(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])
Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator |
Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Das heisst, dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht ist durch , gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass der Bedingung
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Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind
Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.
Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die zeigt ist die Polarisationsrichtung. |
(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 487]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])
Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator |
Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator
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Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.
Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen -Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.
Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit
gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der
Analysator ist nun um gedreht.
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Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des -Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt
(4..24) |
(4..25) |
Dichroismus in einem -Kristall (gezüchtet von A. Lentz,
fotographiert von M. Pietralla).
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Versuch zur Vorlesung: Sonnenuntergang (Versuchskarte O-042) |
Polarisation durch Streuung an einem Teilchen
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Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des -Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 509]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 320]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1047])
Versuch zur Vorlesung: Spiegelanalysator (Versuchskarte O-115) |
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Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze
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(4..27) |
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 492]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 322]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1048])
Versuch zur Vorlesung: Doppelbrechung (Versuchskarte O-005) |
Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren oder beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem Nur Komponenten auf ihrer Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, sondern drei Indizes , und angegeben werden müssen.
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Wirkungsweise eines -Plättchens oder eines
-Plättchens
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Bei einem - oder einem -Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie zu den beiden Hauptachsen mit ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei -Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.
Wellen in einem -Plättchen
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Ist der Gangunterschied , wie in der oben stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um gedreht.
Wir beschreiben kohärentes Licht durch die Gleichung
, | (4..28) |
wobei ist (Transversalität) und die Polarisationsrichtung angibt. ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort 0 und zur Zeit 0 angibt.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir setzen. Dann ist die möglichen Polarisationsrichtungen. Der Vektor des elektrischen Feldes hat also nur Komponenten in die - und die -Richtung.
Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex ) entlang und die langsame Achse (Brechungsindex ) entlang und die Dicke . Die -Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist
(4..29) |
Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der -Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase . Wir bekommen dann
(4..30) |
Die Feldkomponente mit der Polarisation breitet sich mit der Geschwindigkeit aus, die Polarisation mit der Geschwindigkeit . Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang und entlang . Für die gilt dann
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Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke ist dann und . Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir
, | ||
, | (4..32) |
Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also Wir können also auch schreiben
, | ||
, | (4..33) |
Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die -Komponente gegen der -Komponente um phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das ,,-Koordinatensystem mit
(4..34) |
projizieren. Damit ist
(4..35) | ||
Ausmultipliziert erhält man für die Matrix
(4..36) |
oder (nur für die Matrix)
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Wir vereinfachen und erhalten die Matrix
(4..38) |
und erhalten
Wir betrachten nun den Spezialfall, dass und ist. Die obige Matrix wird dann
(4..40) |
(4..41) |
Eine Lichtwelle, die nur in -Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die wie auch in die -Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von . Die Wellengleichung ist dann
, | ||
, | (4..42) |
Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst -Plättchen.
Wellen in einem -Plättchen
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Der zweite wichtige Spezialfall ist und . Die obige Matrix wird dann
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Licht mit einer Polarisationsrichtung in -Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung überführt. Eine solche Anordnung heisst -Plättchen. Zwei -Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 544])
Die Änderung der Polarisation von kohärentem Licht beim Durchgang durch Polarisatoren oder doppelbrechende Materialien kann mit Jones-Vektoren und Jones-Matrizen beschrieben werden. Jones-Vektoren und Jones-Matrizen sind eine Verallgemeinerung der obigen Rechnung. Formal läuft dies darauf hinaus, dass wir den Ausgangszustand al Vektor beschreiben und auf ihn die Operatoren der polarisationsändernden Objekte anwenden.
Aus der Darstellung im vorhergehenden Kapitel geht hervor, dass nur die - und die -Richtung die Polarisation beschreiben. Wir können also Zweiervektoren verwenden. Weiter soll die Phase der Welle als komplexe Zahl dargestellt werden. Schliesslich normieren wir die Länge des Vektors auf . Eine Welle polarisiert in die -Richtung wird also durch den Vektor
(4..44) |
(4..45) |
Jones-Vektoren | Beschreibung |
Linear polarisiert in -Richtung | |
Linear polarisiert in -Richtung | |
Rechtshändig zirkular polarisiert | |
Linkshändig zirkular polarisiert |
Polarisationen in andere Richtungen können durch die Anwendung von Drehmatrizen berechnet werden. Die Drehung aus dem Koordinatensystem , nach , wird durch
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(4..47) |
(4..48) |
(4..49) |
(4..50) | ||
(4..51) |
(4..52) | ||
(4..53) |
, | |
(4..54) |
(4..55) |
Jones-Matrix | Bedeutung |
-Plättchen mit der schnellen Achse in | |
-Plättchen mit der schnellen Achse in | |
-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um bezüglich | |
-Plättchen mit der schnellen Achse in | |
-Plättchen mit der schnellen Achse in | |
-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um bezüglich |
Wenn ein Lichtstrahl mit der Polarisation durch die Objekte ,,, geht, ist die resultierende Welle
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Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Material wie
Kalkspat
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(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 535])
Doppelbrechung in einem -Kristall (gezüchtet von A.
Lentz, fotographiert von M. Pietralla). Gezeigt wird, dass die drei
Kristallrichtungen eines sechseckig scheinenden Kristalls nicht äquivalent
sind.
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Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die Symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung . Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit , wenn der -Vektor in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit der anderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit . Dieses Licht heisst ausserordentliches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch , die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen und .
Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.
Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:
Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.
In der Technik war die spannungsinduzierte Doppelbrechung lange das einzige Mittel, unzulässige Beanspruchungen in Bauteilen festzustellen.
Versuch zur Vorlesung: Spannungsdoppelbrechung (Versuchskarte O-008) |
Othmar Marti