Interferenzmuster an einem Doppelspalt

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 572]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 358]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1116])

Versuch zur Vorlesung: Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

Strahlengang bei einem Doppelspalt

Aus den Interferenzbedingungen wissen wir, dass wir

konstruktive Interferenz (helle Streifen) bei

$$d \sin \Theta = m\lambda \hspace{1cm} m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$ (5..52)

destruktive Interferenz (dunkle Streifen) bei

$$d \sin \Theta = \left(m +\frac{1}{2}\right)\lambda \hspace{1cm} m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$ (5..53)

haben. Wir berechnen nun den Verlauf der Intensität.

Am Punkt $P$ ist die Phasendifferenz

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\Theta$$ (5..54)

Der $m$-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand $y_m$. Nach der Skizze ist der Winkel dann durch

$$\tan \Theta = \frac{y_m}{\ell}$$ (5..55)

gegeben. Wir verwenden, dass für kleine Winkel $\Theta$ gilt: $\tan\Theta \approx \sin\Theta \approx \Theta$. Damit folgt

$$d\sin\Theta \approx d\tan\Theta = d\frac{y_m}{\ell} \approx m\lambda$$ (5..56)

Der $m$-te helle Streifen liegt also bei

$$y_m \approx m \frac{\lambda\ell}{d}$$ (5..57)

Der Abstand zweier Streifen ist

$$\Delta y = \frac{\lambda\ell}{d}$$ (5..58)

Wenn wir die Amplituden der Felder verwenden (die elektrischen Felder $E$), können wir sagen, dass die beiden Felder $E_1 = E_0 \sin(\omega t)$ und $E_2 = E_0 \sin(\omega t + \delta)$ am Punkt $P$ interferieren.

$$E = E_1 + E_2 = E_0 \sin(\omega t)+E_0 \sin(\omega t + \delta)$$ (5..59)

Mit $\sin\alpha +\sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

bekommt man

$$E = 2 E_0 \cos\left(\frac{\delta}{2}\right)\sin\left(\omega t + \frac{\delta}{2}\right)$$ (5..60)

Die Intensität ist dann

$$I = 4 n \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2 \cos^2 \left(\frac{\delta}{2}\right) = 2n \epsilon_0 c E_0^2 \cos^2 \left(\frac{\delta}{2}\right)$$ (5..61)

wobei $n$ der Brechungsindex des Mediums ist. Mit $d\sin\Theta \approx y d/\ell$ wird die Phase

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\Theta \approx \frac{2 \pi}{\lambda}\frac{y d}{\ell}$$ (5..62)

und

$$I(y) \approx 2 n \epsilon_0 c I_0 \cos^2 \left(\frac{\pi y d}{\lambda\ell}\right)$$ (5..63)

Beugung an einem Doppelspalt. Links ist $d=3\lambda$, in der Mitte $d=10\lambda$ und rechts $d=30\lambda$ (rechts ist der gezeigte Bildausschnitt grösser).

Die Interferenz an einem Doppelspalt hängt von der Polarisationsrichtung ab.

Versuch zur Vorlesung: Interferenz mit Polarisation (Versuchskarte AT-051)