Das Fermatsche Prinzip

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 13]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

Eine alternative Art, die Ausbreitung von Licht zu beschreiben, ist das Fermatsche Prinzip.

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die benötigte Zeit minimal ist.

Die genauere Formulierung lautet:

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht benötigt, invariant gegen kleine Änderungen des Weges ist.

Mathematisch lautet das Fermatsche Prinzip: Die Zeit

$$t = \int\limits_{s_1}^{s_2} \frac{n(s)}{c} ds = \frac{1}{c} \int\limits_{s_1}^{s_2} n(s) ds$$ (4..14)

hat für jeden realisierten Lichtweg bezüglich einer Variation des Weges einen Extremalwert. Bei zwei- oder mehrmals stetig differenzierbaren Funktionen folgt auch der strengere Satz.

Wenn man den Weg nicht kennt, kann man Testfunktionen $s(\vec{r})$ verwenden. Diejenige, die die kürzeste Zeit ergibt, ist die wahrscheinlichste.

Reflexion

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermatschen Prinzip

Ein Beispiel für das Fermatsche Prinzip ist die Reflexion. In der obigen Zeichnung ist $A'$ das an der Grenzfläche gespiegelte Bild von $A$. In dem Dreieck $A'BP$ ist die Summe der Seitenlängen $A'P$ und $PB$ grösser als die Seitenlänge $A'B$. Da die Konstruktion mit $A'$ eine Hilfskonstruktion ist und wir überall die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ haben, ist die direkte Verbindung $A'B$ die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten. Damit ist aber das Gesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel gezeigt.

Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 166]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1043])

Anwendung des Fermatschen Prinzips auf die Berechnung des Brechungsgesetzes

Zur Berechnung des Brechungsgesetzes nehmen wir an, dass das Licht von $S$ (gegeben) über 0 (verschiebbar, Koordinate $x$) nach $P$ (gegeben) sich ausbreitet. Die Zeit, um von $S$ nach $P$ ist

$$t_{SP} = t_{S0}+t_{0P}$$ (4..15)

Diese Zeit soll extremal sein, das heisst

$$\frac{\partial t_{SP}}{\partial x} = 0$$ (4..16)

Nun ist

$$t_{SP} = \frac{\overline{S0}}{v_1}+\frac{\overline{0P}}{v_2}$$ (4..17)

Nach der obigen Skizze ist

$$\overline{S0} = \sqrt{x^2+h_1^2}$$ (4..18)

$$\overline{0P} = \sqrt{(a-x)^2+h_2^2}$$

Also ist

$$=\frac{\partial t_{SP}}{\partial x}=\frac{1}{2 v_1}\frac{1}{\sqrt{x^2+h_1^2}}\cdot 2x-\frac{1}{2 v_2}\frac{1}{\sqrt{(a-x)^2+h_2^2}}\cdot 2(a-x)$$ 0 (4..19)

$$=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+h_1^2}}-\frac{(a-x)}{v_2\sqrt{(a-x)^2+h_2^2}}$$

Die Betrachtung der in der Skizze auftretenden Dreiecke zeigt, dass

$$\sin\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+h_1^2}}$$ (4..20)

$$\sin\beta = \frac{(a-x)}{\sqrt{(a-x)^2+h_2^2}}$$

ist. Mit $v_1 = c/n_1$ und $v_2=c/n_2$ erhalten wir das Brechungsgesetz nach Snellius

$$n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$ (4..21)

Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz

(Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [Kän78, pp. 253])

Der kürzeste Weg $\overline {ACB}$ und nahe benachbarte Wege haben fast gleiche Längen. Im Gegensatz dazu sind ändert sich bei den längeren Wegen $\overline {ADB}$ und $\overline {AEB}$ die Länge schnell.

Vom Punkte $A$ soll Licht zum Punkte $C$ gelangen. Es gibt viele mögliche Wege. nach dem Fermatschen Prinzip folgt Licht dem Weg, der sich am wenigsten in der optischen Länge^4.2 von seinen benachbarten Wegen unterscheidet. Wenn die Weglängenfunktion stetig differenzierbar ist, ist dies auch der kürzeste Weg. Wir berechnen nun die Phase einer Welle, die entlang eines beliebigen Weges sich ausbreitet, wobei $w$ ein Parameter ist, der die möglichen Wege beschreibt.

Man nimmt an, dass alle Amplituden gleich sind und erhält

$$A_B(t) = \sum\limits_\textrm{alle Wege \textit{j}}Ae^{i(ks_j-\omega t)}$$ (4..22)

$$= Ae^{-i\omega t}\sum\limits_\textrm{alle Wege \textit{j}}e^{iks_j}$$

Die verbleibende Summation wird auf graphischem Wege in der komplexen Ebene durchgeführt. Die im Punkte B beobachtete Intensität ist das Resultat der Interferenz aller möglichen Wege.

Diese Darstellung zeigt grafisch die Summenbildung zur Berechnung der Interferenz für alle möglichen Wege. Die einzelnen Amplituden werden aufsummiert. Rot ist das Resultat dargestellt.

In dieser Abbildung tragen nur die Wege in der Nähe des kürzesten Weges zur konstruktiven Interferenz bei. Nur dort ist die Ableitung der Weglänge gegen den Parameter $w$ null: Alle Summanden interferieren konstruktiv. Die Wege über $D$ und $E$ ändern die Länge schnell mit $w$. Sie bilden die beiden Spiralen auf der linken und auf der rechten Seite und tragen nichts zur Summe bei. Wir können das Fermatsche Prinzip auch so formulieren:

Die Intensität des Lichtes in $B$ ausgehend von der Quelle $A$ ist gegeben durch die Interferenz der Lichtstrahlen auf allen möglichen Wegen. Dabei interferieren alle Lichtstrahlen destruktiv, mit Ausnahme derjenigen, die wir bei der Lichtausbreitung beobachten.

In der Quantenelektrodynamik werden Prozesse durch das Aufsummieren aller möglichen Feynmanschen Diagramme berechnet. Nur wenige Diagramme tragen zum Resultat wesentliches bei, die anderen sind Korrekturen höherer Ordnung. Die Summe Feynmanschen Diagramme ist nichts anderes als das Fermatsche Prinzip angewandt auf die Quantenelektrodynamik.