(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 175]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])
Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039) |
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Die Reflexion und die Brechung von Licht wird durch die Fresnelschen Formeln bestimmt. Wir verwenden die Definitionen
Im folgenden betrachten wir nur nichtmagnetische Materialien.
Wir beginnen die Rechnungen für Licht mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten und sind, dann muss der Energiestrom an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
(4..57) |
wobei und die Winkel zur Oberflächennormalen sind, ist die -Feldkomponente des einfallenden Lichtes parallel zur Oberfläche, die des reflektierten (beachte das Vorzeichen) und die des gebrochenen.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
(4..58) |
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist .
Wir beachten, dass ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten
(4..59) |
Nach dem Brechungsgesetz ist . Wir setzen dies ein und erhalten
(4..60) |
Mit bekommen wir
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für
nichtmagnetische Materialien
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Wir haben die einfallende Intensität als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für .
Stetigkeitsbedingungen für Licht mit
p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die -Vektoren dar
(rot für das einfallende Licht,
grün für das reflektierte und
blau für das gebrochene Licht). Die
-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die
Grenzfläche dünn.
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Bei -polarisiertem Licht ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von durch
(4..63) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Energieerhaltung
(4..64) |
Teilen wir die beiden Gleichungen, erhalten wir
(4..65) |
Wir wenden wieder das Snelliussche Gesetz an
(4..66) |
Damit müssen wir das Gleichungssystem
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren
(4..68) |
Mit wird die obige Gleichung
(4..69) |
Um zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (4.67) mit und die untere mit , subtrahieren und erhalten
(4..70) |
Dies ist auch
(4..71) |
Damit erhält man
Wenn in der Gleichung für ist, divergiert der Nenner, wir erhalten also . Dies ist der Brewster-Winkel.
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und
s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren
Medium () in das dichtere () eintritt.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und
s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren
() Medium in das dünnere () eintritt.
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Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist
(4..74) |
Der Fluss der reflektierten Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
(4..75) |
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
(4..76) |
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die -Polarisation
(4..77) |
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
(4..78) | ||
Wir setzen und und schreiben die Gleichung um
(4..79) | ||
Da ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für -Polarisation Energieerhaltung gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die -Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss des Pointing-Vektors berechnet wurde.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von liefert das Snelliussche Gesetz.
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])
Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080) |
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass wenn Licht aus dem dichteren Medium in das dünnere eintritt, es Winkel gibt ( , für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der -Vektor des Lichtes im dünneren Medium imaginär wird. Darum wird aus mit der exponentielle Dämpfungsfaktor , wobei vom Einfallswinkel abhängt. Licht im dünneren Medium kann also nicht propagieren: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
Momentaufnahme der Interferenz einer
total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.
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Othmar Marti