Beugungsgitter und Spektrographen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 696]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 429]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1135])

Versuch zur Vorlesung: Beugungsgitter (Versuchskarte O-025)

Lichtdurchgang durch ein Gitter mit der Gitterkonstante $g$.

Beugungsgitter haben Spaltabstände $g$ in der Grössenordnung von etwa $1 \mu m$. Licht wird um den Winkel $\Theta$, gegeben durch

$$g \sin\Theta = m\lambda$$ (5..101)

abgelenkt. $m$ heisst die Beugungsordnung. Wenn man eine monochromatische Lichtquelle beobachtet, stellt man fest, dass ein einzelnes Beugungsmaximum beobachtet wird. Man spricht von einer Spektrallinie.

Spektrum 1. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu $m=1$ gehören.

Spektrum 2. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu $m=1$ gehören.

Entsprechendes gilt für die höheren Ordnungen.

Das Auflösungsvermögen eines Gitters ist als die Zahl $\lambda/\vert\Delta \lambda\vert$ definiert, wobei $\vert\Delta\lambda\vert$ die kleinste, noch trennbare Wellenlängendifferenz ist. Damit ist

$$A = \frac{\lambda}{\vert\Delta \lambda\vert} = m N$$ (5..102)

Das Auflösungsvermögen ist proportional zur Zahl der beleuchteten Spalte $N$. Zum Beispiel braucht man, um die zwei Na-Linien bei $589 nm$ und bei $589.59 nm$ aufzulösen,

$$A = \frac{589 nm}{589.59 nm-589 nm} \approx 998$$

Blaze-Gitter

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 700])

Blaze-Gitter

Bei einem Beugungsgitter, bei dem alle Flächen senkrecht auf der einfallenden Strahlung stehen, wird der Hauptteil der Energie in die $0.$ Ordnung gebeugt. Für spektroskopische Zwecke ist das sinnlos, da die Wellenzerlegung bei Ordnungen grösser als null auftritt. Deshalb haben moderne Gitter eine bestimmte Oberflächenform (''blaze''), wie in der Abbildung gezeigt. Dadurch wird die Reflexion, die die meiste Energie enthält, zu höheren Ordnungen verschoben.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der reflektierte Strahl mit der Einfallsrichtung den Winkel $2\phi$ bildet, da ja $\Theta = \phi$ gilt. Dieser Winkel soll einer bestimmten Ordnung $m$ der Interferenz entsprechen. Also muss gelten:

$$\sin 2\phi = m\lambda$$ (5..103)

oder

$$\Phi = \frac{1}{2} \arcsin\left(m\lambda/g\right)$$ (5..104)

Versuch zur Vorlesung: Auflösung eines Gitters (Versuchskarte O-124)

Hologramme

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 925]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1137]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 526])

Versuch zur Vorlesung: Herstellung von Hologrammen (Versuchskarte O-070)

Versuch zur Vorlesung: Hologramm einer Elektrolokomotive (Versuchskarte O-014)

Versuch zur Vorlesung:
Hologramm eines Baggers (Versuchskarte O-069)

Die Holographie speichert die Phaseninformation eines Lichtfeldes in einer fotografischen Schicht. Sie wurde von Dennis Gabor 1947 zum ersten Male beschrieben. Um die Phaseninformation aufzuzeichnen ist es notwendig, die Interferenz des aufzuzeichnenden Lichtfeldes mit einem Referenzlichtfeld aufzuzeichnen.

Aufzeichnung eines Hologramms

Bei der Aufzeichnung des Hologramms wird eine möglichst monochromatische Lichtquelle, also zum Beispiel ein Laser auf zwei Pfade aufgeteilt.Der eine Pfad beleuchtet das Objekt, dessen gestreutes Licht mit der Amplitude $E_0$ die Fotoplatte beleuchtet. Der zweite Strahl wird über ein Spiegelsystem als Referenzstrahl $E_B$ auf die Fotoplatte gebracht, deren Ebene mit $\Sigma_H$ bezeichnet wird und die identisch mit der Ebene $z=0$, also der $xy$-Ebene ist. Auf dem Hologramm wird die Intensitätsverteilung $I(x,y)$ resultierend aus der Interferenz von $E_B$ und $E_0$ in eine dazu proportionale Schwärzung umgewandelt.

Auslesen eines Hologramms

Das Hologramm in der $\Sigma_H$-Ebene wird anschliessend mit monochromatischem Licht der gleichen Wellenlänge, $E_R$ beleuchtet. Es entstehen drei Strahlen, nämlich

den ungebeugten Strahl

Dieser Strahl hat zwar eine geringere Intensität, kann aber so nicht ausgewertet werden.

einen gebeugten Strahl mit negativer Phase

Dieser Strahl erzeugt das reelle Bild, das aber dem Betrachter tiefenverkehrt erscheint.

einem gebeugten Strahl mit positiver Phase

Dieser Strahl, mit einer Kamera aufgenommen, erzeugt auf der Bildebene der Kamera ein Intensitätsmuster, wie wenn der Gegenstand noch vorhanden wäre. Dieses tiefenrichtige Bild heisst virtuelles Bild.

Schematischer Aufbau von Hologrammen

Die Berechnung dieser Effekte beginnt mit dem Referenzstrahl $E_B$

$$E_B(x,y) = E_{0B}\cos[\omega t+\phi(x,y)]$$ (5..105)

Dabei ist $\phi(x,y)$ die örtlich variierende Phase, da $E_B$ nicht senkrecht auf $\Sigma_B$ fällt. Bei einer ebenen Welle, die mit dem Winkel $\Theta$ zur Senkrechten auf die Hologrammebene fällt wäre

$$\phi(x,y) = \frac{2\pi}{\lambda}x\sin\Theta = kx\sin\Theta$$ (5..106)

Die vom Objekt gestreute Welle ist

$$E_0 (x,y) = E_{00}(x,y)\cos[\omega t + \phi_0(x,y)]$$ (5..107)

wobei sowohl $E_{00}(x,y)$ und $\phi_0(x,y)$ komplizierte Funktionen des Ortes sind. Die Intensität in der Hologrammebene $\Sigma_H$ ist durch

$$I(x,y) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{\mu \mu_0}}\left<\left(E_B(x,y)+E_0(x,y)\right)^2\right>_T$$ (5..108)

$$ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{\mu \mu_0}}\fra... ...1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{\mu \mu_0}}\frac{E_{00}^2(x,y)}{2}+$$

$$ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{\mu \mu_0}}E_{0B}E_{00}(x,y)\cos\left(\phi(x,y)-\phi_0(x,y)\right)$$

gegeben. Der Kontrast, gegeben durch $\nu=(I_{max}-I_{min})/(I_{max}+I_{min})$ ist

$$\nu = \frac{2 E_{0B}E_{00}}{E_{0B}^2+E_{00}^2}$$ (5..109)

Die Schwärzung der holografische Emulsion soll proportional zu $I(x,y)$ sein. Indem wir mit der Rekonstruktionswelle

$$E_R(x,y) = E_{0R}\cos[\omega t+\phi(x,y)]$$ (5..110)

das Hologramm beleuchten, erhalten wir eine Amplitudenverteilung gerade hinter dem Hologramm proportional zu $I(x,y)E_R(x,y)$. Ohne konstante Faktoren ist das Resultat

$$E_F(x,y) \propto \frac{1}{2}E_{0R}\left(E_{0B}^2+E_{00}^2(x,y)\right)\cos[\omega t +\phi(x,y)]$$

$$ +\frac{1}{2}E_{0R}E_{0B}E_{00}(x,y)\cos[\omega t +2\phi(x,y)-\phi_0(x,y)]$$

$$ +\frac{1}{2}E_{0R}E_{0B}E_{00}(x,y)\cos[\omega t +\phi_0(x,y)]$$ (5..111)

Wie oben diskutiert existieren drei Terme.

• $\frac{1}{2}\left(E_{0B}^2+E_{00}^2(x,y)\right)E_{0R}$: die amplitudenmodulierte Rekonstruktionswelle
• $\frac{1}{2}E_{0R}E_{0B}E_{00}(x,y)\cos[\omega t +2\phi(x,y){-\phi_0(x,y)}]$: Die tiefenverkehrte Welle mit negativer Phase, die das reelle Bild erzeugt.
• $\frac{1}{2}E_{0R}E_{0B}E_{00}(x,y)\cos[\omega t +\phi_0(x,y)]$: Die rekonstruierte Welle.

Durch den schrägen Einfall der Referenz- und der Rekonstruktionswelle werden virtuelles und reelles Bild getrennt.

Hologramme mit ebenen Wellen als Referenz- und Rekonstruktionswellen haben eine beschränkte Auflösung. Dies ist ersichtlich bei der Betrachtung des Hologramms einer punktförmigen Quelle. Die Interferenz zwischen einer ebenen Welle und einer Kugelwelle ergibt das gleiche Muster wie das Beugungsmuster an einer kreisförmigen Öffnung. Dort und auch hier nimmt der Abstand der Beugungsmaxima nach aussen ab. Indem das Hologramm mit Licht etwa der gleichen Krümmung wie die Objektwelle beleuchtet wird kann diese Abnahme vermieden werden (Fourier-Holographie).

Neben den besprochenen flächigen Hologrammen gibt es auch Volumenhologramme. Dort wird ein dreidimensionales Beugungsgitter analog zu einem Kristall erzeugt. Diese Hologramme können auch mit weissem Licht beleuchtet werden.

Durch die Überlagerung zweier Hologramme können interferometrische Messungen der Verschiebung von Objekten im $\mu m$-Bereich durchgeführt werden.