Die Fresnelschen Formeln

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 175]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])

Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

Die Reflexion und die Brechung von Licht wird durch die Fresnelschen Formeln bestimmt. Wir verwenden die Definitionen

• Der einfallende und der reflektierte Strahl definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.
• Licht, dessen Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heisst s-polarisiertes Licht.
• Licht, dessen Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heisst p-polarisiertes Licht.
• Für die Intensität des Lichtes gilt in nichtmagnetischen Medien $I \propto \sqrt{\epsilon} E^2$, wobei $\epsilon = n^2$ ist.
• Genauer gilt für die Intensität: $I = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}E^2 = \frac{n \epsilon_0 c}{2} E^2$ für sinusförmige Wellen mit der Amplitude $E$.

Im folgenden betrachten wir nur nichtmagnetische Materialien.

Wir beginnen die Rechnungen für Licht mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ sind, dann muss der Energiestrom an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

$$\frac{n\epsilon_0 c}{2}\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = \frac{n' \epsilon_0 c}{2}E_g^2\cos\beta$$ (4..57)

wobei $\alpha$ und $\beta$ die Winkel zur Oberflächennormalen sind, $E_e$ ist die $E$-Feldkomponente des einfallenden Lichtes parallel zur Oberfläche, $E_r$ die des reflektierten (beachte das Vorzeichen) und $E_g$ die des gebrochenen.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

$$n\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = n'E_g^2\cos\beta$$ (4..58)

Die Komponente von $\vec{E}$ parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist $E_e + E_r= E_g$.

Wir beachten, dass $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$ ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

$$n\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha = n' E_g\cos\beta$$ (4..59)

Nach dem Brechungsgesetz ist $n'/n = \sin\alpha/\sin\beta$. Wir setzen dies ein und erhalten

$$\left(E_e-E_r\right)\sin\beta\cos\alpha = E_g\sin\alpha\cos\beta$$ (4..60)

Mit $E_e-E_r=E_g$ bekommen wir

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

$$E_r = E_e\frac{\sin\beta(\alpha)\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta(\alpha)}{\sin\beta(\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta(\alpha)}$$

$$= -E_e \frac{\sin(\alpha-\beta(\alpha))}{\sin(\alpha+\beta(\alpha))}$$

$$E_g = E_e\frac{2\sin\beta(\alpha)\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta(\alpha))}$$ (4..61)

• Wenn $\alpha > \beta$, wenn also das Licht aus dem optisch dünneren Medium auf das optisch dichtere Medium trifft, haben $E_e$ und $E_r$ unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um $\pi$ bei der Reflexion auf.
• Bei der Reflexion am dünneren Medium $\alpha < \beta$ wechselt $\sin(\alpha-\beta)$ das Vorzeichen. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion.
• Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl $\varepsilon$ und der relativen Permeabilität $\mu$.
• Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man $E_r = - E_e \frac{\sin\alpha-\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta} = -E_e\frac{n'-n}{n'+n}$

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien

$$I_r = I_e\frac{\left[\sin\beta(\alpha)\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta(... ...ght]^2}{\left[\sin\beta(\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta(\alpha)\right]^2}$$

$$= I_e \frac{\sin^2(\alpha-\beta(\alpha))}{\sin^2(\alpha+\beta(\alpha))}$$

$$I_g = \frac{n'}{n}I_e\frac{4\sin^2\beta(\alpha)\cos^2\alpha}{\sin^2(\alpha+\beta(\alpha))}$$ (4..62)

Wir haben die einfallende Intensität $I_e = n \frac{\epsilon_0 c}{2} E_e$ als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor $\frac{n'}{n}$ für $I_g$.

Stetigkeitsbedingungen für Licht mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die $\vec k$-Vektoren dar (rot für das einfallende Licht, grün für das reflektierte und blau für das gebrochene Licht). Die $\vec{E}$-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

Bei $p$-polarisiertem Licht ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von $\vec{E}$ durch

$$\left(E_e+E_r\right)\cos\alpha = E_g\cos\beta$$ (4..63)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Energieerhaltung

$$n\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = n'E_g^2\cos\beta$$ (4..64)

Teilen wir die beiden Gleichungen, erhalten wir

$$n\left(E_e-E_r\right) = n' E_g$$ (4..65)

Wir wenden wieder das Snelliussche Gesetz an

$$n\left(E_e-E_r\right) = n\;\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}E_g$$ (4..66)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

$$E_e\sin\beta = E_r\sin\beta+E_g\sin\alpha$$

$$E_e\cos\alpha = -E_r\cos\alpha+E_g\cos\beta$$ (4..67)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $\cos\alpha$ und die zweite mit $\sin\beta$ und addieren

$$E_e\left(\sin\beta\cos\alpha+\sin\beta\cos\alpha\right) = E_g\left(sin\alpha\cos\alpha+\sin\beta\cos\beta\right)$$ (4..68)

Mit $\sin(\alpha \pm\beta)\cos(\alpha \mp \beta) = \sin\alpha\cos\alpha \pm \sin\beta\cos\beta$ wird die obige Gleichung

$$E_e\left(2\sin\beta\cos\alpha\right) = E_g\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$$ (4..69)

Um $E_r$ zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (4.67) mit $\cos\beta$ und die untere mit $\sin\alpha$, subtrahieren und erhalten

$$E_e\left(\sin\beta\cos\beta-\cos\alpha\sin\alpha\right) = E_r \left(\sin\beta\cos\beta+\sin\alpha\cos\alpha\right)$$ (4..70)

Dies ist auch

$$E_e\sin(\beta-\alpha)\cos(\beta+\alpha) = E_r\sin(\beta+\alpha)\cos(\beta-\alpha)$$ (4..71)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

$$E_r = -E_e\frac{\tan[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan[\alpha+\beta(\alpha)]}$$

$$E_g = E_e\frac{2\sin\beta(\alpha)\cos\alpha}{\sin[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\alpha-\beta(\alpha)]}$$ (4..72)

Wenn in der Gleichung für $E_r$ $\alpha+\beta(\alpha)= \pi/2$ ist, divergiert der Nenner, wir erhalten also $E_r(\alpha=\pi/2-\beta(\alpha)) = 0$. Dies ist der Brewster-Winkel.

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation):

$$I_r = I_e\frac{\tan^2[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan^2[\alpha+\beta(\alpha)]}$$

$$I_g = \frac{n'}{n}I_e\frac{4\sin^2\beta(\alpha)\cos^2\alpha}{\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos[\alpha-\beta(\alpha)]}$$ (4..73)

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium ($n_1=1$) in das dichtere ($n_2 = 1.5$) eintritt.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium ($n_1=1$) in das dichtere ($n_2 = 1.5$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren ($n_1 = 1.5$) Medium in das dünnere ($n_2 = 1$) eintritt.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren ($n_1 = 1.5$) Medium in das dünnere ($n_2 = 1$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist

$$I_{e\text{,} \bot} = n \frac{\epsilon_0 c}{2} E_e^2 \cos{\alpha}$$ (4..74)

Der Fluss der reflektierten Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

$$I_{r\text{,} \bot} = n \frac{\epsilon_0 c}{2} E_r^2 \cos{\alpha}$$ (4..75)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

$$I_{g\text{,} \bot} = n' \frac{\epsilon_0 c}{2} E_g^2 \cos{\alpha}$$ (4..76)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die $p$-Polarisation

$$I_{e\text{,} p \text{,} \bot} = n \frac{\epsilon_0 c}{2}E_e^2 \cos{\alpha}$$

$$= I_{r\text{,} p\text{,} \bot}+I_{g\text{,} p\text{,} \bot}$$

$$= n \frac{\epsilon_0 c}{2}E_e^2\frac{\tan^2[\alpha-\beta(\alpha)]}{\tan^2[\alpha+\beta(\alpha)]}\cos{\alpha}$$

$$+ n' \frac{\epsilon_0 c}{2} E_e^2\frac{4\sin^2\beta(\alpha)\cos^2... ...a}{\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]}\cos(\beta(\alpha))$$

$$= \frac{\epsilon_0 c}{2}E_e^2$$

$$\left[n\frac{\sin^2[\alpha-\beta(\alpha)] \cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]\cos\alpha}{\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]}\right.$$

$$+\left.n' \frac{4\sin^2\beta(\alpha)\cos^2\alpha\cos(\beta(\alpha))}{\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]}\right]$$

$$= \frac{n\epsilon_0 c}{2}E_e^2$$

$$\left[\sin^2\left[\alpha-\beta\left(\alpha\right)\right]\cos^2\left[\alpha+\beta\left(\alpha\right)\right]\cos\alpha\right.$$

$$+\left. \frac{\sin\alpha}{\sin\beta\left(\alpha\right)}4\sin^2\beta\left(\alpha\right)\cos^2\alpha\cos\left(\beta\left(\alpha\right)\right)\right]$$

$$\cdot\left[\sin^{2}\left[\alpha+\beta\left(\alpha\right)\right]\cos^2\left[\alpha-\beta\left(\alpha\right)\right]\right]^{-1}$$

$$= \frac{n\epsilon_0 c}{2}E_e^2\cos\alpha$$

$$\left[\sin^2[\alpha-\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha+\beta(\alpha)]\right.$$

$$+\left.4\sin\alpha\sin\beta(\alpha)\cos\alpha\cos(\beta(\alpha))\right]$$

$$\cdot\left[\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]\right]^{-1}$$ (4..77)

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

$$X = \left\{\sin^2[\alpha-\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha+\beta(\alpha)]+ 4\sin\alpha\sin\beta(\alpha)\cos\alpha\cos(\beta(\alpha))\right\}$$

$$\cdot \left\{\sin^2[\alpha+\beta(\alpha)]\cos^2[\alpha-\beta(\alpha)]\right\}^{-1}$$

berechnen.

$$X = \left\{\sin^2[\alpha-\beta]\cos^2[\alpha+\beta]+ \sin(2\alpha)\sin(2\beta)\right\}$$

$$\cdot\left\{\sin^2[\alpha+\beta]\cos^2[\alpha-\beta]\right\}^{-1}$$ (4..78)

$$= \left\{\sin^2[\alpha-\beta]\cos^2[\alpha+\beta]+ \sin(2\alpha)\sin(2\beta)\right\}$$

$$\cdot\left\{\sin^2[\alpha+\beta]\cos^2[\alpha-\beta]\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\frac{1}{2}\left(1-\cos[2\alpha-2\beta]\right)\frac{1}{2}\left(1+\cos[2\alpha+2\beta]\right)\right.$$

$$+\left. \sin(2\alpha)\sin(2\beta)\right\}$$

$$\cdot\left\{\frac{1}{2}\left(1-\cos[2\alpha+2\beta]\right)\frac{1}{2}\left(1+\cos[2\alpha-2\beta]\right)\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\left(1-\cos[2\alpha-2\beta]\right)\left(1+\cos[2\alpha+2\beta]\right)\right.$$

$$+\left. 4\sin(2\alpha)\sin(2\beta)\right\}$$

$$\cdot\left\{\left(1-\cos[2\alpha+2\beta]\right)\left(1+\cos[2\alpha-2\beta]\right)\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\left(1-\cos[2\alpha-2\beta]\right)\left(1+\cos[2\alpha+2\beta]\right)\right.$$

$$+\left. 2\left(\cos[2\alpha-2\beta]-\cos[2\alpha+2\beta]\right)\right\}$$

$$\cdot\left\{\left(1-\cos[2\alpha+2\beta]\right)\left(1+\cos[2\alpha-2\beta]\right)\right\}^{-1}$$

Wir setzen $A = \cos[2\alpha-2\beta]$ und $B = \cos[2\alpha+2\beta]$ und schreiben die Gleichung um

$$X = \frac{(1-A)(1+B)+2A-2B}{(1-B)(1-A)}$$ (4..79)

$$= \frac{1- A +B - AB+2A-2B}{1+A-B-AB}$$

$$= \frac{1+ A -B - AB}{1+A-B-AB}$$

$$= 1$$

Da $X=1$ ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für $p$-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die $s$-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss des Pointing-Vektors berechnet wurde.

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren ($n_1=1$) Medium in das dichtere ( $n_2 = 1.5$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2\cos(\alpha_i)$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und $\alpha_i$ der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der $p$-Polarisation und der $s$-Polarisation liegen über der Kurve der winkelgewichteten Intensität des einfallenden Lichtes.

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren ($n_1 = 1.5$) Medium in das dünnere ($n_2 = 1$) eintritt. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2\cos(\alpha_i)$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und $\alpha_i$ der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der $p$-Polarisation und der $s$-Polarisation liegen über der Kurve der winkelgewichteten Intensität des einfallenden Lichtes. Im Bereich der Totalreflexion gibt die Rechnung den Energiefluss korrekt wieder.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von $\varepsilon\vec{E}= \vec{D}$ liefert das Snelliussche Gesetz.

Evaneszente Wellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])

Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass wenn Licht aus dem dichteren Medium in das dünnere eintritt, es Winkel gibt ( $n'\sin\beta >1)$, für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der $\vec{k}$-Vektor des Lichtes im dünneren Medium imaginär wird. Darum wird aus $e^{ikr}$ mit $k = i\kappa$ der exponentielle Dämpfungsfaktor $e^{-\kappa r}$, wobei $\kappa$ vom Einfallswinkel abhängt. Licht im dünneren Medium kann also nicht propagieren: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.