Interferenz und Beugung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 562]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 649]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 348]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109])

Versuch zur Vorlesung: Wellenmaschine (Versuchskarte SW-077)

In diesem Abschnitt sollen die Eigenschaften von Licht, die auf der Wellennatur beruhen, diskutiert werden.

Interferenz zweier Wellen mit der gleichen Amplitude und der gleichen Frequenz und einer Phase, die von $0\ldots2\pi$ variiert.

Mathematisch setzen wir zwei Wellen an

$$y_1(x,t) = A\sin\left(kx-\omega t\right)$$

$$y_2(x,t) = A\sin\left(kx-\omega t+\delta\right)$$ (5..1)

An einem bestimmten Ort ist die Differenz der Phasen durch

$$(kx-\omega t_1)-(kx -\omega t_2 +\delta) = \omega(t_1 - t_2) -\delta = \omega\Delta t - \delta$$ (5..2)

gegeben und unabhängig vom Ort. Zu einer bestimmten Zeit ist die Differenz der Phasen durch

$$(kx_1-\omega t)-(kx_2 -\omega t +\delta) = k(x_1-x_2)-\delta =k\Delta x -\delta$$ (5..3)

gegeben, unabhängig von der Zeit.

Wir wenden die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen an. Wir verwenden

$$\sin(\alpha)+\sin(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$ (5..4)

und erhalten

$$y(x,t) = y_1(x,t)+y_2(x,t)$$

$$= A\sin\left(kx-\omega t\right)+A\sin\left(kx-\omega t+\delta\right)$$

$$= 2A\cos\left(\frac{\delta}{2}\right)\sin\left(kx-\omega t+\frac{\delta}{2}\right)$$ (5..5)

Aus dieser Gleichung kann die folgende Tabelle abgeleitet werden.

Phase	resultierende Amplitude	Interferenz
0	$2A$	konstruktiv
$\pi/2$	$\sqrt{2} A$
$\pi$	0	destruktiv
$3\pi/2$	$\sqrt{2} A$
$2\pi$	$2A$	konstruktiv

Interferenz und Phasendifferenz