Übungsblatt 3
Grundkurs IIIa für Physiker

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

20. 5. 2002

Aufgaben für die Übungsstunden

Reflexion, Brechung, Fermatsches Prinzip, Polarisation, Fresnelsche Formeln, Geometrische Optik, PDF-Datei

1. Ein an seinem Scheitel durchbohrter konkaver Hohlspiegel mit der Brennweite $r_1$ und ein konkaver Hohlspiegel mit der Brennweite $r_2<r_1$ werden auf einer optischen Achse so angeordnet, dass ihre Brennpunkte übereinstimmen. Konstruieren Sie den Verlauf von parallelen Strahlen. Was kann man über den Durchmesser eines Strahlenbündels vor und nach der Spiegelkombination sagen?
2. Nun soll der obige durchbohrte konkave Hohlspiegel mit einem kleinen konvexen Hohlspiegel verknüpft werden. Welche Funktion hat diese Kombination?
3. Berechnen Sie den Intensitätsverlauf für s- und p-polarisiertes Licht, wenn dieses durch ein Plättchen mit dem Brechungsindex $n$ unter dem Winkel $\alpha$ gegen dessen Normale durchtritt. Wie verändert sich das Resultat gegenüber dem in der Vorlesung angegebenen?
4. Welche Folgen haben die Fresnelschen Formeln für die Abbildung in einer Sammellinse. Betrachten Sie dazu achsenparalleles Licht mit einer definierten Polarisation.
5. Wie erzeugen Sie Licht mit einer Elliptizität von 2:1?
6. Würden Autoscheinwerfer polarisiertes Licht abstrahlen, könnte man die Blendwirkung mit Polarisationsfiltern mindern. Funktioniert dies bei schlechten Umgebungsbedingungen (was sind schlechte Umgebungsbedingungen?)?

Hausaufgabe

1. Archimedes soll auf den Zinnen von Syrakus Hohlspiegel angebracht haben, um römische Schiffe in Brand zu setzen. Glauben Sie das?
2. Wenn man mit dem Boot durch ein klares flaches Gewässer fährt, meint man oft, unter dem Boot sei es gerade noch ausreichend tief, weiter vorne aber werde man bestimmt auflaufen. Zum Glück verschiebt sich diese Mulde mit dem Schiff. welche Form hat sie?
3. Eine Linse mit einer numerischen Apertur $NA$ sammelt Licht aus dem Raumwinkel $NA$. Wenn nur Licht aus der Randzone der Linse verwendet wird und das zentrale Licht blockiert wird, wie hängt die Reflektivität von der numerischen Apertur ab?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. • Der Hohlspiegel $1$ hat die Brennweite $f_1 = r_1/2$, der Hohlspiegel $2$ die Brennweite $f_2 = r_2/2$.
     
   • Paralleles Licht wird fokussiert. Die Lichtstrahlen gehen durch den Fokus
   • Da die beiden Foki übereinander liegen, wird das Licht wieder zu parallelem Licht gemacht.
   • Nach dem Strahlensatz gilt
     
     $$\frac{D_b}{D_a} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{r_1}{r_2}$$
     
     

   • Diese Spiegelanordnung ist ein Teleskop und dient zur Strahlaufweitung.
2. • Wenn die beiden Brennpunkte übereinstimmen, hat die Spiegelanordnung die gleiche Funktion wie in der vorherigen Aufgabe.
     
   • Wenn der kleine Spiegel um die Distanz $d$ nach rechts verschoben wird, wirkt die ganze Anordnung als Sammellinse.
     
   • Die kleine Linse erzeugt ein Bild, das um $d$ ausserhalb des Brennpunktes der grossen Linse ist. Die Abbildungsgleichung besagt:
     
     $$\frac{1}{d}+\frac{1}{b} = \frac{1}{f_1}$$
     
     
     oder
     
     $$b = \frac{1}{\frac{1}{f_1}-\frac{1}{d}}= \frac{f_1 d}{d-f_1}$$
     
     

   • Diese Anordnung wird für Linsen für Licht ausserhalb des sichtbaren Spektrums verwendet. Sie hat keine chromatische Abberation (diese wird durch die Dispersion hervorgerufen).
   • Was ist die neue Brennweite?
3. • Für das gebrochene Licht (s-Polarisation) gilt beim Eintritt in das Glas: $E_g = E_e\frac{2\sin\beta\cos\alpha}{sin(\alpha+\beta)}$
   • Beim Verlassen des Glases erhalten wir: $E_g' = E_g\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{sin(\alpha+\beta)}$
   • Zusammengefasst: $E_g' = E_e\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{sin(\alpha+\beta)}\frac{2\sin\beta\cos\al... ...ta)} = 4E_e\frac{\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta}{\sin^2(\alpha+\beta)}$
   • Umgeformt: $E_g' = E_e\frac{\sin2\alpha\sin2\beta}{\sin^2(\alpha+\beta)}$
   • Es ist: $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$ und somit $\beta = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\right)$.
   • Umgeformt: $E_g' = E_e\frac{\sin2\alpha\sin\left(2\arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\ri... ...ht)} {\sin^2\left(\alpha+\arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\right)\right)}$
   • Für das gebrochene Licht (p-Polarisation) gilt beim Eintritt in das Glas: $E_g = E_e\frac{2\sin\beta(\alpha)\cos\alpha}{\sin[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\alpha-\beta(\alpha)]}$
   • Beim Verlassen des Glases erhalten wir: $E_g' = E_g\frac{2\sin\alpha\cos\beta(\alpha)}{\sin[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\beta(\alpha)-\alpha]}$
   • Zusammengefasst: $E_g' = E_e\frac{2\sin\alpha\cos\beta(\alpha)}{\sin[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\... ...n\beta(\alpha)\cos\alpha}{\sin[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\alpha-\beta(\alpha)]}$
   • Umgeformt: $E_g' = 4E_e\frac{\sin\alpha\cos\beta(\alpha)\sin\beta(\alpha)\cos\alpha} {\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]}$
   • Es ist: $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$ und somit $\beta = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\right)$.
   • Umgeformt: $E_g' = E_e\frac{\sin2\alpha\sin2\beta(\alpha)} {\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]}$
   • Umgeformt: $E_g' = E_e\frac{\sin2\alpha\sin\left(2\arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\r... ...\sin\alpha\right)]\cos^2[\alpha-\arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha\right)]}$
   • Elektrische Felder
     
   • Intensität
     

   •     set terminal win;
         set sample 50;
         set angles radians;
         set grid xtics ytics
         set title "Fresnel-Formeln: E-Feld"
         font "Arial,30";
         beta(alpha) = asin(sin(alpha)/1.5);
         Egp(alpha) = 2*sin(beta(alpha))*cos(alpha)/(sin(alpha+beta(alpha))*cos(alpha-beta(alpha)));
         Egs(alpha) = 2*sin(beta(alpha))*cos(alpha)/(sin(alpha+beta(alpha)));
         Egpe(alpha) =´2*cos(beta(alpha))*sin(alpha)/(sin(alpha+beta(alpha))*cos(alpha-beta(alpha)));
         Egse(alpha) = 2*cos(beta(alpha))*sin(alpha)/(sin(alpha+beta(alpha)));
     
         Ep(alpha) = Egp(alpha)*Egpe(alpha);
         Es(alpha) = Egs(alpha)*Egse(alpha);
     
         set xrange [0:pi/2]
         set yrange [0:1.2]
         set xlabel "{/Symbol=24 a}" font "Arial,24"
         set ylabel "E" font "Arial,24"
         plot \
             Ep(x),Es(x);
     
         set title "Fresnel-Formeln: I"  font "Arial,30"
         set yrange [0:1.2]
         set ylabel "I" font "Arial,24"
         plot \
             Ep(x)**2,Es(x)**2;
     

4. • Bei einer Linse mit dem Krümmungsradius $R$ ist der Winkel der Oberfläche zu einem achsparallelen Strahl im Abstand $h$ von der optischen Achse durch $\sin\alpha = h/R$ gegeben.
   • Wir betrachten der Einfachheit halber eine plankonvexe Linse (eine Seite eben, die andere gekrümmt.).
   • Das Licht soll auf der planen Seite auf die Linse fallen.
   • Wir setzen die Intensität $I=nE^2$ auf der einfallenden Seite auf 1. Dann ist die Intensität im Inneren des Glases mit der Brechzahl $n$ $I_G = I\left[1-\left(\frac{1-n}{1+n}\right)^2\right]$
   • Das elektrische Feld im Glas ist $E = \sqrt{I_G/n}$
   • Auf der Eintrittsseite gibt es keine Brechung. Wir verwenden also die Kurven für den Übergang aus dem dichteren Medium in das dünnere aus der Vorlesung und erhalten das Resultat.
     
     
     

   •         set terminal win;
             set sample 50;
             set angles radians;
             set grid xtics ytics
     
             set sample 10000;
     
             IG = 1-((1-1.5)/(1+1.5))**2;
             alpha(h) = asin(h)
             beta(h) = asin(h*1.5);
             Erp(h) = -tan(alpha(h)-beta(h))/tan(alpha(h)+beta(h))*sqrt(IG/1.5);
             Egp(h) = 2*sin(beta(h))*cos(alpha(h))/(sin(alpha(h)+beta(h))*cos(alpha(h)-beta(h)))*sqrt(IG/1.5);
             Ers(h) = -sin(alpha(h)-beta(h))/sin(alpha(h)+beta(h))*sqrt(IG/1.5);
             Egs(h) = 2*sin(beta(h))*cos(alpha(h))/(sin(alpha(h)+beta(h)))*sqrt(IG/1.5);
     
             set xrange [0:1]
             set yrange [-1:2.5]
             set xlabel "h/R" font "Arial,24"
             set ylabel "E" font "Arial,24"
             set title "Fresnel-Formeln: E-Feld, n'<n" font "Arial,30"
             plot \
                 Erp(x),Egp(x),Ers(x),Egs(x);
             set output "fresnel-er.eps"
             set terminal postscript eps enhanced color
             replot
             set terminal win
             pause -1  "Hit return to continue"
     
             set yrange [0:6]
             set title "Fresnel-Formeln: I n'<n" font "Arial,30"
             set ylabel "I" font "Arial,24"
             plot \
                 1.5*Erp(x)**2,Egp(x)**2,1.5*Ers(x)**2,Egs(x)**2;
     
             set output "fresnel-ir.eps"
             set terminal postscript eps enhanced color
             replot
             set terminal win pause -1  "Hit return to continue"
     

5. Wir verwenden die Formel aus der Vorlesung:
   

   $$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) \\ E_z(\ell) \\ \end{array}\right) = e^{j\phi(\ell)/2}$$

   $$\left(\begin{array}{cc} \cos(\phi(\ell)/2)-j\cos 2\alpha \sin(\ph... ...2) & \cos(\phi(\ell)/2)+j\cos 2\alpha \sin(\phi(\ell)/2) \\ \end{array}\right)$$

   $$\left(\begin{array}{c} E_{y} \\ E_{z} \\ \end{array}\right)$$ (1)

   
   
   • Wir setzen $E_y = 1$ und $E_z =0$
   • Wir verlangen, dass $E_y(\ell) = E$ und $E_z(\ell) = 2E e^{j\alpha}$ ist (Die Phase ist unbekannt).
   • Die Gleichungen lauten dann
     

     $$E = e^{j\phi(\ell)/2}\left[\cos(\phi(\ell)/2)-j\cos 2\alpha \sin(\phi(\ell)/2)\right]$$

     $$2E = e^{j\phi(\ell)/2}j\sin 2\alpha \sin(\phi(\ell)/2)$$ (2)

     
     

   • Wir bilden den Betrag
     

     $$E^2 = \cos^2(\phi(\ell)/2)+\cos^2 2\alpha \sin^2(\phi(\ell)/2)$$

     $$4E^2 = \sin^2 2\alpha \sin^2(\phi(\ell)/2)$$ (3)

     
     

   • Es wird in der Aufgabenstellung nichts über die Dicke des Plättchens gesagt. Wir wählen ein $\lambda/2$-Plättchen. Dies bedeutet, dass $\phi(\ell) = \pi$ ist.
   • Damit erhalten wir
     

     $$E^2 = +\cos^2 2\alpha$$

     $$4E^2 = \sin^2 2\alpha$$ (4)

     
     

   • und
     

     $$E = \cos 2\alpha$$

     $$2E = \sin 2\alpha$$ (5)

     
     

   • Wir teilen die beiden Gleichungen
     

     $$2 = \tan 2\alpha$$ (6)

     
     

   • daraus folgt $\alpha = 0,55357 rad = 31,717^0$

6. Nebel zeichnet sich dadurch aus, dass Licht vielfach gebrochen wird. Bei jeder einzelnen Brechung ist die polarisierende Wirkung vorhanden. Da das Licht, das der Autofahrer aus einer bestimmten Richtung wahrnimmt, vor der letzten Streuung aus allen Raumrichtungen kommt, gibt es keine bevorzugte Polarisation. Polarisation kann also nicht zur Verminderung der Blende helfen.

Lösungen Hausaufgabe

1. • Wir sehen die Sonne unter einem Winkel $\alpha \approx 0.5^0 = 0,00873 = 1/115$.
   • Bei der Abbildung durch einen Spiegel mit der Brennweite $f$ hängen die Gegenstandsgrösse $G$, sein Abstand $g$, die Bildgrösse $B$ und sein Abstand $b$ wie folgt zusammen: $B/b = G/g$.
   • Ist der Gegenstand unendlich weit entfernt und unter dem Winkel $\alpha \ll 1$ sichtbar, ist die Bildgrösse $B = \alpha f$.
   • Um ein Schiff zu entzünden, muss das Schiff im Brennpunkt sein.
   • Es macht keinen sinn, Spiegel zu verwenden, wenn man Fackeln werfen kann. Deshalb ist $b\geq 50 m$ Damit wird der Krümmungsradius des Spiegels $R\geq 100 m$.
   • Das Bild der Sonne auf dem Spiegel ist also $B= \alpha R/2 = \alpha f \approx 872 mm$ gross.
   • Die Intensität im Brennfleck ist um den Faktor Spiegelfläche/Brennfleckfläche grösser. Wir nennen den Spiegeldurchmesser $D$ und erhalten $I_B * \frac{\pi}{4} B^2= I_S \frac {\pi}{4} D^2$, wenn $I_S$ die Intensität der Sonnenstrahlung ist.
   • Nach dem Stefan-Boltzmann- Gesetz gilt: $I \propto T^4$.
   • Die Gleichgewichtstemperatur der Erde ist $T_0=300K$.
   • Um Holz zu entzünden braucht man $T=1000 K$.
   • Wenn wir die Konvektion vernachlässigen, können wir schreiben: $T^4 * \frac{\pi}{4} B^2= T_0^4 \frac {\pi}{4} D^2$
   • Da wir nur einseitig beleuchten, muss $T' = \sqrt{2}T$ sein. Wir müssen also $T' = 1414 K$ erreichen.
   • Wir vereinfachen $T'^4 B^2= T_0^4 D^2$ oder $T'^2 B= T_0^2 D= T'^2 \alpha f$
   • Umgestellt $D = \left(\frac{T'}{T_0}\right)^2\alpha f = 2\left(\frac{T}{T_0}\right)^2\alpha f$
   • eingesetzt: $D = 9,6 m$
   • Berücksichtigt man noch die Konvektion sowie die Tatsache, dass die Schiffe nicht stille halten, müssen die Spiegel wesentlich grösser als $10 m$ sein.
2. • Skizze der Situation
     
     
   • Brechungsgesetz: $\sin(\pi/2-\gamma) = n \sin(\pi/2-\beta)$
   • oder $\cos\gamma = n \cos\beta$ sowie $\cos\beta = \frac{\cos\gamma}{n}$
   • Ableiten: $-\sin\beta\;d\beta = -\frac{\sin\gamma}{n}d\gamma$ oder $\frac{d\beta}{d\gamma} = \frac{\sin\gamma}{n\sin\beta}$
   • Die Breite des Bündels kurz vor dem Wasser ist $b_W = \frac{d}{\sin\beta}d\beta$
   • Diese Breite wird durch die Brechung zur Breite $b_L = b_W\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}$
   • Der Abstand $L$ zu $P'$ ist $L = \frac{b_L}{d\gamma} = b_W\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}\frac{1}{d\gamma} = d \frac{\sin\gamma}{\sin^2\beta}\frac{d\beta}{d\gamma}$ (Bogensegment)
   • Wir setzen $\frac{d\beta}{d\gamma}$ ein und erhalten $L = d \frac{\sin^2\gamma}{n\sin^3\beta}= d \frac{\sin^2\gamma}{n\left(\sqrt{1-... ...ight)^3} = d \frac{n^2\sin^2\gamma}{\left(\sqrt{n^2-1 +\sin^2\gamma}\right)^3}$
   • Wir setzen die Koordinaten des Punktes $P'$ zu $(x;y(x))$ mit dem Koordinatenursprung in der Wassseroberfläche senkrecht unter dem Beobachter und erhalten
     $x = -L \cos\gamma-\frac{h}{\tan\gamma}= -d \frac{n^2\sin^2\gamma\cos\gamma}{\left(\sqrt{n^2-1 +\sin^2\gamma}\right)^3} -\frac{h}{\tan\gamma}$
     $y = - L \sin\gamma= - d \frac{n^2\sin^3\gamma}{\left(\sqrt{n^2-1 +\sin^2\gamma}\right)^3}$
     
     
3. • Die numerische Apertur stellt den Öffnungswinkel dar. Es gilt $NA = n\sin\alpha$. Wir betrachten ein Luftobjektiv. Da muss $NA<1$ gelten (Totalreflexion)
   • Die Polarisationsrichtung dreht sich mit dem Ort auf dem Kreissegment um $2\pi$
   • Für die s-Polarisation gilt: $E_{r,s}/E_e = - \frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))}{\sin(\alpha+\beta(\alpha))}$
   • Für die p-Polarisation gilt: $E_{r,p}/E_e = -\frac{\tan[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}$
   • Die Amplituden als Funktion des Winkels $\gamma$ sind
     $E_{r,s}(\gamma,\alpha)/E_e = - \cos\gamma \frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))}{\sin(\alpha+\beta(\alpha))}$
     $E_{r,p}(\gamma,\alpha)/E_e = -\sin\gamma\frac{\tan[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}$
   • Die Reflektivität ist dann durch
     $R = \frac{I_R}{I} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} E_{r,s}(\gamma,\alpha)^2/E_e^2 + E_{r,p}(\gamma,\alpha)^2 /E_e^2 d \gamma$
   • Eingesetzt ergibt sich
     $R = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))} {\sin(\alpha+\beta(\... ...]}{\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}\right]\int\limits_0^{2\pi} \sin^2\gamma d\gamma$
   • Die Integrale können gelöst werden $R = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))} {\sin(\alpha+\beta(\alp... ...} \left[\frac{\tan[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}\right]^2$
   • weiter $R = \frac{1}{2} \left\{\left[\frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))} {\sin(\alpha+\b... ...rac{\tan[\alpha-\beta(\alpha)]} {\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}\right]^2\right\}$
     $= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))} {\sin(\alpha+\beta(\alpha... ...frac{\cos[\alpha+\beta(\alpha)]} {\cos[\alpha-\beta(\alpha)]}\right]^2\right\}$
     
     

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