Matrixformulierung der Lichtpropagation

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6.1 Matrixformulierung der Lichtpropagation

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(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [?, pp. 99])

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

( r(z) ) r = ′ r(z)

(6.1)

wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben

raus = Arein

(6.2)

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GeradeStrecke

Dünne Linse , Brennweite f (f > 0: Sammellinse, f < 0: Zerstreuungslinse

Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius R und den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius R

GeradeStrecke

Matrizen für die Strahlausbreitung

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Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.

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Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch

[ ] [ ] [ ] 1 0 1 d 1 d raus = - 1 1 0 1 rein = - 1 - -d+ 1 rein f f f

(6.3)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt

[ ] [ ] 1 d 1 d raus = - 1f- - fd + 1 - 1f- - fd + 1 rein 1 1 2 2

(6.4)

Ausmultipliziert erhalten wir

⌊ ( ) ⌋ 1 - d- d· 2 - -d raus = ⌈ 1- 1-f2 -d-- d- ( d-)f2( -d) ⌉ rein - f1 - f2 + f1f2 - f1 + 1 - f1 · 1 - f2

(6.5)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss _aus = _ein sein. Wir setzen

A = 1 - d-- f2 ( d ) B = d· 2 - --- f2 1 1 d C = - f-- f--+ f-f-- 1 (2 1)2 ( ) D = - d-+ 1 - -d- · 1 - -d- (6.6) f1 f1 f2

Damit bekommen wir auch

rn+2 = A·rn + B ·r ′ ′ n′ rn+2 = C ·rn + D ·r n (6.7)

Wir lösen die erste Gleichung nach r_n′ auf und erhalten

r′ = -1 (r - A·r ) n B n+2 n

(6.8)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

r′ = -1 (r - A·r ) n+2 B n+4 n+2

(6.9)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (6.7) ein und erhalten

rn+4 - (A + D )rn+2 + (AD - BC )rn = 0

(6.10)

Durch ausrechnen erhält man, dass AD - BC = 1 ist. Wenn wir b = 1
2 (A + D ) = ( )
1 - d-- d-+ -d2-
f2 f1 2f1f2 setzen, können wir schreiben

rn+4 - 2brn+2 + rn = 0

(6.11)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ +kr = 0¹ Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp [ √ --]
±i kz . Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz r_s = r₀ exp [isΘ ] mit s = 2n ein und erhalten