(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 650,663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1125]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 341])
Versuch zur Vorlesung: Beugung am Einzelspalt (Versuchskarte O-050) |
Berechnung des Beugungsmusters an einem Einzelspalt.
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Wir definieren den Winkel genau so wie in der Zeichnung
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1127])
Wir betrachten punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite . Ihr Abstand ist . Der Phasenunterschied zwischen zwei Lichtquellen in die Richtung ist
(5..76) |
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Der gesamte Phasenunterschied ist
(5..77) |
Für ist
(5..78) |
Wie hängt nun die Amplitude von ab?
Die Amplitude resultiert aus der Addition von Einzelamplituden . Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass
(5..79) |
Für den Winkel ist . Die Amplituden der einzelnen Quellen sind unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge . Wir lösen nach auf und setzen ein.
(5..80) |
Wenn wir berücksichtigen, dass ist und wir setzen, erhalten wir für die Intensität
(5..81) |
Wenn wir einsetzen, bekommen wir
(5..82) |
Beugungsmuster als Funktion des Ablenkwinkels
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Wir können mit das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen. Soll das Beugungsmuster in Funktion von betrachtet werden, muss es mit einer Sammellinse (Gitter im Brennpunkt) betrachtet werden.
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Die Lage der Beugungsmaxima und -minima ist gegeben durch , für die Minima und , sowie für die Maxima.
(5..83) |
Die Amplitude in den Nebenmaxima bekommt man durch Ableitung und auf Null setzen. Ungefähr liegen diese Maxima in der Mitte zwischen den Minima. Die Amplitude ist dort ungefähr
(5..84) |
Damit gilt für die Intensitäten der Nebenmaxima
(5..85) |
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Die genaue Lage der Minima kann man durch
(5..86) |
oder vereinfacht
(5..87) |
Nullstellen gibt es für
(5..88) |
Othmar Marti