Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor
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wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben
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GeradeStrecke | ![]() | ![]() |
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Dielektrische
Grenzschicht
mit den
Brechungsindizes
n1 und n2 | ![]() | ![]() |
Sphärische
dielektrische
Grenzschicht
mit
Krümmungsradius
R und den
Brechungsindizes
n1 und n2 | ![]() | ![]() |
Sphärischer
Spiegel
mit dem
Krümmungsradius
R | ![]() | ![]() |
GeradeStrecke | ![]() | ![]() |
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Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.
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Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch
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Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt
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Ausmultipliziert erhalten wir
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Um eine Resonatormode zu bekommen muss aus =
ein
sein. Wir setzen
Damit bekommen wir auch
Wir lösen die erste Gleichung nach rn′ auf und erhalten
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Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen
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Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (6.7) ein und erhalten
![]() | (6.10) |
Durch ausrechnen erhält man, dass AD - BC = 1 ist.
Wenn wir b = =
setzen,
können wir schreiben
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Diese Differenzengleichung ist formal
äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ
+kr = 01
Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp
.
Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz
rs = r0 exp
mit s = 2n ein und erhalten
![]() | (6.12) |
Die Lösung ist
![]() | (6.13) |
Mit b = cos Θ und daraus = sin Θ ist die obige
Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also
![]() | (6.14) |
mit rmax = r0∕ sin δ. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss Θ reell sein. Daraus folgt
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Aus der Definition von b folgt2
Wenn wir die neuen normierten Koordinaten x = d∕2f1 und y = d∕2f2 einführen, heisst die Stabilitätsbedingung
![]() | (6.17) |
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Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.
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Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man f = R∕2 setzt, wobei R der Krümmungsradius des Spiegels ist.
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Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.
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![]() | Versuch zur Vorlesung: |
Laser (Versuchskarte AT-052) | |