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Unterabschnitte
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 812]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 91])
Um die Magnetische Kraft zu berechnen gehen wir in zwei Schritten vor:
- Wir zeigen, dass elektrostatische Gesetze auch in bewegten Bezugssystemen gelten.
- Wir berechnen mit den Gesetzen der Relativitätstheorie die magnetische Kraft.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 91])
Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung.
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Mit zwei Gedankenexperimenten soll geklärt werden, ob die Ladung von der Geschwindigkeit abhängt. Zuerst
schliessen wir eine grosse Menge -Gas in den metallischen Tank ein, entladen ihn, und lassen das Gas
ausströmen. Die Ladung des leeren Tanks ist unmessbar klein. Daraus schliesst man:
Dies folgt aus dem Gaussschen Gesetz Gleichung (2.14)
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(3.75) |
wobei eine eventuell vor dem Ausströmen vorhandene Ladung, die Ladung eines Wasserstoffmoleküls
und die Anzahl der eingeschlossenen Wasserstoffmoleküle ist. ist die Ungenauigkeit der
Ladungsmessung. Aus der Tatsache, dass der Metallbehälter nach dem Ausströmen im Rahmen der Messgenauigkeit
ungeladen ist, folgt, dass das -Molekül ungeladen ist.
Der Versuch wird mit -Gas wiederholt. Das Resultat ist das gleiche. Nun bewegen sich aber die zwei
Protonen im -Atom mit sehr grosser Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass die Ladung des
Protons unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Die Ladung muss insbesondere in jedem
Inertialsystem gleich sein. Wir betrachten zwei Inertialsysteme und 3.4
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(3.76) |
Diese Gleichung drückt die relativistische Ladungsinvarianz aus.
Die Ladungsinvarianz ist nicht gleich der Ladungserhaltung. So ist zum Beispiel die Energie
erhalten, zwischen zwei Inertialsystemen aber nicht invariant (
).
(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 94])
Den Strom modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv und negativ geladen. Ihre
Linienladungsdichte soll so sein, dass die beiden Ketten neutral sind. Im Ruhesystem der positiven
Ladungen ist
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(3.77) |
Im Inertialsystem ist wegen der Ladungsinvarianz
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(3.78) |
Wegen der Längenkontraktion gilt
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(3.79) |
Zusammengenommen erhalten wir
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(3.80) |
Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das heisst, wenn in die
Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich sind, dann auch in den jeweiligen
Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die
beiden bewegten Ladungsketten die gleiche Linienladungsdichte im System haben, ist .
Im Ruhesystem , in dem das Teilchen mit der Ladung in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die
Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen
nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die
Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in
die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen3.5. Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen.
Deshalb wird angezogen, wenn ist. Das -Feld in die -Richtung erzeugt in die Kraft
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(3.81) |
Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand ist
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(3.82) |
Um das elektrische Feld berechnen wir die Geschwindigkeiten und in .
Mit den üblichen Abkürzungen
bekommen wir
Mit
und
und mit
erhalten wir
Die Netto-Linienladung in ist dann
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(3.87) |
Weiter erhalten wir
Also ist
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(3.89) |
Das elektrische Feld wird also
Die Kraft im Ruhesystem des Teilchens ist also
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(3.91) |
Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse
Der Vierervektor
transformiert sich wie der Vierervektor
. Die Kraft transformiert sich also wie
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(3.93) |
Der Strom in ist
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(3.94) |
Damit bekommen wir
Multipliziert man Gleichung (3.96) mit der Dichte der Ladungsträger , so erhält man die zu
proportionale Kraft.
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(3.95) |
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm