Als Literatur ist für dieses Kapitel insbesondere die Werke von Haken und Wolf[HW04], von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen.
Klassisch ist der Drehimpuls durch
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(6.211) |
oder in Komponenten
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Wir ersetzen nun
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|
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|
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und erhalten für die Drehimpulsoperatoren
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(6.212) |
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(6.213) |
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(6.214) |
Das Quadrat des Drehimpulses ist
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(6.215) |
Für Vertauschungsrelationen schreiben wir
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(6.216) |
Eine Möglichkeit diese Operatoren in Maple V zu definieren zeigt qm-defs.mws.
Wir erhalten nun die Vertauschungsrelationen
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(6.217) |
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(6.218) |
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(6.219) |
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(6.220) |
Das elektrostatische Potential des Wasserstoffatoms für ein Elektron ist kugelsymmetrisch. Wir verwenden deshalb Kugelkoordinaten.
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Definition der Kugelkoordinaten.
|
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten[BSMM00] ist
In Kugelkoordinaten sind
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(6.222) |
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(6.223) |
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(6.224) |
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(6.225) |
Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist
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(6.226) |
wobei ein allgemeines, kugelsymmetrisches Potential ist.
Mit der Schreibweise von
in Kugelkoordinaten (Gleichung (6.26) ) und Gleichung (6.22) ist
auch
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Wir beachten, dass Ableitungen nach einer Variablen mit Funktionen vertauschen, die nicht von
abhängig
sind und setzen
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(6.227) |
sowie
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(6.228) |
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||
![]() |
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Da
ist, können die sowohl die Eigenwerte von
wie auch
von
gleichzeitig scharf gemessen werden. Mit anderen Worten, die resultierende Wellenfunktion kann
als Produkt zweier Funktionen geschrieben werden.
Also muss man
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(6.229) |
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(6.230) |
Eine Mapledatei zum Berechnen der Orbitale ist hydrogen.mws. Das Original
(für eine nicht aktuelle Maple-Version ist
http://www.chemie.uni-konstanz.de/agmetz/hydrogen.mws.
Unter der Annahme, dass bekannt ist, wird die Gleichung für den Radialteil
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(6.231) |
nach Arfken und Weber[AW95, 736] schreibt man
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(6.232) |
Aus
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|
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(6.233) | |
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|
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||
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||
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(6.234) |
berechnet man für den azimutalen Anteil:
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(6.235) |
Die Lösung der Gleichung ist
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(6.236) |
Dies sind orthogonale Funktionen, da
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(6.237) |
Damit
, die Observable, eindeutig bestimmt ist auf den Intervall
muss
ganzzahlig sein.
Für bekommt man
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(6.238) |
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![]() |
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(6.239) |
Subtrahieren ergibt
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(6.240) |
Bezeichnungswechsel
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(6.241) |
Um eine Beziehung zwischen und
zu bekommen multiplizieren wir von links mit
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(6.242) |
Nach Haken, Wolf[HW04] ergibt das Integral über und
, dass
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(6.243) |
sein muss.
Mit
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(6.244) |
kann man die Operatoren
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(6.245) |
![]() |
![]() |
(6.246) |
definieren.
Es ist
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(6.247) |
es gilt
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(6.248) |
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![]() |
|
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![]() |
(6.249) |
Wir setzen
ein
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(6.250) |
sind vertauschbar
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(6.251) |
d.h. wenn
eine Eigenfunktion ist, dann ist auch
eine Eigenfunktion
Aus der Azimutalgleichung erhalten wir
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(6.252) |
![]() |
![]() |
(6.253) |
![]() |
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(6.254) |
also
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(6.255) |
![]() |
(6.256) |
Damit ist auch
eine Eigenfunktion zur Azimutalgleichung, aber mit anderem Eigenwert.
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(6.257) |
Die folgende Relation gilt
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|
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||
![]() |
||
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||
![]() |
||
![]() |
||
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(6.258) |
Da
sein muss, gilt auch
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(6.259) |
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(6.260) |
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(6.261) |
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||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
da
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(6.262) |
Aus
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(6.263) |
![]() |
(6.264) |
Nach
aufgelöst
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(6.265) |
![]() |
![]() |
(6.266) |
0 | ![]() |
(6.267) |
Da
ist, folgt
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(6.268) |
Da die Funktion eindeutig sein muss, muss eine ganze Zahl sein.
Wir definieren:
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(6.269) |
mit
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![]() |
(6.270) |
![]() |
![]() |
(6.271) |
also ist
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![]() |
(6.272) |
![]() |
![]() |
(6.273) |
und
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(6.274) |
mit der Normierung
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(6.275) |
Wir wissen schon, dass
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(6.276) |
es ist
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(6.277) |
Wir wollen
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![]() |
(6.278) |
![]() |
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|
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||
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||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
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Wir setzen in die beiden Relationen für
und
die Funktion
ein und erhalten
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(6.279) |
![]() |
![]() |
(6.280) |
Für wird
0 | ![]() |
|
![]() |
||
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also bekommen wir die Differentialgleichung
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(6.281) |
Deren Lösung ist
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(6.282) |
aus
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(6.283) |
bekommt man
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(6.284) |
Mit
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(6.285) |
kann man alle Funktionen konstruieren
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(6.286) |
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(6.287) |
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(6.288) |
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(6.289) |
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(6.290) |
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![]() |
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![]() |
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(6.291) |
Plots dieser Wellenfunktionen finden Sie im Anhang A.1.
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(6.292) |
Wir verwenden
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(6.293) |
und Multiplizieren die Gleichung mit
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(6.294) |
wir setzen
![]() |
(6.295) |
![]() |
(6.296) |
![]() |
(6.297) |
Wir betrachten den Grenzfall:
und verwenden den Ansatz
.
Für die Ableitungen gilt
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|
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||
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|
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(6.298) |
oder mit
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(6.299) |
Im Grenzfall gilt
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|
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Wir erhalten in diesem Grenzfall
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(6.300) |
Für die beiden Fälle und
die folgenden Lösungen:
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|
|||||||||
![]() ![]() |
|
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(6.305) |
Variablentransformation
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(6.306) |
![]() |
(6.307) |
![]() |
(6.308) |
mit
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|
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![]() |
wird
0 | ![]() |
|
0 | ![]() |
|
![]() |
mit
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(6.309) |
Exponentialansatz
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(6.310) |
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||
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|
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||
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|
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||
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wir spalten
ab.
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|
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Rekursionsansatz
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(6.311) |
einsetzen ergibt
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||
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niedrigster Exponent ist , also
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(6.312) |
und damit
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|
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![]() |
Lösungen
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Durch Berechnung der höheren Potenzen erhält man
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(6.313) |
mit
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(6.314) |
wobei durch
ersetzt wurde, da
von
abhängt.
2 Lösungstypen:
Mit folgt
Wir berechnen die ersten
und setzen
;
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|||||||
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0 | 0 | ![]() |
0 | ![]() |
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0 | ![]() |
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0 |
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0 | ![]() |
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0 |
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0 |
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0 | 0 | 0 |
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0 | 0 |
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0 | 0 |
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0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
![]() |
0 | 0 | 0 |
![]() |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dabei ist
: Hauptquantenzahl
: Drehimpulsquantenzahl
Die dazugehörige nicht normierte Funktion lautet also
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(6.315) |
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0 |
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0 |
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0 |
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2 |
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|
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0 |
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Also ist
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0 |
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0 |
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0 |
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2 |
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0 |
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und schliesslich mit
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0 |
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0 |
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0 |
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2 |
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0 |
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wobei
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ist. Der Energieeigenwert ist weiter
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(6.316) |
so dass
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und
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(6.317) |
ist.
Der Bohrsche Radius wird aus
berechnet
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(6.318) |
Die normierten Funktionen sind also
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0 |
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0 |
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|
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0 |
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2 |
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0 |
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Bei Hyperphysics gibt es eine schöne Darstellung dieser Funktionen. Eine Skizze dieser Wellenfunktionen findet sich auch im Anhang A.2.
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(6.319) |
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(6.320) |
![]() |
(6.321) |
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(6.322) |
also ist
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(6.323) |
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Die Wellenfunktion ist dann
wobei
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(6.325) |
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(6.326) |
Also lauten die Wasserstofforbitale[AW95]
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|
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||
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Die folgende Ausarbeitung folgt der Behandlung von Gordon Baym[Bay69, 66]. Eine analoge Darstellung findet sich im Buch von landau und Lifschitz [LL79, 46]
Seien
und
normierte Wellenfunktionen.
Behauptung:
Beweis:
Sei
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Dann ist
0 | ![]() |
|
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||
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||
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||
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(6.328) |
Gleichheit gilt also nur wenn
Wir wählen das beliebige so, dass
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und setzen in Gleichung (6.131) ein
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|
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||
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Bei nicht normierten Funktionen verwendet man
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Aus Gleichung (6.130) bekommt man
Aus Gleichung (6.131) erhält man
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|
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und damit
Wir erhalten für die Wellenfunktion
für die Standardabweichungen
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(6.331) |
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(6.332) |
wobei für die Erwartungswerte wie üblich gilt:
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Wir nehmen an, dass das zu untersuchende Teilchen die Wellenfunktion
hat. Wir definieren
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(6.333) |
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![]() |
(6.334) |
Dann ist
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![]() |
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(6.335) |
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![]() |
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(6.336) |
Aus Gleichung (6.133) erhält man mit
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|
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||
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||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
![]() |
||
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Unter der Annahme dass
und
, was sich immer durch eine
Galilei-Transformation erreichen lässt.
Wir haben bei der Berechnung nichts über die Operatoren und
angenommen, so dass auch für
allgemeine Operatoren
und
, bei denen man über eine Transformation
und
erreichen kann, für die Unbestimmtheitsrelation gilt
|
Nach Landau und Lifschitz [LL79, 46] folgt aus
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(6.338) |
wobei und
beliebige Operatoren zu den klassischen Grössen
und
sind und bei der
der Operator zur klassischen Grösse
(der Poisson-Klammer) ist, dass im klassischen Grenzfall alle
Operatoren vertauschbar sind. In zweiter Näherung kann der Operator
als Multiplikation mit
auffassen, so dass
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(6.339) |
und in Analogie zu den Impulsen
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(6.340) |
3 Quantenzahlen
![]() |
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|
0 | ![]() |
|
![]() |
![]() |
Diese drei Quantenzahlen beschreiben den atomaren Zustand
Rydberg-Gesetz: nur ist wichtig
alle
- und
-Zustände haben die gleiche Energie
Entartung
Fragen: in welcher Reihenfolge werden die Zustände besetzt?
- Wird die Entartung aufgehoben?
- Grund für die Entartung
- Kepler-Gesetze beschreiben geschlossene Planetenbahnen, wenn das Potential sich wie verhält.
Abweichungen vom
-Gesetz bedeutet Perihel-Drehung.
![]()
Sommerfeld-Bild
|
Modell eines Atoms mit einem Leuchtelektron
![]()
Atom mit einem Leuchtelektron
|
für
gilt
unabhängig vom inneren Aufbau
für
muss
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Coulombpotential und effektives Potential
|
Innen ist das
auf einer anderen Bahn als aussen
andere Energie: Energieentartung aufgehoben.
Grotrian-Diagramm
![]()
Grotrian-Diagramm für Litium
|
grosse Buchstaben: bezieht sich auf das gesamte System
kleine Buchstaben: bezieht sich auf ein Elektron
Für die Energien gilt:
Hauptserie
Nebenserien
Elektronenkonfiguration
Argon-Konfiguration
Beispiel: K-Atom +1
Argon
oder
ist der nächste Zustand ein oder
-Elektronen sind näher am Kern als
-Elektronen
Abschirmung?
kommt zeitweise näher an Kern (unabgeschirmt)
Zustand ist niedriger als
![]()
Radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms
|