next up previous contents index 562
Next: Kondensator gefüllt mit Dielektrikum Up: Dielektrika Previous: Stetigkeitsbedingungen an der Grenze   Contents   Index

Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Dielektrizitätszahl und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit $ \alpha$ sowie vom lokalen elektrischen Feld $ \vec{E}_{lokal}$ ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld $ \vec{E}$ sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, $ \vec{E}_i$.

$\displaystyle \vec{E}_{lokal} = \vec{E}+ \vec{E}_i$ (2.114)

Die Polarisation hängt vom lokalen Feld $ \vec{E}_{lokal}$ wie folgt ab:

$\displaystyle \vec{P}= N \vec{p}_{ind} = N \alpha \vec{E}_{lokal}$ (2.115)

wobei $ N$ die Dichte der induzierten Dipole ist.


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-033}
Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti


Zur Berechnung von $ \vec{E}_i$ und damit $ \vec{E}_{lokal}$ betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit $ \epsilon$, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius $ R$ entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],das von einem externen Feld $ \vec{E}$ in der $ x$-Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte $ \sigma(\Theta) = P_n = P_x\cos\Theta$, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit $ E=\sigma/\epsilon_0$ zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5) ) ist der Beitrag von $ \sigma da$ gegeben durch

$\displaystyle dE_{i,r} = \frac{\sigma da}{4\pi \epsilon_0 R^2} = \frac{P_x\cos\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$ (2.116)

gegeben. Die $ x$-Komponente ist dann

$\displaystyle dE_{i,x} = \frac{P_x\cos^2\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$ (2.117)

Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass $ da = r^2\sin\Theta
d\Theta d\varphi$ ist. Die Integration über $ \varphi$ (Faktor $ 2\pi$) und diejenige über $ r$ (Faktor $ 1$, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit $ \int \cos^2(\Theta)\sin(\Theta)d\Theta
= -\frac{1}{3}\cos^3(\Theta)$

$\displaystyle E_{i,x} = \frac{P_x}{4\pi\epsilon_0} 2\pi \int\limits_0^{\pi}\cos^2\Theta \sin\Theta d\Theta = \frac{1}{3\epsilon_0}P_x$ (2.118)

erhalten. Da die $ x$-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

$\displaystyle E_i = \frac{1}{3\epsilon_0}P$ (2.119)

Mit

$\displaystyle \vec{P}= \left(\epsilon-1\right) \epsilon_0 \vec{E}= \chi_e \epsilon_0 \vec{E}$ (2.120)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.115) und Gleichung (2.119) die Clausius-Mosotti-Beziehung

$\displaystyle \frac{\chi_e}{\chi_e+3}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}=\frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$ (2.121)

die die Polarisierbarkeit $ \alpha$ mit der Dielektrizitätszahl $ \epsilon$ verknüpft.

Die Rechnung verläuft folgendermassen

$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\epsilon-1)\epsilon_0 E$  
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{(\epsilon-1)\epsilon_0}$  
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N\alpha E_{lokal}$  
$\displaystyle E_{lokal}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{N\alpha}$  
$\displaystyle E_{lokal}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E+E_i$  
$\displaystyle \frac{P}{N\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{(\epsilon-1)\epsilon_0}+ \frac{P}{3\epsilon_0}$  
$\displaystyle \frac{1}{N\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{(\epsilon-1)\epsilon_0}+ \frac{1}{3\epsilon_0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{(\epsilon-1)}+ \frac{1}{3}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{3+\epsilon-1}{3(\epsilon-1)}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{2+\epsilon}{3(\epsilon-1)}\right)$  
$\displaystyle \frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}$  


next up previous contents index 562
Next: Kondensator gefüllt mit Dielektrikum Up: Dielektrika Previous: Stetigkeitsbedingungen an der Grenze   Contents   Index
Marti 2011-10-13