Als Literatur ist für dieses Kapitel insbesondere die Werke von Haken und Wolf[HW04], von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen.
Klassisch ist der Drehimpuls durch
(6.211) |
oder in Komponenten
Wir ersetzen nun
und erhalten für die Drehimpulsoperatoren
(6.212) | ||
(6.213) | ||
(6.214) |
Das Quadrat des Drehimpulses ist
(6.215) |
Für Vertauschungsrelationen schreiben wir
(6.216) |
Eine Möglichkeit diese Operatoren in Maple V zu definieren zeigt qm-defs.mws.
Wir erhalten nun die Vertauschungsrelationen
(6.217) | ||
(6.218) | ||
(6.219) | ||
für | (6.220) |
Das elektrostatische Potential des Wasserstoffatoms für ein Elektron ist kugelsymmetrisch. Wir verwenden deshalb Kugelkoordinaten.
Definition der Kugelkoordinaten.
|
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten[BSMM00] ist
In Kugelkoordinaten sind
(6.222) | ||
(6.223) | ||
(6.224) | ||
(6.225) |
Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist
(6.226) |
wobei ein allgemeines, kugelsymmetrisches Potential ist.
Mit der Schreibweise von in Kugelkoordinaten (Gleichung (6.26) ) und Gleichung (6.22) ist auch
Wir beachten, dass Ableitungen nach einer Variablen mit Funktionen vertauschen, die nicht von abhängig sind und setzen
(6.227) |
sowie
(6.228) | ||
Da ist, können die sowohl die Eigenwerte von wie auch von gleichzeitig scharf gemessen werden. Mit anderen Worten, die resultierende Wellenfunktion kann als Produkt zweier Funktionen geschrieben werden.
Also muss man
(6.229) | ||
(6.230) |
Eine Mapledatei zum Berechnen der Orbitale ist hydrogen.mws. Das Original
(für eine nicht aktuelle Maple-Version ist
http://www.chemie.uni-konstanz.de/agmetz/hydrogen.mws.
Unter der Annahme, dass bekannt ist, wird die Gleichung für den Radialteil
(6.231) |
nach Arfken und Weber[AW95, 736] schreibt man
(6.232) |
Aus
(6.233) | ||
(6.234) |
berechnet man für den azimutalen Anteil:
(6.235) |
Die Lösung der Gleichung ist
(6.236) |
Dies sind orthogonale Funktionen, da
(6.237) |
Damit , die Observable, eindeutig bestimmt ist auf den Intervall muss ganzzahlig sein.
Für bekommt man
(6.238) | ||||
(6.239) |
Subtrahieren ergibt
(6.240) |
Bezeichnungswechsel
(6.241) |
Um eine Beziehung zwischen und zu bekommen multiplizieren wir von links mit
(6.242) |
Nach Haken, Wolf[HW04] ergibt das Integral über und , dass
(6.243) |
sein muss.
Mit
(6.244) |
kann man die Operatoren
(6.245) | ||
(6.246) |
definieren.
Es ist
(6.247) |
es gilt
(6.248) | ||
(6.249) |
Wir setzen ein
(6.250) |
sind vertauschbar
(6.251) |
d.h. wenn eine Eigenfunktion ist, dann ist auch eine Eigenfunktion
Aus der Azimutalgleichung erhalten wir
(6.252) |
(6.253) | ||
(6.254) |
also
(6.255) |
(6.256) |
Damit ist auch eine Eigenfunktion zur Azimutalgleichung, aber mit anderem Eigenwert.
(6.257) |
Die folgende Relation gilt
(6.258) |
Da sein muss, gilt auch
(6.259) | ||
(6.260) | ||
(6.261) | ||
da
(6.262) |
Aus
(6.263) |
(6.264) |
Nach aufgelöst
(6.265) | ||
(6.266) | ||
0 | (6.267) |
Da ist, folgt
(6.268) |
Da die Funktion eindeutig sein muss, muss eine ganze Zahl sein.
Wir definieren:
(6.269) |
mit
(6.270) | ||
(6.271) |
also ist
(6.272) | ||
(6.273) |
und
(6.274) |
mit der Normierung
(6.275) |
Wir wissen schon, dass
(6.276) |
es ist
(6.277) |
Wir wollen
(6.278) |
Wir setzen in die beiden Relationen für und die Funktion ein und erhalten
(6.279) | ||
(6.280) |
Für wird
0 | ||
also bekommen wir die Differentialgleichung
(6.281) |
Deren Lösung ist
(6.282) |
aus
(6.283) |
bekommt man
(6.284) |
Mit
(6.285) |
kann man alle Funktionen konstruieren
(6.286) | ||||||
(6.287) | ||||||
(6.288) | ||||||
(6.289) | ||||||
(6.290) | ||||||
(6.291) |
Plots dieser Wellenfunktionen finden Sie im Anhang A.1.
(6.292) |
Wir verwenden
(6.293) |
und Multiplizieren die Gleichung mit
(6.294) |
wir setzen
(6.295) |
(6.296) |
(6.297) |
Wir betrachten den Grenzfall: und verwenden den Ansatz . Für die Ableitungen gilt
(6.298) |
oder mit
(6.299) |
Im Grenzfall gilt
Wir erhalten in diesem Grenzfall
(6.300) |
Für die beiden Fälle und die folgenden Lösungen:
, d.h. |
|
|||||||||
, d.h. |
|
(6.305) |
Variablentransformation
(6.306) |
(6.307) |
(6.308) |
mit
wird
0 | ||
0 | ||
mit
(6.309) |
Exponentialansatz
(6.310) |
wir spalten ab.
Rekursionsansatz
(6.311) |
einsetzen ergibt
niedrigster Exponent ist , also
(6.312) |
und damit
Lösungen
Durch Berechnung der höheren Potenzen erhält man
(6.313) |
mit
(6.314) |
wobei durch ersetzt wurde, da von abhängt.
2 Lösungstypen:
Mit folgt
Wir berechnen die ersten und setzen ;
0 | 0 | 0 | 0 | |||||||
0 | 0 | 0 | 0 | |||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dabei ist
: Hauptquantenzahl
: Drehimpulsquantenzahl
Die dazugehörige nicht normierte Funktion lautet also
(6.315) |
0 | ||
0 | ||
0 | ||
2 | ||
0 | ||
Also ist
0 | ||
0 | ||
0 | ||
2 | ||
0 | ||
und schliesslich mit
0 | ||
0 | ||
0 | ||
2 | ||
0 | ||
wobei
ist. Der Energieeigenwert ist weiter
(6.316) |
so dass
und
(6.317) |
ist.
Der Bohrsche Radius wird aus
berechnet
(6.318) |
Die normierten Funktionen sind also
0 | ||
0 | ||
0 | ||
2 | ||
0 | ||
Bei Hyperphysics gibt es eine schöne Darstellung dieser Funktionen. Eine Skizze dieser Wellenfunktionen findet sich auch im Anhang A.2.
(6.319) |
inverser Radius | (6.320) |
(6.321) |
(6.322) |
also ist
(6.323) |
Die Wellenfunktion ist dann
wobei
der Bohr-Radius | (6.325) | |
(6.326) |
Also lauten die Wasserstofforbitale[AW95]
Versuch zur Vorlesung: Orbitalmodelle: Stehende Wellen auf runder Wasseroberfläche (Versuchskarte AT-60) |
Versuch zur Vorlesung: Orbital-Modelle: Styropormodelle von Ladungswolken (Versuchskarte AT-61) |
Die folgende Ausarbeitung folgt der Behandlung von Gordon Baym[Bay69, 66]. Eine analoge Darstellung findet sich im Buch von landau und Lifschitz [LL79, 46]
Seien und normierte Wellenfunktionen.
Behauptung:
Beweis:
Sei
für |
Dann ist
0 | ||
oder | ||
(6.328) |
Gleichheit gilt also nur wenn
Wir wählen das beliebige so, dass
und setzen in Gleichung (6.131) ein
Bei nicht normierten Funktionen verwendet man
und |
Aus Gleichung (6.130) bekommt man
Aus Gleichung (6.131) erhält man
und damit
Wir erhalten für die Wellenfunktion für die Standardabweichungen
(6.331) | ||
(6.332) |
wobei für die Erwartungswerte wie üblich gilt:
Wir nehmen an, dass das zu untersuchende Teilchen die Wellenfunktion hat. Wir definieren
(6.333) | ||
(6.334) |
Dann ist
(6.335) | |||
(6.336) |
Aus Gleichung (6.133) erhält man mit
Unter der Annahme dass und , was sich immer durch eine Galilei-Transformation erreichen lässt.
Wir haben bei der Berechnung nichts über die Operatoren und angenommen, so dass auch für allgemeine Operatoren und , bei denen man über eine Transformation und erreichen kann, für die Unbestimmtheitsrelation gilt
|
Nach Landau und Lifschitz [LL79, 46] folgt aus
(6.338) |
wobei und beliebige Operatoren zu den klassischen Grössen und sind und bei der der Operator zur klassischen Grösse (der Poisson-Klammer) ist, dass im klassischen Grenzfall alle Operatoren vertauschbar sind. In zweiter Näherung kann der Operator als Multiplikation mit auffassen, so dass
(6.339) |
und in Analogie zu den Impulsen
(6.340) |
3 Quantenzahlen
0 | ||
Diese drei Quantenzahlen beschreiben den atomaren Zustand
Rydberg-Gesetz: nur ist wichtig
alle - und -Zustände haben die gleiche Energie
Entartung
Fragen: in welcher Reihenfolge werden die Zustände besetzt?
- Wird die Entartung aufgehoben?
- Grund für die Entartung
- Kepler-Gesetze beschreiben geschlossene Planetenbahnen, wenn das Potential sich wie verhält.
Abweichungen vom -Gesetz bedeutet Perihel-Drehung.
Sommerfeld-Bild
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Modell eines Atoms mit einem Leuchtelektron
Atom mit einem Leuchtelektron
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für gilt unabhängig vom inneren Aufbau
für muss
Coulombpotential und effektives Potential
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Innen ist das auf einer anderen Bahn als aussen
andere Energie: Energieentartung aufgehoben.
Grotrian-Diagramm
Grotrian-Diagramm für Litium
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grosse Buchstaben: bezieht sich auf das gesamte System
kleine Buchstaben: bezieht sich auf ein Elektron
Für die Energien gilt:
Hauptserie
Nebenserien
Elektronenkonfiguration Argon-Konfiguration
Beispiel: K-Atom +1
Argon oder
ist der nächste Zustand ein oder
-Elektronen sind näher am Kern als -Elektronen
Abschirmung?
kommt zeitweise näher an Kern (unabgeschirmt)
Zustand ist niedriger als
Radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms
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