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Unterabschnitte


Das Wasserstoffatom

Als Literatur ist für dieses Kapitel insbesondere die Werke von Haken und Wolf[HW04], von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen.

Drehimpulsoperatoren

Klassisch ist der Drehimpuls durch

$\displaystyle \overrightarrow{l} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$ (6.211)

oder in Komponenten

$\displaystyle \begin{pmatrix}l_x  l_y  l_z  \end{pmatrix} = \begin{pmatri...
...\begin{pmatrix}y p_z-z p_y  z p_x-x p_z  x p_y-y p_x  \end{pmatrix}$    

Wir ersetzen nun

$\displaystyle p_x$ $\displaystyle \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$    
$\displaystyle p_y$ $\displaystyle \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial y}$    
$\displaystyle p_z$ $\displaystyle \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z}$    

und erhalten für die Drehimpulsoperatoren

$\displaystyle \hat{\ell}_x$ $\displaystyle = \frac{\hbar}{i}\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)$ (6.212)
$\displaystyle \hat{\ell}_y$ $\displaystyle = \frac{\hbar}{i}\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)$ (6.213)
$\displaystyle \hat{\ell}_z$ $\displaystyle = \frac{\hbar}{i}\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)$ (6.214)

Das Quadrat des Drehimpulses ist

\begin{displaymath}\begin{split}\hat{\ell}^2 =& \hat{\ell}_x^2+\hat{\ell}_y^2+\h...
...ht) +2 z{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}  \end{split}\end{displaymath} (6.215)

Für Vertauschungsrelationen schreiben wir

$\displaystyle \left[\Omega^{(1)};\Omega^{(2)}\right] = \Omega^{(1)}\Omega^{(2)}-\Omega^{(2)}\Omega^{(1)}$ (6.216)

Eine Möglichkeit diese Operatoren in Maple V zu definieren zeigt qm-defs.mws.

Wir erhalten nun die Vertauschungsrelationen

$\displaystyle \left[\hat{\ell}_x; \hat{\ell}_y\right]$ $\displaystyle = i\hbar \hat{\ell}_z$ (6.217)
$\displaystyle \left[\hat{\ell}_y; \hat{\ell}_z\right]$ $\displaystyle = i\hbar \hat{\ell}_x$ (6.218)
$\displaystyle \left[\hat{\ell}_z; \hat{\ell}_x\right]$ $\displaystyle = i\hbar \hat{\ell}_y$ (6.219)
$\displaystyle \left[\hat{\ell}^2; \hat{\ell}_j\right]$ $\displaystyle = 0$   für$\displaystyle \qquad j=x,y,z$ (6.220)

Das elektrostatische Potential des Wasserstoffatoms für ein Elektron ist kugelsymmetrisch. Wir verwenden deshalb Kugelkoordinaten.





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{kugelkoord}
Definition der Kugelkoordinaten.




Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten[BSMM00] ist

$\displaystyle \Delta$ $\displaystyle = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\par...
...^2}{\partial\theta^2}+ \frac{1}{r^2}\cot^2\theta\frac{\partial}{\partial\theta}$ (6.221)
  $\displaystyle = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\parti...
...\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)$    

In Kugelkoordinaten sind

$\displaystyle \hat{\ell}_x$ $\displaystyle = -\frac{\hbar}{i}\left(\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$ (6.222)
$\displaystyle \hat{\ell}_y$ $\displaystyle = \frac{\hbar}{i}\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$ (6.223)
$\displaystyle \hat{\ell}_z$ $\displaystyle = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\phi}$ (6.224)
$\displaystyle \hat{\ell}^2$ $\displaystyle = -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial ...
...l}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right]$ (6.225)

Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist

$\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2m_0}\Delta +V(r)\right]\Psi=E\Psi$ (6.226)

wobei $ V(r)$ ein allgemeines, kugelsymmetrisches Potential ist.

Mit der Schreibweise von $ \hat{\ell}^2$ in Kugelkoordinaten (Gleichung (6.26) ) und Gleichung (6.22) ist auch

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m_0}\Delta = -\frac{\hbar^2}{2m_0} \frac{1}{r^2...
...al r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{2m_0 r^2}\hat{\ell}^2$    

Wir beachten, dass Ableitungen nach einer Variablen $ \xi$ mit Funktionen vertauschen, die nicht von $ \xi$ abhängig sind und setzen

$\displaystyle \Psi(r;\phi;\theta) = R(r)Y(\theta;\phi)$ (6.227)

sowie

$\displaystyle H\Psi(r;\phi;\theta) =$ $\displaystyle Y(\theta;\phi)\left[-\frac{\hbar^2}{2m_0} \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+V(r)\right]R(r)$ (6.228)
  $\displaystyle +\frac{R(r)}{2m_0 r^2} \hat{\ell}^2Y(\theta;\phi)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle E R(r) Y(\theta;\phi)$    

Da $ \left[\hat{\ell}^2;\hat{\ell}_z\right]=0$ ist, können die sowohl die Eigenwerte von $ \hat{\ell}^2$ wie auch von $ \hat{\ell}_z$ gleichzeitig scharf gemessen werden. Mit anderen Worten, die resultierende Wellenfunktion kann als Produkt zweier Funktionen geschrieben werden.

Also muss man

$\displaystyle \hat{\ell}^2 Y(\theta;\phi)$ $\displaystyle = \hbar^2\omega  Y(\theta;\phi)$ (6.229)
$\displaystyle \hat{\ell}_z Y(\theta;\phi)$ $\displaystyle = \hbar m   Y(\theta;\phi)$ (6.230)

Eine Mapledatei zum Berechnen der Orbitale ist hydrogen.mws. Das Original (für eine nicht aktuelle Maple-Version ist
http://www.chemie.uni-konstanz.de/agmetz/hydrogen.mws.

Unter der Annahme, dass $ \omega$ bekannt ist, wird die Gleichung für den Radialteil

$\displaystyle \left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\p...
...{\hbar^{2}\omega}{2m_{0}r^{2}}\right] R\left( r\right) =E\cdot R\left( r\right)$ (6.231)

nach Arfken und Weber[AW95, 736] schreibt man

$\displaystyle Y\left( \theta,\phi\right) =\Theta\left( \theta\right) \cdot\Phi\left( \phi\right)$ (6.232)

Aus

$\displaystyle \hat{\ell}_{z}Y\left( \theta,\phi\right)$ $\displaystyle =\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial\phi}y\left( \theta,\phi\right)$    
  $\displaystyle =\hbar mY\left( \theta ,\phi\right)$ (6.233)
$\displaystyle \hat{\ell}_{z}\left( \hat{\ell}_{z}Y\left( \theta,\phi\right) \right)$ $\displaystyle =-\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}Y\left( \theta,\phi\right)$    
  $\displaystyle =\hat{\ell} _{z}\left(\hbar mY\left( \theta,\phi\right)\right)$    
  $\displaystyle =\hbar m\hat{\ell}_{z}Y\left( \theta,\phi\right)$    
  $\displaystyle =\hbar^{2}m^{2}Y\left( \theta,\phi\right)$ (6.234)

berechnet man für den azimutalen Anteil:

$\displaystyle \frac{d^{2}\Phi\left( \phi\right) }{d\phi^{2}}=-m^{2}\Phi\left( \phi\right)$ (6.235)

Die Lösung der Gleichung ist

$\displaystyle \Phi\left( \phi\right) =\left\{ \begin{array}{l} e^{-im\phi}  e^{im\phi}   \end{array} \right.$ (6.236)

Dies sind orthogonale Funktionen, da

$\displaystyle \int\Phi_{m_{1}}^{\ast}\left( \phi\right) \Phi_{m_{2}}\left( \phi...
...int\limits_0^{2\pi} e^{im_{1}\phi}e^{im_{2}\phi}d\phi=2\pi \delta_{m_{1},m_{2}}$ (6.237)

Damit $ \Phi^{\ast}\Phi$, die Observable, eindeutig bestimmt ist auf den Intervall $ \left[ 0..2\pi\right) $ muss $ m$ ganzzahlig sein.

Für $ \theta$ bekommt man

$\displaystyle \hat{\ell}^{2}Y\left( \theta,\phi\right)$ $\displaystyle =\hbar^{2}\omega Y\left( \theta,\phi\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}+\hat{\ell}_{z} ^{2}\right) Y\left( \theta,\phi\right)$ (6.238)
  $\displaystyle \hbar^{2}m^{2}Y\left( \theta,\phi\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \hat{\ell}_{z}^{2}Y\left( \theta,\phi\right)$ (6.239)

Subtrahieren ergibt

$\displaystyle \hbar^{2}\left( \omega_{l}-m^{2}\right) Y\left( \theta,\phi\right) =\left( \hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}\right) Y\left( \theta,\phi\right)$ (6.240)

Bezeichnungswechsel

$\displaystyle Y\left( \theta,\phi\right) \rightarrow Y_{l\text{,} m}$ (6.241)

Um eine Beziehung zwischen $ \omega$ und $ m$ zu bekommen multiplizieren wir von links mit $ Y^\ast(\theta,\phi)$

$\displaystyle Y_{l\text{,} m}^{\ast}\left( \omega_{e}-m^{2}\right) Y_{l\text{,...
...}^{2}Y_{l\text{,} m}+Y_{l\text{,} m}^{\ast}\hat{\ell}_{y}^{2}Y_{l\text{,} m}$ (6.242)

Nach Haken, Wolf[HW04] ergibt das Integral über $ \theta$ und $ \phi$, dass

$\displaystyle \omega_{l}-m^{2}\geq 0$ (6.243)

sein muss.

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Mit

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=\left( a+ib\right) \left( a-ib\right)$ (6.244)

kann man die Operatoren

$\displaystyle \hat{\ell}_{+}$ $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}+i\hat{\ell}_{y}$ (6.245)
$\displaystyle \hat{\ell}_{-}$ $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}-i\hat{\ell}_{y}$ (6.246)

definieren.

Es ist

$\displaystyle \hat{\ell}_{+}\hat{\ell}_{-}=\hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}$ (6.247)

es gilt

$\displaystyle \left[ \hat{\ell}^{2}\hat{\ell}_±\right]$ $\displaystyle = 0$ (6.248)
$\displaystyle \left[ \hat{\ell}_{z}\hat{\ell}_±\right]$ $\displaystyle =\left[ \hat{\ell}_{z}\hat{\ell} _{x}\right] \pm\left[ \hat{\ell}...
...l}_{x}\right) =i\hbar\hat{\ell}_{y}\pm\hbar\hat{\ell}_{x} =\pm\hbar\hat{\ell}_±$    
$\displaystyle \left[ \hat{\ell}_{z}\hat{\ell}_±\right]$ $\displaystyle =\pm\hbar\hat{\ell}_±$ (6.249)

Wir setzen $ \hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}$ ein

$\displaystyle \hat{\ell}_±\left( \hat{\ell}^{2}Y_{l\text{,} m}\right) =\hat{\ell}_±\hbar\omega ^{2}Y_{l\text{,} m}$ (6.250)

$ \hat{\ell}_\pm \hat{\ell}^2$ sind vertauschbar

$\displaystyle \hat{\ell}^{2}\left( \hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}\right) =\hbar\omega^{2}\left(\hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}\right)$ (6.251)

d.h. wenn $ Y_{l\text{,} m}$ eine Eigenfunktion ist, dann ist auch $ \hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}$ eine Eigenfunktion

Aus der Azimutalgleichung erhalten wir

$\displaystyle \hat{\ell}_±\left( \hat{\ell}_{z}Y_{l\text{,} m}\right) =\hat{\ell}_±\hbar mY_{l\text{,} m}$ (6.252)

und

$\displaystyle \left[ \hat{\ell}_±,\hat{\ell}_{z}\right]$ $\displaystyle =-\left[ \hat{\ell}_{z}\hat {I}_±\right] =\mp\hbar\hat{\ell}_±=\hat{\ell}_±\hat{\ell}_{z}-\hat{\ell} _{z}\hat{\ell}_±$ (6.253)
$\displaystyle \hat{\ell}_±\hat{\ell}_{z}$ $\displaystyle =\hat{\ell}_{z}\hat{\ell}_±\mp\hbar\hat{\ell}_±$ (6.254)

also

$\displaystyle \hat{\ell}_±\hat{\ell}_{z}Y_{l\text{,} m}=\hat{\ell}_{z}\hat{\el...
...,} m}\mp\hbar\hat {\ell}_±Y_{l\text{,} m}=\hbar m\hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}$ (6.255)

$\displaystyle \hat{\ell}_{z}\hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}=\pm\hbar\hat{\ell}_±Y_...
...\hbar m\hat {\ell}_±Y_{l}=\hbar\left( m\pm1\right) \hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}$ (6.256)

Damit ist auch $ \hat{\ell}_±Y_{e,m}$ eine Eigenfunktion zur Azimutalgleichung, aber mit anderem Eigenwert.

$\displaystyle \hat{\ell}_±Y_{l\text{,} m}=K\cdot Y_{l,m\pm1}$ (6.257)

wobei $K$ die Normierungskonstante ist.

Die folgende Relation gilt

$\displaystyle \hat{\ell}_±\hat{\ell}_{\pm }$ $\displaystyle =\left( \hat{\ell}_{x}\mp i\hat{\ell}_{y}\right) \left( \hat{\ell}_{x}\pm i\hat{\ell}_{y}\right)$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell} _{y}^{2}\pm i\hat{\ell}_{x}\hat{\ell}_{y}\mp i\hat{\ell}_{y}\hat{\ell}_{x}$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}\pm\left(\hat{\ell}_{x}\hat{\ell}_{y}-\hat{\ell}_{y}\hat{\ell}_{x}\right)$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}\pm i\left( i\hbar\hat{\ell}_{z}\right)$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}_{x}^{2}+\hat{\ell}_{y}^{2}\mp\hbar\hat{\ell}_{z}$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}^{2}-\hat{\ell}_{z}^{2}\mp\hbar\hat{\ell}_{z}$    
  $\displaystyle =\hat{\ell}^{2}-\hat{\ell} _{z}\left( \hat{\ell}_{z}\pm\hbar\right)$ (6.258)

Da $ \omega_{e}-m^{2}\geq0$ sein muss, gilt auch

$\displaystyle \hat{\ell}_{+}Y_{l,m_{\max}}$ $\displaystyle = 0$ (6.259)
$\displaystyle \hat{\ell}_{-}Y_{l,m_{\min}}$ $\displaystyle = 0$ (6.260)
$\displaystyle \hat{\ell}_{-}\hat{\ell}_{+}Y_{l,m_{\max}}$ $\displaystyle = 0$ (6.261)
  $\displaystyle =\hat{\ell}^{2}Y_{l,m_{\max}}-\hat{\ell}_{z}\left( \hat{\ell}_{z}+\hbar\right) Y_{l,m_{\max}}$    
  $\displaystyle =\hbar^{2}\omega_{l}Y_{l,m_{\max}}-\hat{\ell}_{z}\left( \hbar m_{\max} +\hbar\right) Y_{l,m_{\max}}$    
  $\displaystyle =\hbar^{2}\omega_{l}Y_{l,m_{\max}}-\hbar m_{\max }\left( \hbar m_{\max}+\hbar\right) Y_{l,m_{\max}}$    
  $\displaystyle =\hbar^{2}\left( \omega_{l}-m_{\max}^{2}-m_{\max}\right) Y_{l,m_{\max}}$    

da

$\displaystyle Y_{l,m_{\max}}\neq 0\Longrightarrow\omega_{l}-m_{\max}^{2}-m_{\max}=0$ (6.262)

Aus

$\displaystyle \hat{\ell}_{+}\hat{\ell}_{-}Y_{l,m_{\min}} =0=\hbar^{2}\left( \omega_{l} -m_{\min}^{2}+m_{\min}\right) =0$ (6.263)

folgt

$\displaystyle \omega_{l}-m_{\min}^{2}+m_{\min} =0$ (6.264)

Nach $ \omega_{e}$ aufgelöst

$\displaystyle \omega_{e}$ $\displaystyle =m_{\max}\left( m_{\max}+1\right) =m_{\min}\left( m_{\min }-1\right)$ (6.265)
$\displaystyle m_{\max}^{2}-m_{\min}^{2}$ $\displaystyle =-m_{\min}-m_{\max}=\left( m_{\max}-m_{\min }\right) \left( m_{\max}+m_{\min}\right)$ (6.266)
0 $\displaystyle =\left( m_{\max}+m_{\min}\right) \left( m_{\max}-m_{\min}+1\right)$ (6.267)

Da $ m_{\max}\geq m_{\min}$ ist, folgt $ m_{\max}+m_{\min}=0$

$\displaystyle m_{\max}=\frac{\text{ganze Zahl}}{2}\geq0$ (6.268)

Da die Funktion eindeutig sein muss, muss $ m_{max}$ eine ganze Zahl sein.

Wir definieren: $ m_{max}=l$

$\displaystyle l\geq m\geq-l$ (6.269)

mit

$\displaystyle m_{\max}\left( m_{\max}+1\right)$ $\displaystyle =l\left( l+1\right) =\omega_{l}$ (6.270)
$\displaystyle m_{\min}\left( m_{\min}-1\right)$ $\displaystyle =-l\left( -l-1\right) =\omega_{l}$ (6.271)


also ist

$\displaystyle \hat{\ell}^{2}Y_{l\text{,} m}$ $\displaystyle =\hbar^{2}l\left( l+1\right) Y_{l\text{,} m}$ (6.272)
$\displaystyle \hat{\ell}_{z}Y_{l\text{,} m}$ $\displaystyle =\hbar mY_{l\text{,} m}$ (6.273)

und

$\displaystyle Y_{l,m+1}=\hat{\ell}_{+}NY_{l\text{,} m}$ (6.274)

mit der Normierung

$\displaystyle N=\frac{1}{\hbar}\frac{1}{\sqrt{\left( l-m\right) \left( l+m+1\right) }}$ (6.275)

Wir wissen schon, dass

$\displaystyle Y_{l\text{,} m}=e^{im\phi}\Phi_{l\text{,} m}\left( \theta\right)$ (6.276)

es ist

$\displaystyle \Theta_{l\text{,} m}\left( \theta\right) =P_{l}^{m}\left( \cos\theta\right)$ (6.277)

Wir wollen

$\displaystyle \hat{\ell}_{-}Y_{l,-l}$ $\displaystyle = 0$ (6.278)

berechnen. Dazu benötigen wir

$\displaystyle \hat{\ell}_±=\hat{\ell}_{x}\pm i\hat{\ell}_{y}$ $\displaystyle =-\frac{\hbar}{i}\left( \sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\...
...artial}{\partial \theta}-\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( i\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}+i\cot\theta\c...
...tial}{\partial\theta} \mp\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \left( i\sin\phi\pm\cos\phi\right) \frac{\partial} {...
...t\theta\left( \sin\phi\mp i\cos\phi\right) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \left( i\sin\phi\pm\cos\phi\right) \frac{\partial} {...
...\left( -i\sin \phi\pm i^{2}\cos\phi\right) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \left( i\sin\phi\pm\cos\phi\right) \frac{\partial} {...
...t\theta\left( \mp\cos\phi-i\sin\phi\right) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \left( i\sin\phi\pm\cos\phi\right) \frac{\partial} {...
...t\theta\left( \pm\cos\phi+i\sin\phi\right) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \pm\cos\phi+i\sin\phi\right) \left[ \frac{\partial }{\partial\theta}\pm i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right]$    
  $\displaystyle =\hbar\left( \pm\frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}+\frac{i\left( e^{i...
...ac{\partial}{\partial\theta}\pm i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right]$    
  $\displaystyle =\pm\hbar e^{\pm i\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\theta}\pm i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right]$    

Wir setzen in die beiden Relationen für $ \hat{\ell}_-$ und $ \hat{\ell}_+$ die Funktion $ Y_{l\text{,} m} =
e^{im\phi}\Theta_l(\theta)$ ein und erhalten

$\displaystyle \hat{\ell}_+$ $\displaystyle = \hbar e^{i\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\theta}-m\cot\theta \frac{\partial}{\partial\phi}\right]$ (6.279)
$\displaystyle \hat{\ell}_-$ $\displaystyle = -\hbar e^{-i\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\theta}+ m\cot\theta \frac{\partial}{\partial\phi}\right]$ (6.280)

Für $ m=-l$ wird $ \hat{\ell}_- Y_{l,-l}$

0 $\displaystyle =\hat{\ell}_{-}Y_{e,-e}=\hat{\ell}_{-}e^{-il\phi}\Theta_{e}\left( \theta\right) =$    
  $\displaystyle =-\hbar e^{-i\phi}e^{-il\phi}\left[ \frac{\hbar\Theta e}{\hbar\theta} -i\cot\theta\left( -il\right) \Theta_{e}\right]$    
  $\displaystyle =-\hbar e^{-i\phi}e^{-il\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\theta} -l\cot\theta\right] \Theta_{l}$    

also bekommen wir die Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{\partial\Theta_{l,-l}}{\partial\theta}=l\cot\theta\;\Theta_{l,-l}$ (6.281)

Deren Lösung ist

$\displaystyle \Theta_{l,-l}\left( \theta\right) =C\cdot\sin^{l}\left( \theta\right)$ (6.282)

aus

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\left\vert Y_{l\text{,...
...ts_{0}^{\pi} Y^*_{l\text{,} m} Y_{l\text{,} m}\sin\theta  d\theta  d\phi=1$ (6.283)

bekommt man

$\displaystyle C=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\frac{\sqrt{\left( 2l+1\right) !}}{l!2^{l}}$ (6.284)

Mit

$\displaystyle \hat{\ell}_{+}Y_{l\text{,} m}=\hbar e^{i\phi}\left[ \frac{\partial}{\partial\theta }-m\cot\theta\right] Y_{l\text{,} m}$ (6.285)

kann man alle Funktionen konstruieren

$\displaystyle l$ $\displaystyle = 0$ $\displaystyle m$ $\displaystyle = 0$ $\displaystyle Y_{0,0}$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$ (6.286)
$\displaystyle l$ $\displaystyle =1$ $\displaystyle m$ $\displaystyle = 0$ $\displaystyle Y_{1,0}$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cdot\frac {z}{r}$ (6.287)
$\displaystyle l$ $\displaystyle =1$ $\displaystyle m$ $\displaystyle = \pm 1$ $\displaystyle Y_{1,\pm1}$ $\displaystyle =\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{±i\phi}=\mp\sqrt{\frac {3}{8\pi}}\frac{x\pm iy}{r}$ (6.288)
$\displaystyle l$ $\displaystyle =2$ $\displaystyle m$ $\displaystyle = 0$ $\displaystyle Y_{2,0}$ $\displaystyle =\sqrt{\frac{5}{4\pi}}\left( \frac{3}{2}\cos^{2}\theta-\frac{1} {2}\right) =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4\pi}}\frac{2z^{2}-x^{2}-y^{2}}{r^{2} }$ (6.289)
$\displaystyle l$ $\displaystyle =2$ $\displaystyle m$ $\displaystyle = \pm 1$ $\displaystyle Y_{2,\pm1}$ $\displaystyle =\mp\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin\theta\cos\theta e^{\pm i\phi }=\mp\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\frac{\left( x\pm iy\right) z}{r^{2} }$ (6.290)
$\displaystyle l$ $\displaystyle =2$ $\displaystyle m$ $\displaystyle =\pm 2$ $\displaystyle Y_{2,\pm2}$ $\displaystyle =\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\sin^{2}\theta e^{\pm 2i\phi}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\left( \frac{x\pm iy}{r}\right) ^{2}$ (6.291)

Plots dieser Wellenfunktionen finden Sie im Anhang A.1.

Radialteil der Wellenfunktion

$\displaystyle \left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left(...
...m_{0}r^{2} }+V\left( v\right) \right] R\left( r\right) =E\cdot R\left( r\right)$ (6.292)

Wir verwenden

$\displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left( r^{2}\frac{d}{dr}\right) =\frac{d^{2} }{dr^{2}}+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}$ (6.293)

und Multiplizieren die Gleichung mit $ \frac{2m_{0}}{\hbar^{2}}$

$\displaystyle -\frac{d^{2R}}{dr^{2}}-\frac{2}{r}\frac{dR}{dr}+\frac{l\left( l+1...
... }{r^{2}}+\frac{2m_{0}V\left( v\right) }{\hbar^{2}}=\frac{2Em_{0}}{\hbar^{2} }R$ (6.294)

wir setzen

$\displaystyle A=\frac{2Em_{0}}{\hbar^{2}}=\left\{ \begin{array}{ll} +k^{2}, & \hbox{für $E>0$;} \  -\kappa^2, & \hbox{für $E<0$.} \  \end{array} \right.$ (6.295)

$\displaystyle \widetilde{V}\left( r\right) =\frac{2m_{0}}{\hbar^{2}}V\left( r\right)$ (6.296)

$\displaystyle \frac{d^{2}R}{dr^{2}}+\frac{2}{r}\frac{dR}{dr}+\left[ A-\widetilde{V}\left( r\right) -\frac{l\left( l+1\right) }{r^{2}}\right] R=0$ (6.297)

Wir betrachten den Grenzfall: $ r\longrightarrow\infty$ und verwenden den Ansatz $ R=\frac{u\left( r\right) }{r}$. Für die Ableitungen gilt

$\displaystyle \frac{d^{2}}{dr^{2}}\frac{u\left( r\right) }{r}$ $\displaystyle =\frac{d}{dr}\left( \frac{1}{r}\frac{du}{dr}-u\left( r\right) \frac{1}{r^{2}}\right)$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{r^{2}}\frac{du}{dr}+\frac{1}{r}\frac{d^{2}u}{dr^{2}}-\frac {du}{dr}\frac{1}{r^{2}}+2u\left( r\right) \frac{1}{r^{3}}$    
$\displaystyle \frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left( \frac{u}{r}\right)$ $\displaystyle =\frac{2}{r}\frac{1} {r}\frac{du}{dr}-u\frac{2}{r^{3}}$    
$\displaystyle \frac{d^{2}}{dr^{2}}\left( \frac{u}{r}\right) +\frac{2}{r}\frac{d} {dr}\left( \frac{u}{r}\right)$ $\displaystyle =\frac{1}{r}\frac{d^{2}u}{dr^{2}}$    

Wir erhalten also

$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{d^{2}u}{dr^{2}}+\left[ A-\widetilde{V}\left( r\right) -\frac{l\left( l+1\right) }{r^{2}}\right] \frac{u}{r}$ $\displaystyle = 0$ (6.298)

oder mit $ r\neq0$

$\displaystyle \frac{d^{2}u}{dr^{2}}+\left[ A-\widetilde{V}\left( r\right) -\frac{l\left( l+1\right) }{r^{2}}\right] u=0$ (6.299)

Im Grenzfall $ r=\infty$ gilt

$\displaystyle \lim\limits_{r\rightarrow\infty} \widetilde{V}$ $\displaystyle = 0$    
$\displaystyle \lim\limits_{r\rightarrow\infty} \frac{l\left( l+1\right) }{r^{2}}$ $\displaystyle = 0$    

Wir erhalten in diesem Grenzfall

$\displaystyle \frac{d^{2}u}{dr^{2}}+Ar$ $\displaystyle = 0$ (6.300)

Für die beiden Fälle $ E>0$ und $ E<0$ die folgenden Lösungen:

$ E>0$, d.h. $ A>0$

$\displaystyle u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle C_{1}e^{ikr}+C_{2}e^{-ikr}$ (6.301)
$\displaystyle R$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{r}\left( C_{1}e^{ikr}+e^{-ikr}\right)$ (6.302)

$\Longrightarrow$Kugelwellen $ \left( e^{i\omega t}\right) $ gehört dazu!
$ E<0$, d.h. $ A<0$

$\displaystyle u =C_{1}e^{\kappa r}+C_{2}e^{-\kappa r}$ (6.303)

Da die Lösung für $ r\rightarrow\infty$ gegen Null gehen muss, muss $ c_1=0$ sein

$\displaystyle R=\frac{C_{2}}{r}e^{-\kappa r}$ (6.304)

Radialfunktion für $H$

$\displaystyle V=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}$ (6.305)

Variablentransformation

$\displaystyle \rho=2\kappa r$ (6.306)

mit

$\displaystyle \kappa=\sqrt{-\frac{2m_{0}E}{\hbar^{2}}}$ (6.307)

$\displaystyle R\left( r\right) =\widetilde{R}\left( 2\kappa r\right) =\widetilde{R}\left( \rho\right)$ (6.308)

mit

$\displaystyle \frac{dR}{dr}$ $\displaystyle =\frac{d\widetilde{R}}{d\rho}\cdot\frac{d\rho}{dr} =\frac{d\widetilde{R}}{d\rho}\cdot2\kappa$    
$\displaystyle \frac{d^{2}R}{dr^{2}}$ $\displaystyle =\frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho}4\kappa^{2}$    

wird

0 $\displaystyle =\frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho^{2}}4\kappa^{2}+\frac{4\kappa}{\...
...2} 4\pi\epsilon_{0}\rho}-\frac{l\left( l+1\right) 4\kappa^{2}}{\rho^{2}}\right]$    
0 $\displaystyle = \frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho^{2}}+\frac{2}{\rho}\frac{d\wide...
...r^{2} 4\pi\epsilon_{0}2\kappa \rho}-\frac{l\left( l+1\right) }{\rho^{2}}\right]$    
  $\displaystyle =\frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho^{2}}+\frac{2}{\rho}\frac{d\widet...
...frac{B}{\kappa\rho}-\frac{l\left( l+1\right) }{\rho^{2}}\right]\widetilde{R} =0$    

mit

$\displaystyle B=\frac{Ze^{2}m_{0}}{4\pi\hbar^{2}\epsilon_{0}}$ (6.309)

Exponentialansatz

$\displaystyle \widetilde{R}=e^{-\rho/2}v\left( \rho\right)$ (6.310)

$\displaystyle \frac{d\widetilde{R}}{d\rho}$ $\displaystyle =\frac{d}{d\rho}\left( e^{-\rho/2 } v \right)$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{2}e^{-\rho/2} v +e^{-\rho/2}\frac{d v }{d\rho}$    
$\displaystyle \frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho^{2}}$ $\displaystyle =\frac{d}{d\rho}\left( e^{\frac {-\rho}{2}}\left( -\frac{ v }{2}+\frac{d v }{d\rho}\right) \right)$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{2}e^{-\rho/2}\left( -\frac{ v }{2}+\frac{d v }{d\rho }...
...\rho/2}\left( -\frac{1}{2}\frac{d v }{d\rho}+\frac {d^{2} v }{d\rho^{2}}\right)$    
$\displaystyle \frac{d^{2}\widetilde{R}}{d\rho^{2}}+\frac{2}{\rho}\frac{d\widetilde{R}}{d\rho}$ $\displaystyle =e^{-\rho/2}\left[ \frac{ v }{4}-\frac{1}{2}\frac{d v }{d\rho}-\f...
...{d^{2} v }{d\rho^{2}}-\frac{ v }{\rho}+\frac{2}{\rho }\frac{d v }{d\rho}\right]$    
  $\displaystyle =e^{-\rho/2}\left[ \frac{ v }{4}-\frac{ v }{\rho}+\frac{d v }{d\rho }\left( \frac{2}{\rho}-1\right) +\frac{d^{2} v }{d\rho_{2}}\right]$    
  $\displaystyle =\frac{e^{-\rho/2}}{4\rho}\left[ v \left( \rho-4\right) +\frac{d v }{d\rho}\left( -4\rho+8\right) +4\rho\frac{d^{2} v }{d\rho^{2}}\right]$    

wir spalten $ e^{-\rho/2}$ab.

$\displaystyle \frac{d^{2}v}{d\rho^{2}}+\left( \frac{2}{\rho}-1\right) \frac{dv}...
...rho}-\frac{1}{4}+\frac{B}{k\rho} -\frac{l\left( l+1\right) }{\rho^{2}}\right] v$ $\displaystyle = 0$    
$\displaystyle \frac{d^{2}v}{d\rho^{2}}+\left( \frac{2}{\rho}-1\right) \frac{dv}...
...}{\rho}\left( \frac{B}{K}-1\right) -\frac{l\left( l+1\right) }{\rho^{2}}\right]$ $\displaystyle = 0$    

Rekursionsansatz

$\displaystyle v=\rho^{\mu}\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\alpha_{\nu}\rho^{\nu }=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\alpha_{\nu}\rho^{\left( \nu +\mu\right) }$ (6.311)

mit $ \alpha_{0}\neq 0$

einsetzen ergibt

$\displaystyle \sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\left( \nu+\mu\right) \left( \nu+\mu-...
... \sum\limits_{\nu=0}^{\infty}\left( \nu+\mu\right) \alpha_{\nu}\rho^{\nu+\mu-1}$    
$\displaystyle +\left[ \left( \frac{B}{k}-1\right) \frac{1}{\rho}+\frac{l\left( ...
...ght) }{\rho^{2}}\right] \sum\limits_{\nu=0}^{\infty} \alpha_{\nu}\rho^{\nu+\mu}$ $\displaystyle = 0$    

niedrigster Exponent ist $ \nu=0$, also $ \mu-2$


$\displaystyle \mu\left( \mu-1\right) \alpha_{0}\rho^{\mu-2}+2\mu\rho^{\mu -2}{\alpha_{0}}-l\left( l+1\right) \alpha_{0}\rho^{\mu-2}=0$ (6.312)

und damit

$\displaystyle \mu\left( \mu-1\right) +2\mu-l\left( l+1\right)$ $\displaystyle =$    
$\displaystyle \mu\left( \mu+1\right) -l\left( l+1\right)$ $\displaystyle = 0$    

Lösungen

$\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{ll} l, & \hbox{brauchbare Lösung;} \  -l-1, & \hbox{Diese Lösung divergiert.} \  \end{array} \right.$    

Durch Berechnung der höheren Potenzen erhält man

$\displaystyle \alpha_{\nu}=\frac{\nu+l-n}{\nu\left( \nu+2l+1\right) }\alpha_{\nu-1}$ (6.313)

mit

$\displaystyle n=\frac{B}{\kappa_n}$ (6.314)

wobei $ \kappa$ durch $ \kappa_n$ ersetzt wurde, da $ \kappa$ von $ n$ abhängt.

2 Lösungstypen:

Mit $ \nu>0$ folgt $ l\leq n-1$

Wir berechnen die ersten $ \alpha_\nu$ und setzen $ \alpha_0= 1$;

$ n=1$ $ n=2$ $ n=3$ $ n=4$
$ l=$ 0 0 $1$ 0 $1$ $ 2$ 0 $1$ $ 2$ $ 3$
$ \nu=0$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$
$ \nu=1$ 0 $ -\frac{1}{2}$ 0 $ -1$ $ -\frac{1}{4}$ 0 $ -\frac{3}{2}$ $ -\frac{1}{2}$ $ -\frac{1}{6}$ 0
$ \nu=2$ 0 0 0 $ \frac{1}{6}$ 0 0 $ \frac{1}{2}$ $ \frac{1}{20}$ 0 0
$ \nu=3$ 0 0 0 0 0 0 $ -\frac{1}{24}$ 0 0 0
$ \nu=4$ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dabei ist

$ n$: Hauptquantenzahl

$ l$: Drehimpulsquantenzahl

Die dazugehörige nicht normierte Funktion lautet also

$\displaystyle v_{n,l} = \sum\limits_{\nu=0}^{n-l-1} \alpha_\nu \rho^{\nu+l}$ (6.315)

$ n$ $ l$ $ v_{n\text{,} l}$
$1$ 0 $ v_{1\text{,} 0} = \alpha_0 \rho^{0+0} = 1$
$ 2$ 0 $ v_{2\text{,} 0} = \alpha_0 \rho^{0+0} + \alpha_1 \rho^{1+0} = 1-\frac{\rho}{2}$
  $1$ $ v_{2\text{,} 1} = \alpha_0 \rho^{0+1} = \rho$
$ 3$ 0 $ v_{3\text{,} 0} = \alpha_0 \rho^{0+0} +\alpha_1 \rho^{1+0} +\alpha_2\rho^{2+0} = 1-\rho+\frac{\rho^2}{6}$
  $1$ $ v_{3\text{,} 1} = \alpha_0 \rho^{0+1} +\alpha_1 \rho^{1+1} = \rho-\frac{\rho^2}{4}$
  2 $ v_{3\text{,} 2} = \alpha_0 \rho^{0+2} = \rho^2$
$ 4$ 0 $ v_{4\text{,} 0} = \alpha_0\rho^{0+0}+\alpha_1\rho^{1+0}+\alpha_2\rho^{2+0}+\alpha_3\rho^{3+0} = 1-\frac{3\rho}{2}+\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^3}{24}$
  $1$ $ v_{4\text{,} 1} = \alpha_0\rho^{0+1}+\alpha_1\rho^{1+1}+\alpha_2\rho^{2+1} = \rho-\frac{\rho^2}{2}+\frac{\rho^3}{20}$
  $ 2$ $ v_{4\text{,} 2} = \alpha_0\rho^{0+2}+\alpha_1\rho^{1+2} = \rho^2-\frac{\rho^3}{6}$
  $ 3$ $ v_{4\text{,} 3} = \alpha_0\rho^{0+3} = \rho^3$



Also ist

$ n$ $ l$ $ \widetilde{R}_{n\text{,} l}(\rho)$
     
$1$ 0 $ \widetilde{R}_{1\text{,} 0}(\rho) = e^{-\rho/2}$
$ 2$ 0 $ \widetilde{R}_{2\text{,} 0}(\rho) = \left(1-\frac{\rho}{2}\right) e^{-\rho/2}$
  $1$ $ \widetilde{R}_{2\text{,} 1}(\rho) = \rho e^{-\rho/2}$
$ 3$ 0 $ \widetilde{R}_{3\text{,} 0}(\rho) = \left(1-\rho+\frac{\rho^2}{6}\right)e^{-\rho/2}$
  $1$ $ \widetilde{R}_{3\text{,} 1}(\rho) = \left(\rho-\frac{\rho^2}{4}\right)e^{-\rho/2}$
  2 $ \widetilde{R}_{3\text{,} 2}(\rho) = \rho^2 e^{-\rho/2}$
$ 4$ 0 $ \widetilde{R}_{4\text{,} 0}(\rho) = \left(1-\frac{3\rho}{2}+\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^3}{24}\right)e^{-\rho/2}$
  $1$ $ \widetilde{R}_{4\text{,} 1}(\rho) = \left(\rho-\frac{\rho^2}{2}+\frac{\rho^3}{20}\right)e^{-\rho/2}$
  $ 2$ $ \widetilde{R}_{4\text{,} 2}(\rho) = \left(\rho^2-\frac{\rho^3}{6}\right)e^{-\rho/2}$
  $ 3$ $ \widetilde{R}_{4\text{,} 3}(\rho) = \rho^3 e^{-\rho/2}$



und schliesslich mit $ \rho = 2\kappa_n r$

$ n$ $ l$ $ {R}_{n\text{,} l}(r)$
     
$1$ 0 $ {R}_{1\text{,} 0}(r) = e^{-\kappa_1 r}$
$ 2$ 0 $ {R}_{2\text{,} 0}(r) = \left(1-\kappa_2 r\right) e^{- \kappa_2 r}$
  $1$ $ {R}_{2\text{,} 1}(r) = 2 \kappa_2 r e^{- \kappa_2 r}$
$ 3$ 0 $ {R}_{3\text{,} 0}(r) = \left(1-2 \kappa_3 r+\frac{2\kappa_3^2 r^2}{3}\right)e^{- \kappa_3 r}$
  $1$ $ {R}_{3\text{,} 1}(r) = \left(2 \kappa_3 r-\kappa_3^2 r^2\right)e^{- \kappa_3 r}$
  2 $ {R}_{3\text{,} 2}(r) = 4 \kappa_3^2 r^2 e^{- \kappa_3 r}$
$ 4$ 0 $ {R}_{4\text{,} 0}(r) = \left(1-3 \kappa_4 r+2\kappa_4^2 r^2-\frac{\kappa_4^3 r^3}{3}\right)e^{- \kappa_4 r}$
  $1$ $ {R}_{4\text{,} 1}(r) = \left(2 \kappa_4 r-2 \kappa_4^2 r^2+\frac{2 \kappa_4^3 r^3}{5}\right)e^{- \kappa_4 r}$
  $ 2$ $ {R}_{4\text{,} 2}(r) = \left(4 \kappa_4^2 r^2-\frac{4 \kappa_4^3 r^3}{3}\right)e^{- \kappa_4 r}$
  $ 3$ $ {R}_{4\text{,} 3}(r) = 8 \kappa_4^3 r^3 e^{- \kappa_4 r}$

wobei

$\displaystyle \kappa_n=\sqrt{-\frac{2m_{0}E_n}{\hbar^{2}}}$    

ist. Der Energieeigenwert ist weiter

$\displaystyle E=-\frac{m_{0}Z^{2}e^{4}}{2\hbar^{2}\left( 4\pi\epsilon_{0}\right) ^{2} }\cdot\frac{1}{n^{2}}$ (6.316)

so dass

$\displaystyle \kappa_n=\sqrt{-\frac{2m_{0}\left(-\frac{m_{0}Z^{2}e^{4}}{2\hbar^...
...\right)}{\hbar^{2}}} = \frac{m_0 Z e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}\cdot\frac{1}{n}$    

und

$\displaystyle R_{n\text{,} l}\left( r\right) =N_{n\text{,} l}\exp\left( -\kappa_{n}r\right) r^{l} L_{n+l}^{2l+1}\left( 2\kappa_{n}r\right)$ (6.317)

ist.

Der Bohrsche Radius $ a_0$ wird aus

$\displaystyle \kappa_n = \frac{1}{n}\frac{1}{a_0}$

berechnet

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{n}   \frac{1}{\kappa_n}$ (6.318)

Die normierten Funktionen sind also

$ n$ $ l$ $ {R}_{n\text{,} l}(r)$
     
$1$ 0 $ {R}_{1\text{,} 0}(r) = 2\kappa_1^{3/2} e^{-\kappa_1 r} = \frac{2}{a_0^{3/2}} e^{-r/a_0}$
$ 2$ 0 $ {R}_{2\text{,} 0}(r) = 2\kappa_2^{3/2}\left(1-\kappa_2 r\right) e^{- \kappa_2 r}
= \frac{1}{\sqrt{2}a_0^{3/2}}\left(1-\frac{r}{2a_0}\right) e^{- r/(2a_0)}$
  $1$ $ {R}_{2\text{,} 1}(r) = \frac {2}{\sqrt{3}}\kappa_2^{3/2}  \kappa_2 r e^{- \kappa_2 r} = \frac{1}{2\sqrt{6}a_0^{3/2}}\frac{r}{a_0}e^{- r/(2a_0)}$
$ 3$ 0 $ {R}_{3\text{,} 0}(r) = 2\kappa_3^{3/2}\left(1-2 \kappa_3 r+\frac{2\kappa_3^2 ...
...}{(3a_0)^{3/2}}\left(1-\frac{2r}{3a_0}+\frac{2r^2}{27a_0^2}\right)e^{-r/(3a_0)}$
  $1$ $ {R}_{3\text{,} 1}(r) = \frac{4}{3\sqrt{2}}\kappa_3^{3/2}\left(2 \kappa_3 r-\k...
...9\sqrt{6}a_0^{3/2}}\left(\frac{2r}{3a_0}-\frac{r^2}{9a_0^2}\right)e^{-r/(3a_0)}$
  2 $ {R}_{3\text{,} 2}(r) = \frac{4}{3\sqrt{10}}\kappa_3^{3/2}  \kappa_3^2 r^2 e^{- \kappa_3 r}
= \frac{4}{9\sqrt{30}a_0^{3/2}}\frac{r^2}{9a_0^2} e^{-r/(3a_0)}$
$ 4$ 0 $ {R}_{4\text{,} 0}(r) = \left(1-3 \kappa r+2\kappa^2 r^2-\frac{\kappa^3 r^3}{3}\right)e^{- \kappa r}$
  $1$ $ {R}_{4\text{,} 1}(r) = \left(2 \kappa r-2 \kappa^2 r^2+\frac{2 \kappa^3 r^3}{5}\right)e^{- \kappa r}$
  $ 2$ $ {R}_{4\text{,} 2}(r) = \left(4 \kappa^2 r^2-\frac{4 \kappa^3 r^3}{3}\right)e^{- \kappa r}$
  $ 3$ $ {R}_{4\text{,} 3}(r) = 8 \kappa^3 r^3 e^{- \kappa r}$



Bei Hyperphysics gibt es eine schöne Darstellung dieser Funktionen. Eine Skizze dieser Wellenfunktionen findet sich auch im Anhang A.2.

$\displaystyle N_{n\text{,} l}:\text{Normierungsfaktor }$ (6.319)

$\displaystyle \kappa_{n}=\frac{1}{n}\frac{m_{0}Ze^{2}}{\hbar^{2}4\pi\epsilon_{0}}:$inverser Radius (6.320)

$\displaystyle L_{n+l}^{2l+1}=(-1)^{2l+1}\frac{d^{2l+1}}{d\rho^{2l+1}}L_{n+l}$ (6.321)

$\displaystyle L_{n\text{,} l}=e^{\rho}\frac{d^{n+l}}{d\rho^{n+l}}\left( e^{-\rho}\rho^{n+l}\right) :\text{ Laguerrsches Polynom}$ (6.322)

also ist

$\displaystyle \Psi_{n,l,m}\left( r,\theta,\phi\right)$ $\displaystyle =e^{im\phi}P_{l}^{m}\left( \cos\vartheta\right) R_{n\text{,} l}\left( r\right)$ (6.323)

mit

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccc} &&n & =& 1\text{,} 2\text{,} \ldots  0 & \leq &l&\leq &n-1  -l & \leq &m&\leq &l  \end{array}\end{displaymath}    

Die Wellenfunktion ist dann

$\displaystyle \Psi_{n\text{,} l\text{,} m}(r\text{,} \theta\text{,} \phi) =...
... r\right)^l  L^{2l+1}_{n+l}\left(\alpha r\right)Y_l^m\left(\theta,\phi\right)$ (6.324)

wobei

$\displaystyle a_0$ $\displaystyle = \frac{\hbar^2}{m_0 e^2}\;\;$der Bohr-Radius (6.325)
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle = 2\kappa =2\frac{m_0 e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\cdot \frac{Z}{n} = \frac{2Z}{n  a_0}$ (6.326)

Also lauten die Wasserstofforbitale[AW95]

$\displaystyle \Psi_{n\text{,} l\text{,} m}(r\text{,} \theta\text{,} \phi)$ $\displaystyle = \sqrt{\left(\frac{m_0 e^2}{2\pi\epsilon_0\hbar^2}\cdot \frac{Z}{n}\right)^3\frac{\left(n-l-1\right)!}{2n\left(n+l\right)!}}$    
  $\displaystyle \cdot e^{-\frac{m_0 e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar^2}\cdot \frac{Z}{n}\...
...ft(\left(\frac{m_0 e^2}{2\pi\epsilon_0\hbar^2}\cdot \frac{Z}{n}\right) r\right)$    
  $\displaystyle \cdot Y_l^m\left(\theta,\phi\right)$    

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Orbitalmodelle: Stehende Wellen auf runder Wasseroberfläche (Versuchskarte AT-60)

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Orbital-Modelle: Styropormodelle von Ladungswolken (Versuchskarte AT-61)

Unbestimmtheitsrelationen und Vertauschungsrelationen

Die folgende Ausarbeitung folgt der Behandlung von Gordon Baym[Bay69, 66]. Eine analoge Darstellung findet sich im Buch von landau und Lifschitz [LL79, 46]

Seien $ \left\vert{\Theta}\right>$ und $ \left\vert{\Phi}\right>$ normierte Wellenfunktionen.

Behauptung:

$\displaystyle \left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert\leq 1$ (6.327)

Beweis:

Sei

$\displaystyle \left\vert{\zeta}\right> = \left\vert{\Theta}\right>-e^{i\alpha}\left\vert{\Phi}\right>\;$für$\displaystyle \;\alpha \in \mathds{R}$    

Dann ist

0 $\displaystyle \leq \left<{\zeta}\vert{\zeta}\right>$    
  $\displaystyle = \left(\left<{\Theta}\right\vert-e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\right\...
...right)\left(\left\vert{\Theta}\right>-e^{i\alpha}\left\vert{\Phi}\right>\right)$    
  $\displaystyle = \left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>-e^{i\alpha}\left<{\Theta}\vert...
...e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>+\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>$    
  $\displaystyle = 2-e^{i\alpha}\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>-e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$   oder    
$\displaystyle 2$ $\displaystyle \geq e^{i\alpha}\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>+e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$ (6.328)

Gleichheit gilt also nur wenn $ \left\vert{\zeta}\right>=0$

Wir wählen das beliebige $ \alpha$ so, dass

$\displaystyle \left<{\Theta}\vert{\Phi}\right> = e^{-i\alpha}\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert$    

und setzen in Gleichung (6.131) ein

$\displaystyle 2$ $\displaystyle \geq e^{i\alpha}e^{-i\alpha}\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert+e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$    
  $\displaystyle = \left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert+e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$    
$\displaystyle 2-\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert$ $\displaystyle = e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$    
$\displaystyle \left(2-\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert\right)^2$ $\displaystyle \geq \left\vert\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>\right\vert^2 = \left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert^2$    
$\displaystyle \left(2-\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert\right)$ $\displaystyle \geq \left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert$    
$\displaystyle 2$ $\displaystyle \geq 2\left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert$    

Bei nicht normierten Funktionen verwendet man

$\displaystyle \frac{\left\vert{\Theta}\right>}{\sqrt{\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>}}\;$und$\displaystyle \; \frac{\left\vert{\Phi}\right>}{\sqrt{\left<{\Phi}\vert{\Phi}\right>}}$    

Aus Gleichung (6.130) bekommt man

$\displaystyle \sqrt{\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>}\;\sqrt{\left<{\Phi}\vert{\Phi}\right>}\geq \left\vert\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>\right\vert$ (6.329)

Aus Gleichung (6.131) erhält man

$\displaystyle 2$ $\displaystyle \geq e^{i\alpha}\frac{\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>}{\sqrt{\le...
...qrt{\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>}\;\sqrt{\left<{\Phi}\vert{\Phi}\right>}}$    
$\displaystyle 2 \sqrt{\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>}\;\sqrt{\left<{\Phi}\vert{\Phi}\right>}$ $\displaystyle \geq e^{i\alpha}\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>+e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>$    

und damit

$\displaystyle \sqrt{\left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>}\;\sqrt{\left<{\Phi}\ver...
...{\Theta}\vert{\Phi}\right>+ e^{-i\alpha}\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>\right)$ (6.330)

Wir erhalten für die Wellenfunktion $ \left\vert{\Psi}\right>$ für die Standardabweichungen

$\displaystyle \Delta x$ $\displaystyle = \sqrt{\left<\left(\hat{x}-\left< x\right>\right)^2\right>}$ (6.331)
$\displaystyle \Delta p_x$ $\displaystyle = \sqrt{\left<\left(\hat{p}_x-\left< p_x\right>\right)^2\right>}$ (6.332)

wobei für die Erwartungswerte wie üblich gilt:

$\displaystyle \left< x^2\right> = \left<{\Psi}\right\vert \hat{x}^2 \left\vert{\Psi}\right> = \int x^2 \left\vert\left<{x}\vert{\Psi}\right>\right\vert^2 d^3 r$    

Wir nehmen an, dass das zu untersuchende Teilchen die Wellenfunktion $ \left\vert{\Psi}\right>$ hat. Wir definieren

$\displaystyle \left\vert{\Theta}\right>$ $\displaystyle = \left(\hat{x}-\left< x\right>\right)\left\vert{\Psi}\right>$ (6.333)
$\displaystyle \left\vert{\Phi}\right>$ $\displaystyle = \left(\hat{p}_x-\left< p_x\right>\right)\left\vert{\Psi}\right>$ (6.334)

Dann ist

$\displaystyle \left<{\Theta}\vert{\Theta}\right>$ $\displaystyle = \left(\hat{x}-\left< x\right>\right)^2$ $\displaystyle = \left(\Delta x\right)^2$ (6.335)
$\displaystyle \left<{\Phi}\vert{\Phi}\right>$ $\displaystyle = \left(\hat{p}_x-\left< p_x\right>\right)^2$ $\displaystyle = \left(\Delta p_x\right)^2$ (6.336)

Aus Gleichung (6.133) erhält man mit $ e^{i\alpha}=-i$

$\displaystyle \Delta x\;\Delta p_x$ $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left(-i\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>+i\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>\right)$    
  $\displaystyle = -\frac{i}{2}\left(\left<{\Theta}\vert{\Phi}\right>-\left<{\Phi}\vert{\Theta}\right>\right)$    
  $\displaystyle = -\frac{i}{2}\left(\left<{\Psi}\right\vert\left(\hat{x}^*-\left<...
...ight>\right)\left(\hat{x} -\left< x\right>\right)\left\vert{\Psi}\right>\right)$    
  $\displaystyle =-\frac{i}{2}\left<{\Psi}\right\vert\hat{x}^*\hat{p}_x-\hat{x}^*\...
... \left<p_x\right>\hat{x}-\left< p_x\right>\left<x\right>\left\vert{\Psi}\right>$    
  $\displaystyle = -\frac{i}{2}\left<{\Psi}\right\vert\hat{x}^*\hat{p}_x - \hat{p}...
...ght) +\left< x\right>\left(\hat{p}_x^*-\hat{p}_x\right) \left\vert{\Psi}\right>$    
  $\displaystyle =-\frac{i}{2}\left<{\Psi}\right\vert\left[\hat{x}\text{,} \hat{p}_x\right]\left\vert{\Psi}\right>$    
  $\displaystyle =-\frac{i}{2} i\hbar \left<{\Psi}\vert{\Psi}\right>$    
  $\displaystyle = \frac{\hbar}{2}$    

Unter der Annahme dass $ \left< x\right> =0$ und $ \left< p_x\right> =0$, was sich immer durch eine Galilei-Transformation erreichen lässt.

Wir haben bei der Berechnung nichts über die Operatoren $ \hat{x}$ und $ \hat{p}_x$ angenommen, so dass auch für allgemeine Operatoren $ \hat{\Omega}_1$ und $ \hat{\Omega}_2$, bei denen man über eine Transformation $ \left<
\Omega_1\right>=0$ und $ \left< \Omega_2\right>=0$ erreichen kann, für die Unbestimmtheitsrelation gilt

$\displaystyle \Delta\Omega_1\;\Delta\Omega_2 \geq \frac{\left[\Omega_1\text{,} \Omega_2\right]}{2}$ (6.337)

Nach Landau und Lifschitz [LL79, 46] folgt aus

$\displaystyle \hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f} = -i\hbar \hat{c}$ (6.338)

wobei $ \hat{f}$ und $ \hat{g}$ beliebige Operatoren zu den klassischen Grössen $f$ und $ g$ sind und bei der $ \hat{c}$ der Operator zur klassischen Grösse $ c$ (der Poisson-Klammer) ist, dass im klassischen Grenzfall alle Operatoren vertauschbar sind. In zweiter Näherung kann der Operator $ \hat{c}$ als Multiplikation mit $ c$ auffassen, so dass

$\displaystyle \hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f} = -i\hbar {c}$ (6.339)

und in Analogie zu den Impulsen

$\displaystyle \Delta f \Delta g \sim \hbar c$ (6.340)

Quantenzahlen, Spektren und Energien

3 Quantenzahlen

$\displaystyle n$ $\displaystyle =1,2,3$    
0 $\displaystyle \leq l\leq n-1$    
$\displaystyle -l$ $\displaystyle \leq m\leq l$    

Diese drei Quantenzahlen beschreiben den atomaren Zustand

Rydberg-Gesetz: nur $ n$ ist wichtig

$\Longrightarrow$ alle $ l$- und $ m$-Zustände haben die gleiche Energie

$\Longrightarrow$ Entartung

Fragen: in welcher Reihenfolge werden die Zustände besetzt?

                - Wird die Entartung aufgehoben?

                - Grund für die Entartung


- Kepler-Gesetze beschreiben geschlossene Planetenbahnen, wenn das Potential sich wie $ 1/r$ verhält.

Abweichungen vom $ \frac{1}{r}$-Gesetz bedeutet Perihel-Drehung.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Quantenzahle-6-3-3-001}
Sommerfeld-Bild




Modell eines Atoms mit einem Leuchtelektron





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Quantenzahle-6-3-3-002}
Atom mit einem Leuchtelektron




für $ r\gg r_{0}$ gilt $ F_{c}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Ze^{2}}{r^{2}}$ unabhängig vom inneren Aufbau

für $ r\approx r_{Kern}$ muss $ F_{c}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Ze^{2}}{r^{2}}$





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Quantenzahle-6-3-3-003}
Coulombpotential und effektives Potential




$\Longrightarrow$Innen ist das $ e^{-}$ auf einer anderen Bahn als aussen

$\Longrightarrow$andere Energie: Energieentartung aufgehoben.


Grotrian-Diagramm





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{grotman}
Grotrian-Diagramm für Litium





\begin{displaymath}\begin{array}[c]{rrr}s & l=0 & \text{sharp}\\
p & l=1 & \te...
...f & l=3 & \text{fundamental}\\
g & l=4 & \text{:}\end{array} \end{displaymath}

grosse Buchstaben: bezieht sich auf das gesamte System

kleine Buchstaben: bezieht sich auf ein Elektron


Für die Energien gilt:

$\displaystyle \sum_{n,e}=-R_{Na}\cdot hc\cdot\frac{1}{n_{eff}^{2}}=-R_{Na}hc\frac{1}{\left( n-\Delta
n\left( n,l\right) \right) ^{2}}$

$ Na:$ Hauptserie $ 3s\leftrightarrow nP$

Nebenserien $ 3P\longleftrightarrow nS\qquad n\geq3$

                                 $ 3P$ $ \longleftrightarrow nD$


Elektronenkonfiguration $ \rightarrow$ Argon-Konfiguration

Beispiel: K-Atom                        +1$ e^{-}$

Argon $ \left[ 1s^{2}   2s^{2}   2p^{6}   3s^{2}   3p^{6}\right] $ oder $ \left[ Ar\right] $

ist der nächste Zustand ein $ 3d_{1}$ oder $ 4s$

$ d$-Elektronen sind näher am Kern als $s$-Elektronen

Abschirmung?

$ \Longrightarrow4s$ kommt zeitweise näher an Kern (unabgeschirmt)

$ \Longrightarrow4s$ Zustand ist niedriger als $ 3d_{1}$





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{quantenzahle-6-3-3-005}
Radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms





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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm