Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 20]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1032])

Versuch zur Vorlesung: Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Da jede Huygenssche Elementarwelle eine periodische Schwingung mit einer gegebenen Frequenz $\nu$ darstellt, ändert sich die Frequenz beim Übergang von einem Medium in das zweite nicht. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_m = c/n$ kleiner ist, gilt für die Wellenlänge

$$\lambda_m = \frac{c_m}{\nu} = \frac{c/n}{\nu} = \frac{\lambda}{n}$$ (4..5)

In einem Medium mit einer Brechzahl $n>1$ ist die Wellenlänge kleiner. So hat rotes Licht $\lambda = 600 nm$ in Glas die Wellenlänge $\lambda_m = 400 nm$.

Geometrie der Brechung

Wir betrachten nun den Weg, den das Licht im Inneren eines Mediums zurücklegt. Wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit im Medium um den Brechungsindex $n$ kleiner ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck wissen wir, dass

$$\overline{AB}\sin\phi = \overline{AB'}$$

$$\overline{AB}\sin\phi' = \overline{BA'}$$ (4..6)

Weiter ist

$$\overline{AB'} = \frac{ c \Delta t}{n_1}$$

$$\overline{BA'} = \frac{c \Delta t}{n_2}$$ (4..7)

Also gilt

$$\frac{ c \Delta t}{n_1\sin\phi} = \frac{ c \Delta t}{n_2\sin\phi'}$$ (4..8)

Wir kürzen mit $c \Delta t$ und setzen $\phi = \phi_1$ und $\phi' = \phi_2$ und erhalten das Snelliussche Brechungsgesetz.

Brechungsgesetz

$$n_1 \sin\phi_1 = n_2 \sin\phi_2$$ (4..9)

Bei diesem Gesetz gibt es nur dann immer eine Lösung, wenn $n_1 \leq n_2$ ist. Sonst gibt es den Winkel der Totalreflexion. Wenn der vom optisch dichteren Medium einfallende Lichtstrahl gegen die Grenzflächennormale den Winkel $\phi_{tot}$ hat und der Winkel des resultierenden Lichtstrahls gegen die Grenzflächennormale im optisch dünneren Medium $\pi/2$ ist, hat das Brechungsgesetz gerade noch eine reelle Lösung.

$$\phi_{tot} = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right) \hspace{1cm}\textrm{mit }n_1<n_2$$ (4..10)

Für Winkel, die grösser als $\phi_{tot}$ sind, wird Licht aus dem optisch dünneren Medium total reflektiert. Die Reflexion geschieht in einer Tiefe von etwa $100 nm$ innerhalb des optisch dünneren Mediums.

Totalreflexion

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 191]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 21]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1035]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 485])

Versuch zur Vorlesung: Brechung und Reflexion (Versuchskarte O-068)

Versuch zur Vorlesung: Wasserstrahl als Lichtleiter (Versuchskarte O-072)

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser

Wenn Licht mit einem Winkel nahe der Achse der optischen Faser in diese eingekoppelt wird, dann wird das Licht mit Totalreflexion transportiert. Nur Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels den Faserkern trifft, wird weiter transportiert. Wenn die Faser gekrümmt wird, dann verlässt ein Teil des Lichtes die Faser: Krümmungen in der Faser erhöhen die Verluste.

Wenn der Faserkern den Durchmesser $d$ hat, ist der effektive Weg vom Winkel $\alpha$ gegen die Achse abhängig. Die Hypothenuse ist $\ell_H = d/\sin\alpha$ lang, der direkte Weg wäre $\ell = d/\tan\alpha$. Die relative Längenänderung ist

$$\frac{\ell_H}{\ell} = \frac{d}{\sin\alpha }\frac{\tan\alpha}{d} = \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha^2$$ (4..11)

Die Laufzeit hängt also davon ab, wie das Licht durch eine Glasfaser läuft. Zusätzlich tritt Dispersion auf. bei allen Gläsern ist

$$n_{blau}>n_{gr\ddot{u}n}>n_{gelb}>n_{rot}$$ (4..12)

Deshalb ist die Laufzeit für die verschiedenen Farben auch unterschiedlich. Da $c_{Medium} = c/n_{Medium}$ ist ist auch

$$c_{blau} < c_{gr\ddot{u}n} < c_{gelb} < c_{rot}$$ (4..13)