Unterabschnitte

• Das Ampèresche Durchflutungsgesetz
• Quellenfreiheit
• Das $\vec B$-Feld einer beliebigen Stromverteilung

Eigenschaften des $\vec B$-Feldes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 98])

Versuch zur Vorlesung: Fadenstrahlrohr EM-11

Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion $\vec B$ ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz

beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft $\vec F_L$ heisst Lorentz-Kraft.

Durch den Vergleich von Gleichung (3.98) und Gleichung (3.96) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben

$$B(r) = \frac{I}{2\pi\epsilon_0 c^2}\cdot \frac{1}{r}$$ (3.96)

Die Induktionskonstante

$$\mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c^2}$$ (3.97)

ermöglicht es Gleichung (3.99) kompakter zu schreiben

$$B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{I}{r}$$ (3.98)

Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

Mathematisch kann man $\vec B$ aus einem Linienelement $d\vec \ell$, das parallel zum Leiter und damit zum Strom ist, und das in die Flussrichtung des Stromes zeigt und aus dem Vektor $\vec r$, der vom Leiterelement zum Ort, an dem das Magnetfeld betrachtet werden sollte, zeigt, berechnen

$$\vec B(\vec r) = \frac{I}{2\pi\epsilon_0 c^2}\cdot \frac{d\vec \ell \times \vec r}{d\ell\cdot r^2}$$ (3.99)

Versuch zur Vorlesung: Magnetische Feldlinien EM-50

Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit

$$\vec F_L = q_2 \cdot \vec v_2 \times \vec B_1(r)$$ (3.100)

wobei $q_2$ eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit $n_2$ der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, $\ell$ die betrachtete Länge, $A_2$ der Querschnitt des Leiters und $\left<v_2\right> = \vert\vec v_2\vert$, bekommt man

$$F_M = q_2 \cdot \left<v_2\right> \cdot B_1(r)\cdot n_2\cdot \ell \cdot A_2$$ (3.101)

Der Strom im Leiter 2 ist nun aber

$$I_2 = \left<v_2\right> \cdot n_2 \ell \cdot A_2$$ (3.102)

Damit ist

$$F_M = I_2 \cdot B_1(r) \cdot \ell$$ (3.103)

Wenn wir Gleichung (3.101) einsetzen, bekommen wir

$$F_M = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \ell \cdot I_1 \cdot I_2}{r}$$ (3.104)

Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.

Materialien

Übungsblatt 05 vom 12. 12. 2002 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 12. 12. 2002 (PDF)

Die Einheit der magnetischen Induktion ist

$$[B]= Tesla = T = \frac{N\cdot s}{C \cdot m} = \frac{N}{A m}= \frac{V\cdot s}{m^2}$$ (3.105)

• Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung $q$ in einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung ist
  

  $$\vec F = q\cdot \vec E + q\cdot \vec v \times \vec B$$ (3.106)

  
  
  Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik
• Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem elektrostatischen Feld.

Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

Der Betrag des Vektors $d\vec F$, der senkrecht auf $d\overrightarrow \ell$ und senkrecht auf $d\vec B$ steht, ist

$$dF = q \cdot \left< v \right> \cdot \sin \phi \cdot B \cdot n \cdot d\ell \cdot A$$ (3.107)

wobei $n$ die Dichte der Ladungsträger und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec B$ und $d\overrightarrow{\ell}$ ist. Mit der Stromdichte $\vec i = n \cdot \left< v \right> \cdot q$ erhalten wir

$$dF = i \cdot A \cdot d\ell \cdot \sin\phi \cdot B = I \cdot d\ell \cdot \sin \phi \cdot B$$ (3.108)

Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach

Beispiele

1. Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist
   

   $$\vec F = \oint I \cdot d\vec \ell \times \vec B = I \cdot \left( \oint d\vec \ell \times \vec B \right)$$ (3.109)

   
   
   Da das Linienintegral $\oint d\vec \ell \times \vec B$ über eine geschlossene Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben sich auf) ist $\vec F = 0$.
2. Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.
   
   
   Versuch zur Vorlesung: Elektromotor Applet
   
   
   
   
   Versuch zur Vorlesung: Lorentz-Kraft EM046
   
   
   

   

   Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
   Bezüglich $0$ ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment
   

   $$d\vec M = \left(\vec r_1 +\vec r_3\right)\times d\vec F_1+ \left(\vec r_1 +\vec r_4\right)\times d\vec F_1$$ (3.110)

   $$+ \left(\vec r_2 +\vec r_3\right)\times d\vec F_2+ \left(\vec r_2 +\vec r_4\right)\times d\vec F_2$$

   $$= 2\cdot \vec r_1 \times d\vec F_1 + 2 \cdot \vec r_2 \times d\vec F_2$$

   
   
   Das gesamte Drehmoment ist
   

   $$\vec M = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2 = 2 \cdot \vec r_1 \times \vec F_1$$ (3.111)

   
   
   Das Drehmoment $\vec M$ liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn $\phi$ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und $\vec B$ ist, gilt mit $F_1 = a\cdot I \cdot B$:
   

   $$M = 2 \frac{b}{2} \sin\phi \cdot F_1 = a\cdot b\cdot I \cdot \sin\phi \cdot B$$ (3.112)

   
   
   Wir definieren das magnetische Moment $\vec m$ so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass $\vert\vec m\vert = \textrm{Fl{\uml a}che} \cdot \textrm{Strom} = a\cdot b\cdot I$ ist. Damit ist
   

   $$\vec M = \vec m \times \vec B$$ (3.113)

   
   
   Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
3. Die potentielle Energie einer um den Winkel $\phi$ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von $\phi=0$ ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel $\phi$ dreht. Die Arbeit, um von $\phi'$ nach $\phi'+d\phi'$ zu drehen ist
   

   $$dU = 2 \cdot F_1 \sin\phi' \cdot\frac{b}{2}\cdot d\phi' = a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \sin\phi' \cdot d\phi'$$ (3.114)

   
   
   Damit erhalten wir
   

   $$U(\phi) =a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \int\limits_0^\phi \... ...i' = - a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \left(\cos\phi -1\right)$$ (3.115)

   
   
   Wenn wir $U(\phi=\pi/2) = 0$ wählen haben wir
   

   $$U = - \vec m \cdot \vec B$$ (3.116)

   
   

Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.

Versuch zur Vorlesung: Barlowsches Rad EM004

Das Ampèresche Durchflutungsgesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 104])

Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom $I$ erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke $B = \frac{\mu_0}{2\pi r} I$ charakterisiert, wobei das $\vec B$-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises $S$, ergibt

$$\oint\limits_S \vec B \cdot d \vec s = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\oint\limits_S r d\phi = \mu_0 I$$ (3.117)

Dieses Linienintegral ist unabhängig von $r$. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.

Der Beweis geht in mehreren Schritten:

Eine beliebige Kurve $S$ um einen geraden Leiter

$d{\overrightarrow s}'$ ist die Projektion des Weglängenelementes $d\overrightarrow s$ auf der Kurve $S$ auf die in der $xy$-Ebene liegende Projektion der Kurve $S'$. Es ist

$$\vec B \cdot d\vec s = \vec B \cdot d{\overrightarrow s}' = B(r) \cdot \cos\alpha ds' = B(r)\cdot r\cdot d\phi$$

da $\vec B(r)$ keine Komponente in die $z$-Richtung hat. Es ist

$$\vec B \cdot d\vec s = \frac{\mu_0}{2\pi} I \cdot d\phi$$

und damit

$$\oint\limits_S \vec B \cdot d\vec s = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} d\phi = \mu_0 I$$

Eine beliebige Kurve $S''$, die den Leiter nicht umschliesst

Es ist

$$\oint\limits_{S'} \vec B \cdot d\vec s = \int\limits_A^B \vec... ...nt\limits_A^B d\phi+\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int\limits_B^A d\phi$$

$$= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_B-\phi_A\right)+ \frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\phi_A-\phi_B\right)=0$$

Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg $S$ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.

Eine beliebige Kurve $S$ um eine beliebige Stromverteilung

Wir betrachten viele Ströme $I_k$, die von der Integrationskurve $S$ umschlossen werden. Wegen der Linearität des Problems gilt

$$\oint\limits_S \vec B \cdot d\vec s= \mu_0 \sum\limits_k I_k$$

wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von $S$ eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.

Beispiel

Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius $R$ soll homogen vom Strom $I$ durchflossen werden. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Ausserhalb des Leiters ($r>R$) haben wir

$$\oint\vec B(r) \cdot d\vec s = 2\pi\cdot B(r) = \mu_0 \int\!\!\!\!\!\int\vec i\cdot d\vec s = \mu_0 \cdot I$$

Innerhalb des Leiters ($r\leq R$) gilt

$$\oint\vec B(r) \cdot d\vec s = 2\pi\cdot B(r) = \mu_0 \int\!\... ...\cdot \frac{I}{2\pi R^2}\cdot \pi r^2 = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$$

Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (A.3) ) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben

$$\oint\limits_S \vec B \cdot d\vec s = \int\limits_{A(S)}\!\... ...mu_0 \int\limits_{A(S)}\!\!\!\!\!\!\!\int \vec i \cdot d\vec a$$ (3.118)

Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen $A(S)$ gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten

Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.

Wir definieren eine lineare Stromdichte $j = \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{I(\Delta y)}{\Delta y}$. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass

$$\vec B_z \equiv 0$$ (3.119)

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der $xy$-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die $x$-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von $\vec B$ parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter das Feld $\vec B_x(x)$ und $\vec B_y(x)$ im Abstand $x$ von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $z$-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss
  
  $$\vec B(x) = -\vec B(-x)$$
  
  
  sein.
• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $y$-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um $j \rightarrow -j$. Die Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch
  
  $$\vec B_x(-x) = \vec B_x(x)$$
  
  
  und
  
  $$B_y(-x)= -B_y(x)$$
  
  
  .

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

$$\vec B_x(x) \equiv 0$$ (3.120)

Um $\vec B_y$ zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad $S$ symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

$$\oint\limits_C \vec B\cdot d\vec s = 2 B_y(x)\cdot b + 2\cdot 0 = \mu_0 \int\!\!\!\!\int \vec i d\vec f = \mu_0 \cdot j \cdot b$$

Das Resultat ist unabhängig von $x$ und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte).

$$B_y = \frac{\mu_0}{2}j$$ (3.121)

Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.

$$B = \mu_0 j$$ (3.122)

Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel

Quellenfreiheit

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 111])

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.

Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes

Da überall auf der Integrationsfläche $A$ gilt: $\vec B \cdot d\vec a = 0$, ist

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec B \cdot d\vec a = 0$$ (3.123)

Materialien

Folien zur Vorlesung am 19. 12. 2002 (PDF)

Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec B \cdot d\vec a = \int\limits_{Mantel}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \vec B \cdot d\vec a$$

ist.

Integration über die Mantelfläche.

An der Mantelfläche gilt mit $da = h\cdot ds$

$$\vec B \cdot d\vec a = B(r) \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)h\cdot ds = - B(r) \sin\left(\alpha\right)h\cdot ds$$

$$= -B(r) \cdot dr \cdot h = -B(r) \cdot \frac{dr}{d\phi}d\phi \cdot h= -B(r) \cdot r'(\phi)\cdot d\phi \cdot h$$

und damit

$$\int\limits_{Mantel}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \vec B \cdot d\vec... ...mu_0 I h}{2\pi}\ln\left(r(\phi)\right)\right\vert _0^{2\pi} = 0$$

Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen

$$\int\limits_A\!\!\!\!\!\int \vec B \cdot d\vec a = 0$$ (3.124)

Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.1) ) zeigt man

Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.

Das $\vec B$-Feld einer beliebigen Stromverteilung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 114])

Versuch zur Vorlesung: Magnetfeld von Leitern Em021

Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz $\textrm{rot} {}\overrightarrow B = \mu_0 \overrightarrow i$ und die Quellenfreiheit $\textrm{div} {}\vec B = 0$ erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.69) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential

$$\vec B\left(x;y;z\right) = \textrm{rot} {}\vec A\left(x;y;z\right)$$ (3.125)

werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität

$$\textrm{div} {}\left(\textrm{rot} {}\vec A\right) = 0$$ (3.126)

ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von $\vec A$ garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität $\textrm{rot} {}\left(\textrm{rot} {}\vec A\right) = \textrm{grad} {}\left(\textrm{div} {}\vec A\right) - \Delta \vec A$ bekommen wir aus dem Ampèrschen Gesetz

$$\Delta \vec A-\textrm{grad} {}\left(\textrm{div} {}\vec A\right) = -\mu_0 \vec i$$ (3.127)

Das Vektorpotential $\vec A$ kann immer so gewählt werden, dass $\textrm{div} {}\vec A = 0$ gilt. Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit $\textrm{div} {}\vec A = f \neq 0$ existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld $\vec V$ mit

$$\textrm{div} {}\vec V = f$$ (3.128)

$$\textrm{rot} {}\vec V = 0$$

mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren Ein Vektorpotential

$$\vec A' = \vec A - \vec V$$

Wegen Gleichung (3.138) gilt dann

$$\textrm{rot} {}\vec A' =\textrm{rot} {}\vec A -\textrm{rot} {}\vec V = \textrm{rot} {}\vec A$$

Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche $\vec B$-Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.138) gilt auch

$$\textrm{div} {}\vec A' = \textrm{div} {}\vec A -\textrm{div} {}\vec V = f-f = 0$$

Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung

$$\Delta\vec A(x;y;z) = -\mu_0\vec i(x;y,z)$$ (3.129)

kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,

$$\vec A\left(\vec r\right) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\!\!\!\!\... ...\left(\vec r\right)}{\left\vert\vec r-\vec r'\right\vert}dV'$$ (3.130)

Wenn wir mit $\vec \rho = \vec r -\vec r'$ den Abstand von einem Beobachtungspunkt $\vec r$ zu einem Punkt $\vec r'$ mit der Stromdichte $\vec i (\vec r')$ eines linearen Leiterstückes $d\overrightarrow \ell$ bezeichnen und $\vec \rho = \vec r -\vec r'$ setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld

$$d\vec B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{d\vec \ell\times\vec\rho}{\rho^3}$$ (3.131)

Durch Integration der Formel von Laplace oder des Gesetzes von Biot-Savart bekommt man

$$\vec B(\vec r) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\limits_{Leiter}\frac{d\vec \ell\times\vec\rho}{\rho^3}$$ (3.132)

Mit diesem Gesetz kann man das Magnetfeld einer beliebigen Spule berechnen. Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung! Die Formel von Laplace wird über das Vektorpotential berechnet.