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Unterabschnitte

• Reflexion
• Brechung
• Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz

Das Fermatsche Prinzip

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1042])

Eine alternative Art, die Ausbreitung von Licht zu beschreiben, ist das Fermatsche Prinzip.

Die genauere Formulierung lautet:

Mathematisch lautet das Fermatsche Prinzip: Die Zeit

$$t = \int\limits_{s_1}^{s_2} \frac{n(s)}{c} ds = \frac{1}{c} \int\limits_{s_1}^{s_2} n(s) ds$$ (3.19)

ist minimal. Bei zwei- oder mehrmals stetig differenzierbaren Funktionen folgt auch der strengere Satz.

Wenn man den Weg nicht kennt, kann man Testfunktionen $s(\vec r)$ verwenden. Diejenige, die die kürzeste Zeit ergibt, ist die wahrscheinlichste.

Reflexion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1042])

Materialien

Übungsblatt 2 vom 6. 5. 2002 (HTML) oder (PDF)

Folien zur Vorlesung am 08. 05. 2002 (PDF)

Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermatschen Prinzip

Ein Beispiel für das Fermatsche Prinzip ist die Reflexion. In der obigen Zeichnung ist $A'$ das an der Grenzfläche gespiegelte Bild von $A$. In dem Dreieck $A'BP$ ist die Summe der Seitenlängen $A'P$ und $PB$ grösser als die Seitenlänge $A'B$. Da die Konstruktion mit $A'$ eine Hilfskonstruktion ist und wir überall die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ haben, ist die direkte Verbindung $A'B$ die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten. Damit ist aber das Gesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel gezeigt.

Brechung

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1043])

Die Berechnung der Reflexion erfolgt analog zur Hausaufgabe im Übungsblatt 1.

Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz

(Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre[Kän78, 253])

Der kürzeste Weg $\overline{ACB}$ und nahe benachbarte Wege haben fast gleiche Längen. Im Gegensatz dazu sind ändert sich bei den längeren Wegen $\overline{ADB}$ und $\overline{AEB}$ die Länge schnell.

Vom Punkte $A$ soll Licht zum Punkte $C$ gelangen. Es gibt viele mögliche Wege. nach dem Fermatschen Prinzip folgt Licht dem Weg, der sich am wenigsten in der optischen Länge^3.3 von seinen benachbarten Wegen unterscheidet. Wenn die Weglängenfunktion stetig differenzierbar ist, ist dies auch der kürzeste Weg. Wir berechnen nun die Phase einer Welle, die entlang eines beliebigen Weges sich ausbreitet, wobei $w$ ein Parameter ist, der die möglichen Wege beschreibt.

$$\varphi (w) = e^{jk\ell(w)}$$ (3.20)

Die im Punkte B beobachtete Intensität ist das Resultat der Interferenz aller möglichen Wege.

Diese Darstellung zeigt grafisch die Summenbildung zur Berechnung der Interferenz für alle möglichen Wege.

In dieser Abbildung tragen nur die Wege in der Nähe des kürzesten Weges zur konstruktiven Interferenz bei. Nur dort ist die Ableitung der Weglänge gegen den Parameter $w$ null: Alle Summanden interferieren konstruktiv. Die Wege über $D$ und $E$ ändern die Länge schnell mit $w$. Sie bilden die beiden Spiralen auf der linken und auf der rechten Seite und tragen nichts zur Summe bei. Wir können das Fermatsche Prinzip auch so formulieren:

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