Polarisation

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Das heisst, dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht ist durch $\vec{E}(\vec{ x}$,$t) = \vec{E}_0(\vec{x}) \cos(\vec{k}(\vec{x}) \cdot \vec{x}-\omega t)$ gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass $\vec{E}_0$ der Bedingung

$$\vec{E}_0 \cdot \vec{k}=0$$ (4..23)

gilt.

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

• der Wellenvektor $\vec{k}= (k;0;0)$
• und die Amplitude $\vec{E}_0 = (0;E_y;E_z)$

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von $\vec{E}_0$ sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die $\vec{E}_0$ zeigt ist die Polarisationsrichtung.

Polarisation durch Absorption (Dichroismus)

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 487]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen $\pi$-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um $\pi/4$ gedreht.

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des $\vec{E}$-Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

$$E = E_0\cos\theta$$ (4..24)

wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität durch $I = \frac{n \epsilon_0 c}{2}E^2$ ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude $I \propto E^2$, gilt für die Intensität

$$I = I_0 \cos^2\theta$$ (4..25)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine optisch aktive Substanz eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden^4.3.

Dichroismus in einem $NaVO_4 Mn$-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla).

Polarisation durch Streuung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 507]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1046])

Versuch zur Vorlesung: Sonnenuntergang (Versuchskarte O-042)

Polarisation durch Streuung an einem Teilchen

Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des $\vec{E}$-Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.

Polarisation durch Reflexion

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 509]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 320]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1047])

Versuch zur Vorlesung: Spiegelanalysator (Versuchskarte O-115)

Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.

Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze

• Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung für die zur Grenzfläche tangentiale Komponenten des Lichtes)
• Das Gesetz von Snellius $n \sin \theta_P = n_2 \sin\theta_2$

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht $\pi/2$ ist, haben wir wieder die Situation wie bei der Streuung: im reflektierten Licht kann keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung ($\vec{E}$!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene liegt. Das heisst, der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene. Der Winkel $\theta_P$ heisst nach seinem Entdecker Brewster-Winkel. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass $\theta_P +\theta_2 = \pi/2$ ist. Damit wird der Brewster-Winkel

$$n \sin\theta_P = n_2 \sin\theta_2 = n_2 \sin(\pi/2-\theta_P) = n_2 \cos \theta_P$$ (4..26)

und damit

$$\tan\theta_P = \frac{n_2}{n}$$ (4..27)

Für Glas ($n_2 = 1.5$) gegen Luft ($n=1$) ist $\theta_P = \arctan(1.5) = 0.3128\pi = 56.31^0$. Der Brewster-Winkel wird zum Beispiel beim Resonator von Gaslasern angewandt um die Polarisationsrichtung zu definieren.

Polarisation durch Doppelbrechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 492]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 322]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1048])

Versuch zur Vorlesung: Doppelbrechung (Versuchskarte O-005)

Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul $E$ beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl $n = \varepsilon^2$ beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren $\varepsilon$ oder $n$ beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem Nur Komponenten auf ihrer Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, $n$ sondern drei Indizes $n_1$, $n_2$ und $n_3$ angegeben werden müssen.

Material	Anwendung
Kalkspat	Differenz-Interferenz-Kontrast-Objektive
Quarz
Flüssigkristalle	Anzeigen ...
Plexiglas unter mechanischer Spannung	Spannungsuntersuchung
usw.

Doppelbrechende Materialien

Wirkungsweise eines $\lambda/4$-Plättchens oder eines $\lambda /2$-Plättchens

Bei einem $\lambda/4$- oder einem $\lambda /2$-Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie $\pi/4$ zu den beiden Hauptachsen mit $n_{schnell}<n_{langsam}$ ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei $\lambda/4$-Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.

Wellen in einem $\lambda/4$-Plättchen

Ist der Gangunterschied $\lambda /2$, wie in der oben stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um $\pi/2$ gedreht.

Wir beschreiben kohärentes Licht durch die Gleichung

$$\vec{E}(\vec{x} t) = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot \vec{x}- \omega t-\phi)}$$ (4..28)

wobei $\vec{E}_0 \cdot \vec{k}= 0$ ist (Transversalität) und $\vec{E}_0$ die Polarisationsrichtung angibt. $\phi$ ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort 0 und zur Zeit 0 angibt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir $\vec{k}= (k;0;0)$ setzen. Dann ist $\vec{E}_0 = (0;E_y;E_z)$ die möglichen Polarisationsrichtungen. Der Vektor des elektrischen Feldes hat also nur Komponenten in die $y$- und die $z$-Richtung.

Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex $n_1$) entlang $y'$ und die langsame Achse (Brechungsindex $n_2$) entlang $z'$ und die Dicke $\ell$. Die $x$-Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel $\alpha$ gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist

$$x' = x$$

$$y' = y\cos(\alpha) - z \sin(\alpha)$$

$$z' = y\sin(\alpha) + z\cos(\alpha)$$ (4..29)

Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der $x$-Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase $\phi = 0$. Wir bekommen dann

$$E_{y'} = E_y\cos\alpha-E_z\sin\alpha$$

$$E_{z'} = E_y\sin\alpha+E_z\cos\alpha$$ (4..30)

Die Feldkomponente mit der Polarisation $E_{y'}$ breitet sich mit der Geschwindigkeit $c_{1} = c/n_1$ aus, die Polarisation $E_{z'}$ mit der Geschwindigkeit $c_{2} = c/n_2$. Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang $y'$ $\lambda_{1} = \lambda/n_1 = \frac{2\pi}{k n_1} = \frac{2\pi}{k_1}$ und entlang $z'$ $\lambda_{2} = \lambda/n_1 = \frac{2\pi}{k n_2} = \frac{2\pi}{k_2}$. Für die $\vec{k}$ gilt dann

$$k_1 = n_1 k$$

$$k_2 = n_2 k$$ (4..31)

Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke $\ell$ ist dann $t_1 = \ell/c_1 =\ell n_1/c$ und $t_2 = \ell/c_2 =\ell n_2/c$. Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise $t=0)$ das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir

$$E_{y'}(\ell 0) = E_{y'}e^{ik_1 \ell} = E_{y'}e^{in_1 k \ell}$$

$$E_{z'}(\ell 0) = E_{z'}e^{ik_2 \ell} = E_{y'}e^{in_2 k \ell}$$ (4..32)

Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also $\phi(\ell) (n_2-n_1)k\ell$ Wir können also auch schreiben

$$E_{y'}(\ell 0) = E_{y'}e^{i n_1 k \ell}$$

$$E_{z'}(\ell 0) = E_{z'}e^{i n_1 k \ell}e^{i\phi(\ell)}$$ (4..33)

Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die $z'$-Komponente gegen der $y'$-Komponente um $\phi(\ell)$ phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das $x$,$y$,$z$-Koordinatensystem mit

$$x = x'$$

$$y = y'\cos(\alpha) + z' \sin(\alpha)$$

$$z = -y'\sin(\alpha) + z'\cos(\alpha)$$ (4..34)

projizieren. Damit ist

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) E_z(\ell) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha -\sin\alpha ... ...y}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y'}(\ell) E_{z'}(\ell) \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha -\sin\alpha ... ...right)\left(\begin{array}{c} E_{y'} E_{z'}e^{i\phi(\ell)} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha -\sin\alpha ... ...2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y'} E_{z'} \end{array}\right)$$ (4..35)

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha -\sin\alpha ... ...lpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y} E_{z} \end{array}\right)$$

Ausmultipliziert erhält man für die Matrix

$$\left(\begin{array}{cc} e^{i\phi(\ell)/2}\cos^2\alpha+e^{-i\phi(\... ...e^{i\phi(\ell)/2}\sin^2\alpha+e^{-i\phi(\ell)/2}\cos^2\alpha \end{array}\right)$$ (4..36)

oder (nur für die Matrix)

$$\left(\begin{array}{cc} e^{i\phi(\ell)/2}\frac{1+\cos 2\alpha}{2}... ...-\cos 2\alpha}{2}+e^{-i\phi(\ell)/2}\frac{1+\cos 2\alpha}{2} \end{array}\right)$$ (4..37)

Wir vereinfachen und erhalten die Matrix

$$\left(\begin{array}{cc} \frac{e^{i\phi(\ell)/2}+e^{-i\phi(\ell)/2... ...i\cos 2\alpha\frac{e^{i\phi(\ell)/2}-e^{-i\phi(\ell)/2}}{2i} \end{array}\right)$$ (4..38)

und erhalten

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) E_z(\ell) \end{array}\right) =$$

$$\left(\begin{array}{cc} \cos(\phi(\ell)/2)+i\cos 2\alpha \sin(\ph... ...ll)/2) & \cos(\phi(\ell)/2)-i\cos 2\alpha \sin(\phi(\ell)/2) \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} E_{y} E_{z} \end{array}\right)$$ (4..39)

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass $\alpha=\pi/4$ und $\phi(\ell) = \pi/2$ ist. Die obige Matrix wird dann

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) E_z(\ell) \end{array}\right)... ...2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y} E_{z} \end{array}\right)$$ (4..40)

oder

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) E_z(\ell) \end{array}\right)... ...& 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y} E_{z} \end{array}\right)$$ (4..41)

Eine Lichtwelle, die nur in $y$-Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die $y$ wie auch in die $z$-Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von $\pi/2$. Die Wellengleichung ist dann

$$E_y(x t) = E_y \cos(kx-\omega t)$$

$$E_z(x t) = E_z \cos(kx-\omega t -\pi/2) = E_z\sin(kx-\pi/2)$$ (4..42)

Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst $\lambda/4$-Plättchen.

Wellen in einem $\lambda /2$-Plättchen

Der zweite wichtige Spezialfall ist $\alpha=\pi/4$ und $\phi(\ell) = \pi$. Die obige Matrix wird dann

$$\left(\begin{array}{c} E_y(\ell) E_z(\ell) \end{array}\right)... ...& 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_{y} E_{z} \end{array}\right)$$ (4..43)

Licht mit einer Polarisationsrichtung in $y$-Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung $z$ überführt. Eine solche Anordnung heisst $\lambda /2$-Plättchen. Zwei $\lambda/4$-Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.

Beschreibung der Polarisation durch Jones-Vektoren und Jones-Matrizen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 544])

Die Änderung der Polarisation von kohärentem Licht beim Durchgang durch Polarisatoren oder doppelbrechende Materialien kann mit Jones-Vektoren und Jones-Matrizen beschrieben werden. Jones-Vektoren und Jones-Matrizen sind eine Verallgemeinerung der obigen Rechnung. Formal läuft dies darauf hinaus, dass wir den Ausgangszustand al Vektor beschreiben und auf ihn die Operatoren der polarisationsändernden Objekte anwenden.

Aus der Darstellung im vorhergehenden Kapitel geht hervor, dass nur die $y$- und die $z$-Richtung die Polarisation beschreiben. Wir können also Zweiervektoren verwenden. Weiter soll die Phase der Welle als komplexe Zahl dargestellt werden. Schliesslich normieren wir die Länge des Vektors auf $1$. Eine Welle polarisiert in die $y$-Richtung wird also durch den Vektor

$$\vec{P}_y = \left(\begin{array}{c} 1 0 \end{array}\right)$$ (4..44)

dargestellt. Rechtszirkular polarisiertes Licht wird durch

$$\vec{P}_\mathcal{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 -i \end{array}\right)$$ (4..45)

beschrieben.

Jones-Vektoren	Beschreibung
$\vec{A}_y = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)$	Linear polarisiert in $y$-Richtung
$\vec{A}_z = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$	Linear polarisiert in $z$-Richtung
$\vec{A}_\mathcal{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right)$	Rechtshändig zirkular polarisiert
$\vec{A}_\mathcal{L} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right)$	Linkshändig zirkular polarisiert

Polarisationen in andere Richtungen können durch die Anwendung von Drehmatrizen berechnet werden. Die Drehung aus dem Koordinatensystem $y$,$z$ nach $y'$,$z'$ wird durch

$$y' = y\cos(\alpha) - z \sin(\alpha)$$

$$z' = y\sin(\alpha) + z\cos(\alpha)$$ (4..46)

beschrieben. Die Drehmatrix lautet also

$$\mathbf{R}\left(\alpha\right) = \left( \begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \right)$$ (4..47)

Ein um den Winkel $\alpha$ zu $y$-Achse linear polarisierter Strahl wird durch

$$\vec{A}(\alpha) = \mathbf{R}(\alpha)\vec{A}_y = \left( \begin{array}{c} \cos(\alpha) \sin(\alpha) \end{array} \right)$$ (4..48)

beschrieben. Ein linearer Polarisator in $y$-Richtung wird durch

$$\mathbf{P}_y= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & 0 \end{array} \right)$$ (4..49)

beschrieben. Die Wirkung eines um den Winkel $\alpha$ gedrehten Polarisators kann berechnet man, indem man das Koordinatensystem um $-\alpha$ dreht, den Polarisator in der $y$-Ebene anwendet und mit $\alpha$ zurückdreht.

$$\mathbf{P}(\alpha) =\mathbf{R}(\alpha)\mathbf{P}_y\mathbf{R}(-\alpha)$$ (4..50)

$$=\left( \begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \sin(\a... ...\cos(\alpha) & \sin(\alpha) -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \sin(\a... ...eft( \begin{array}{cc} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) 0 & 0 \end{array} \right)$$

$$=\left( \begin{array}{cc} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha) \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{array} \right)$$ (4..51)

Die Jones-Matrix des linearen Polarisators in die $z$-Richtung lautet also

$$\mathbf{P}_z = \mathbf{P}(\pi/2) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 0 & 1 \end{array} \right)$$

Die zirkulare Polarisation wird durch die beiden homogenen Polarisatoren $\mathbf{P}_\mathcal{R}$ und $\mathbf{P}_\mathcal{L}$ erzeugt.

$$\mathbf{P}_\mathcal{R} = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & i -i & 1 \end{array} \right)$$ (4..52)

$$\mathbf{P}_\mathcal{L} = \frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & -i i & 1 \end{array} \right)$$

Das $\lambda/4$ mit der schnellen Achse entlang der $y$-Richtung wird durch

$$\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} y} = e^{i\pi/4} \left( \begin{arra... ...}}\left(1+i\right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & -i \end{array} \right)$$ (4..53)

Mit der Gleichung (4.39) hatten wir ein schräg stehendes $\lambda/4$-Plättchen berechnet. Die Gleichung ist aber allgemeiner: sie beschreibt ein Verzögerungselement von $\phi$ gedreht um $\alpha$ zur $y$-Achse.

$$\mathbf{P}_{VZ}(\alpha \phi) =$$

$$\left(\begin{array}{cc} \cos(\phi(\ell)/2)+i\cos 2\alpha \sin(\ph... ...ll)/2) & \cos(\phi(\ell)/2)-i\cos 2\alpha \sin(\phi(\ell)/2) \end{array}\right)$$ (4..54)

Das Verzögerungselement mit der schnellen Achse parallel zur $y$-Achse ist durch

$$\mathbf{P}_{VZ\text{,} y} = \left( \begin{array}{cc} e^{i\phi/2} & 0 0 & e^{-i\phi/2} \end{array} \right)$$ (4..55)

gegeben. Die folgende Tabelle zeigt aus Gleichung (4.54) berechenbaren Elemente.

Jones-Matrix	Bedeutung
$\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} y} = e^{i\pi/4} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{array}\right)$	$\lambda/4$-Plättchen mit der schnellen Achse in $y$
$\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} z} = e^{i\pi/4} \left( \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$	$\lambda/4$-Plättchen mit der schnellen Achse in $z$
$\mathbf{P}_{\lambda/4}(\alpha) = \mathbf{R}(\alpha)\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} y}\mathbf{R}(-\alpha)$	$\lambda/4$-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um $\alpha$ bezüglich $y$
$\mathbf{P}_{\lambda/2\text{,} y} =\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} y}\mathbf{P}... ...a/4\text{,} y} = \left( \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array}\right)$	$\lambda /2$-Plättchen mit der schnellen Achse in $y$
$\mathbf{P}_{\lambda/2\text{,} z} =\mathbf{P}_{\lambda/4\text{,} z}\mathbf{P}... .../4\text{,} z} = \left( \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right)$	$\lambda /2$-Plättchen mit der schnellen Achse in $z$
$\mathbf{P}_{\lambda/2}(\alpha) = \mathbf{R}(\alpha)\mathbf{P}_{\lambda/2\text{,} y}\mathbf{R}(-\alpha)$	$\lambda /2$-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um $\alpha$ bezüglich $y$

Wenn ein Lichtstrahl mit der Polarisation $\vec{A}$ durch die Objekte $\mathbf{T}_1$,$\mathbf{T}_2$,$\ldots$,$\mathbf{T}_n$ geht, ist die resultierende Welle

$$\vec{A}_{Ende} = \mathbf{T}_n \mathbf{T}_{n-1} \ldots \mathbf{T}_2 \mathbf{T}_1 \vec{A}$$ (4..56)

Mit den oben angegebenen Polarisations- und Rotationsmatrizen können die meisten Polarisationsprobleme berechnet werden.

Beispiele zur Polarisation

Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Material wie Kalkspat

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 535])

Doppelbrechung in einem $NaVO_4 Mn$-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla). Gezeigt wird, dass die drei Kristallrichtungen eines sechseckig scheinenden Kristalls nicht äquivalent sind.

Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die Symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung $c_0$. Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit $c_0$, wenn der $\vec{E}$-Vektor in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit der anderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit $c_{ao} = 1.116 c_0$. Dieses Licht heisst ausserordentliches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch $c_0$, die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen $c_0$ und $c_{ao}$.

Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.

Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:

• Kugelflächen beim ordentlichen Licht
• Rotationsellipsoide beim ausserordentlichen Licht. Die Rotationsachse liegt schief zur Einfallsrichtung.

Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.

Das Nicolsche Prisma, kurz Nicol, ist eine Anwendung der Doppelbrechung zur Polarisation. Der spitze Winkel ist $68^0$, der abgeflachte Winkel genau $90^0$. Die optische Achse liegt senkrecht zur Längsachse in der Bildebene. Das Nicol-Prisma entsteht aus dem rechts gezeigten länglichen Kalkspatkristall, der diagonal geschnitten wird. Er wird mit einem Kitt, dessen Brechungsindex wie der Brechungsindex des ausserordentlichen Strahls ist, wieder zusammengeklebt. der ausserordentliche Strahl geht dann ohne grössere Ablenkung durch das Nicol-Prisma, während der ordentliche Strahl am Kitt totalreflektiert wird und aus dem Strahlengang verschwindet.

In der Technik war die spannungsinduzierte Doppelbrechung lange das einzige Mittel, unzulässige Beanspruchungen in Bauteilen festzustellen.

Versuch zur Vorlesung: Spannungsdoppelbrechung (Versuchskarte O-008)