Nach der Gleichung (2.9) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche durch
ausgedrückt werden.
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Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung . Wir definieren den Normalenvektor am Ort als . Das Oberflächenelement ist .
Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist
(2.11) |
Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz
Die Grösse ist der Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung
einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist . Weiter ist
(2.13) |
Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen , die das Volumen einschliesst.
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Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.1) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in
(2.14) |
Diese Gleichung muss für alle Oberflächen gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein
Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.
Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.19) : . Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld gilt nämlich .
Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine
negative Ladung im Abstand von einer positiven Ladung heisst Dipol mit dem
Dipolmoment
(2.15) |
Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld
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Im homogenen elektrostatischen Feld wirkt auf die positive Ladung die Kraft und auf die
negative Ladung . Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein
Drehmoment
(2.16) |
Versuch zur Vorlesung: Drehmoment auf elektrischen
Dipol ES-30