Beugungsmuster an einem Einzelspalt

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 650,663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1125]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 341])

Versuch zur Vorlesung: Beugung am Einzelspalt (Versuchskarte O-050)

Berechnung des Beugungsmusters an einem Einzelspalt.

Wir definieren den Winkel $\Theta$ genau so wie in der Zeichnung

Berechnung der Intensitätsverteilung

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1127])

Wir betrachten $N+1$ punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite $a$. Ihr Abstand ist $d= a/N$. Der Phasenunterschied zwischen zwei Lichtquellen in die Richtung $\Theta$ ist

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\Theta$$ (5..76)

Definition der Grössen. Rechts ist die Berechnung der Amplitude gezeigt.

Der gesamte Phasenunterschied ist

$$\Phi = \sum\limits_{k=0}^N \delta = (N+1)\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\Theta = \frac{N+1}{N}\frac{2\pi}{\lambda}a \sin\Theta$$ (5..77)

Für $N \rightarrow \infty$ ist

$$\Phi = \frac{2\pi}{\lambda}a \sin\Theta$$ (5..78)

Wie hängt nun die Amplitude von $\Phi$ ab?

Die Amplitude $E_0$ resultiert aus der Addition von $N+1$ Einzelamplituden $E$. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass

$$E_0 = 2 r \sin\left(\frac{\Phi}{2}\right)$$ (5..79)

Für den Winkel $\Theta=0$ ist $A_{max} = A(\Phi=0) = N\cdot A$. Die Amplituden der einzelnen Quellen sind unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge $A_{max} = N\cdot E = r\Phi$. Wir lösen nach $r$ auf und setzen ein.

$$E_0 = 2 \frac{E_{max}}{\Phi} \sin\left(\frac{\Phi}{2}\right) = \frac{E_{max}}{\frac{\Phi}{2}} \sin\left(\frac{\Phi}{2}\right)$$ (5..80)

Wenn wir berücksichtigen, dass $I = \frac{n}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}E^2$ ist und wir $I_0 = \frac{n}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}E_{max}^2$ setzen, erhalten wir für die Intensität

$$I = I_0 \left(\frac{\sin\left(\frac{\Phi}{2}\right)}{\frac{\Phi}{2}}\right)^2$$ (5..81)

Wenn wir $\Phi$ einsetzen, bekommen wir

$$I = I_0 \left(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{\lambda}a \sin\Theta\right)}{\frac{\pi}{\lambda}a \sin\Theta}\right)^2$$ (5..82)

Beugungsmuster als Funktion des Ablenkwinkels

Beugungsmuster als Funktion des Ablenkwinkels und, rechts, als Funktion des Abstandes von der optischen Achse.

Wir können mit $\Theta(y) = \arctan{\frac{y}{\ell}}$ das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen. Soll das Beugungsmuster in Funktion von $\Theta$ betrachtet werden, muss es mit einer Sammellinse (Gitter im Brennpunkt) betrachtet werden.

Beugungsmuster als Funktion der Spaltbreite. Links kontinuierlich und rechts für die Breiten $a=0.1,\;0.3,\;1,\;3,\;10$

Die Lage der Beugungsmaxima und -minima ist gegeben durch $\Phi/2 = k\pi$, $k=\pm 1,\pm 2,\ldots$ für die Minima und $\Phi/2 = (k+1/2)\pi$, $j= 0,\pm 1,\pm 2\ldots$ sowie $\Phi=0$ für die Maxima.

$$\Theta_{max} = 0$$

$$\Theta_{max,n} \approx \arcsin\left(\frac{\lambda (k+1/2)}{a} \right) \;k \;\protect{\epsilon}\; \mathbb{N}$$

$$\Theta_{max,-n} \approx \arcsin\left(\frac{\lambda (-k-1/2)}{a} \right) \;k \;\protect{\epsilon}\; \mathbb{N}$$

$$\Theta_{min,n} = \arcsin\left(\frac{\lambda k}{a} \right) \;k \;\protect{\epsilon}\; \mathbb{Z}$$ (5..83)

Die Amplitude in den Nebenmaxima $\Theta_{max,n}$ bekommt man durch Ableitung und auf Null setzen. Ungefähr liegen diese Maxima in der Mitte zwischen den Minima. Die Amplitude ist dort ungefähr

$$E_{max,n} = E_0\frac{\sin((k+1/2)\pi)}{(k+1/2)\pi} \approx \frac{E_0}{(k+1/2)\pi}\hspace{0.1\textwidth}k=0,\pm 1, \pm 2,\ldots$$ (5..84)

Damit gilt für die Intensitäten der Nebenmaxima

$$I_{max,n}= \frac{I_0}{\left[(k+1/2)\pi\right]^2}\hspace{0.1\textwidth}k=0,\pm 1, \pm 2,\ldots$$ (5..85)

Winkel	Art	Amplitude bezogen auf $I_0$
0	Maximum	$1$
$\pm \pi$	Minimum	0
$\pm 3\pi/2$	Maximum	$\frac{4}{9\pi^2}$
$\pm 2\pi$	Minimum	0
$\pm 5\pi/2$	Maximum	$\frac{4}{25\pi^2}$
$\pm 7\pi/2$	Maximum	$\frac{4}{49\pi^2}$
$\pm 9\pi/2$	Maximum	$\frac{4}{81\pi^2}$

Lage der Minima und Maxima

Die genaue Lage der Minima kann man durch

$$0 = \frac{\partial}{\partial \Phi} \left[\frac{\sin\left(\Phi/2\r... ...t]^2 = 4 \frac{\sin(\Phi/2)\cos(\Phi/2)}{\Phi^2}-8\frac{\sin^2(\Phi/2)}{\Phi^3}$$ (5..86)

oder vereinfacht

$$0 = \sin\left(\frac{\Phi}{2}\right)\left[\frac{\Phi}{2}\cos\left(\Phi\right)-2\sin\left(\frac{\Phi}{2}\right)\right]$$ (5..87)

Nullstellen gibt es für

$$\Phi = 2k\pi \hspace{1cm} k \epsilon \mathbb{Z}$$

$$\Phi = \tan(\Phi/2)$$ (5..88)