Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Dieser Stoff wurde am 2. 12. 2004 behandelt

Materialien Folien zur Vorlesung vom 02. 12. 2004: PDF Seminar vom 9. 12. 2004: Aufgabenblatt 04 (HTML oder PDF)

Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  \vec{D}= 0$ (siehe Gleichung (2.19) ). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{}  \vec{E}= 0$. Wir betrachten eine Oberfläche $A$, die ein Stück $\Delta A$ der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

$$\int\limits_A \vec{D}\cdot d\vec{a}= -D_{1\bot}\Delta A + D_{2\bot}\Delta A = 0$$

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

$$D_{1\bot} = D_{2\bot}$$ (2.111)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe $s$, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

$$\int\limits_{A(s)} {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{E}\cdot d... ...\vec{E}\cdot d\vec{s} = E_{1\vert\vert}\frac{s}{2}-E_{2\vert\vert}\frac{s}{2}=0$$

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

$$E_{1\vert\vert} = E_{2\vert\vert}$$ (2.112)

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

• die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
• die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Mit ${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \varphi = -\vec{E}=$ können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential $\varphi$ umgeschrieben werden

$$\varphi_1 = \varphi_2$$

$$\epsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n} = \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}$$ (2.113)