Unterabschnitte

• Dipole in elektrischen Feldern

Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz

Nach der Gleichung (2.9) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche $A$ durch

$$Q = \displaystyle\int\!\!\!\!\displaystyle\int\limits_{V(A)}^{}\!\!\!\!\displaystyle\int{} \rho_{el}(\vec r) dV$$ (2.10)

ausgedrückt werden.

Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung $Q$. Wir definieren den Normalenvektor am Ort $\vec r$ als $\vec n = \vec r / \vert\vec r\vert = \vec r/r$. Das Oberflächenelement $da$ ist $da = r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$.

Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist

$$\vec E (\vec r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec r}{\vert\vec r\vert^3}$$ (2.11)

Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz

$$\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl{\uml a}che}} \vec E \cdot \vec n da = \displaystyle\int\limits_{Kugel}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\v... ...ec r\vert^3}\cdot \frac{\vec r}{\vert\vec r\vert}r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl{\uml a}che}}\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$= \frac{Q}{\epsilon_0}$$ (2.12)

Die Grösse $\Phi = \displaystyle\int_{\textrm{Oberfl{\uml a}che}} \vec E \cdot d\vec a$ ist der Fluss des Vektorfeldes $\vec E$ durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung

einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist $[\vec D] = C/m^2 = As/m^2$. Weiter ist

$$\displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl{\uml a}che}} ... ..._{\textrm{Kugeloberfl{\uml a}che}} \vec D \cdot \vec n da = Q$$ (2.13)

Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen $S$, die das Volumen $V(S)$ einschliesst.

Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.

Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.1) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in

$$\displaystyle\int\limits_{A}^{}\!\!\!\!\displaystyle\int{} ... ...mits_{V(A)}^{}\!\!\!\!\displaystyle\int{} \rho_{el}(\vec r) dV$$ (2.14)

Diese Gleichung muss für alle Oberflächen $S$ gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein

Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.

Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.19) : $\textrm{div} {}\vec D (\vec r) = 0$. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld $\vec v(\vec r)$ gilt nämlich $\textrm{div} {}\vec v (\vec r) = 0$.

Dipole in elektrischen Feldern

Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung $-q$ im Abstand $\vec \ell$ von einer positiven Ladung $q$ heisst Dipol mit dem Dipolmoment

$$\vec p = q \vec \ell$$ (2.15)

Die Einheit des Dipolmoments ist $[p] = Cm$. Der Vektor des Dipols zeigt von $-q$ nach $+q$.

Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld

Im homogenen elektrostatischen Feld $\vec E$ wirkt auf die positive Ladung die Kraft $\vec F$ und auf die negative Ladung $-\vec F$. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment

$$\vec M = \vec \ell \times \vec F = \left(q \vec \ell\right) \times \left( \vec F /q\right) = \vec p \times \vec E$$ (2.16)

Versuch zur Vorlesung: Drehmoment auf elektrischen Dipol ES-30