{tot}$ hat und der Winkel des resultierenden Lichtstrahls gegen die Grenzflächennormale im optisch dünneren Medium $\pi/2$ ist, hat das Brechungsgesetz gerade noch eine reelle Lösung.


\begin{displaymath}
\varphi _{tot} = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right) \hspace{1cm}\textrm{mit }n_1<n_2
\end{displaymath} (3.9)

Für Winkel, die grösser als $\varphi _{tot}$ sind, wird Licht aus dem optisch dünneren Medium total reflektiert. Die Reflexion geschieht in einer Tiefe von etwa $ 100 nm$ innerhalb des optisch dünneren Mediums.

Totalreflexion

\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 24.4.2002 behandelt}}
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1035]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 485])

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{reflexion-glasfaser.eps}

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser


Wenn Licht mit einem Winkel nahe der Achse der optischen Faser in diese eingekoppelt wird, dann wird das Licht mit Totalreflexion transportiert. Nur Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels den Faserkern trifft, wird weitertransportiert. Wenn die faser gekrümmt wird, dann verlässt ein Teil des Lichtes die Faser: Krümmungen in der Faser erhöhen die Verluste.

Wenn der Faserkern den Durchmesser $d$ hat, ist der effektive Weg vom Winkel $\alpha$ gegen die Achse abhängig. Die Hypothenuse ist $\ell_H = d/\sin\alpha$ lang, der direkte Weg wäre $\ell = d/\tan\alpha$. Die relative Längenänderung ist

\begin{displaymath}
\frac{\ell_H}{\ell} = \frac{d}{\sin\alpha }\frac{\tan\alpha...
...\tan\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha^2
\end{displaymath} (3.10)

Die Laufzeit hängt also davon ab, wie das Licht durch eine Glasfaser läuft. Zusätzlich tritt Dispersion auf. bei allen Gläsern ist
\begin{displaymath}
n_{blau}>n_{gr\ddot{u}n}>n_{gelb}>n_{rot}
\end{displaymath} (3.11)

Deshalb ist die Laufzeit für die verschiedenen Farben auch unterschiedlich. Da $c_{Medium} = c/n_{Medium}$ ist ist auch
\begin{displaymath}
c_{blau} < c_{gr\ddot{u}n} < c_{gelb} < c_{rot}
\end{displaymath} (3.12)


Dispersion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1038])
\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 24.4.2002 behandelt}}

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

\includegraphics[width=0.53\textwidth]{prisma.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{dispersion-kurve.eps}

Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien


Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden die verschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedesmal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht, werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{dispersion-federmodell.eps}

Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre[Kän78, 292]) .


Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

\begin{displaymath}
m\ddot\xi_n =
-k\left(\xi_n-\xi_{n-1}\right)+k\left(\xi_{n+1}-\xi_n\right)=k\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-2k\xi_n
\end{displaymath} (3.13)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benachbarte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist $\lambda_{min} = 2a$ und entsprechend $k_{max} =
\frac{\pi}{a}$. Wir setzen $\Omega_0^2 = \frac{4k}{m}$ und erhalten
\begin{displaymath}
\ddot\xi_n =
\Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-\frac{1}{2}\xi_n\right]
\end{displaymath} (3.14)

Wir setzen als vorläufige Lösung für $\lambda>2a$ an: $\xi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}$. Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir $x = na$ und erhalten als endgültigen Lösungsansatz
\begin{displaymath}
\xi_n = \xi(n,t) = Ae^{i(kna-\omega t)}
\end{displaymath} (3.15)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir
$\displaystyle -\omega^2e^{ikna}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(e^{ik(n-1)a} + e^{ik(n+1)a}\right)
-\frac{1}{2}e^{ikna}\right]$  
$\displaystyle \omega^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\frac{1}{2}\left(e^{ika}+e^{-ika}\right)\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\cos(ka)\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Omega_0^2\sin^2\frac{ka}{2}$ (3.16)



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{ D...
...n{equation}
\omega(k) = \Omega_0\sin\frac{ka}{2}
\end{equation}}\end{minipage}}

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{dispersion-federmodell-diatomic.eps}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{dispersion-diatomic.eps}

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.


Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen $\vec k$-Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über $E=\hbar\omega$ auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

\begin{displaymath}
c^2 = \frac{g}{k} = \frac{1}{2\pi}g\lambda
\end{displaymath} (3.17)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation3.2 besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[Kän78] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle $e^{i(k_0 x
-\omega t)}$ sowie der Modulation $G\left(x-\left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)$. Die resultierende Welle ist

\begin{displaymath}
\xi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0 x -\omega t)}G\left(x-
\left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)
\end{displaymath} (3.18)



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{Di...
... v_G = \left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}
\end{equation}}\end{minipage}}

Bei unserem Feder-Masse-System ist $v_G = 0$ wenn $\lambda=2a$ ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn $v_G$ nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

Lösungsmöglichkeiten


next up previous contents index
Nächste Seite: Das Fermatsche Prinzip Aufwärts: Licht Vorherige Seite: Reflexion
Diese Version ist veraltet. Eine aktuellere Version finden Sie unter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3a-2003
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm