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3.5  Interferenzmuster an einem Doppelspalt

Literatur
(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 572]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 358]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1116])
Versuch zur Vorlesung:
Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

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pict

Strahlengang bei einem Doppelspalt

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Aus den Interferenzbedingungen wissen wir, dass wir

konstruktive Interferenz (helle Streifen) bei

d sin Θ = m λ m = 0,±1, ±2, ...
(3.1)

destruktive Interferenz (dunkle Streifen) bei

( 1 ) d sinΘ = m + -- λ m = 0,±1, ±2, ... 2
(3.2)

haben. Wir berechnen nun den Verlauf der Intensität.

Am Punkt P ist die Phasendifferenz

δ = 2πd sin Θ λ
(3.3)

Der m-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand ym. Nach der Skizze ist der Winkel dann durch

y tan Θ = -m- ℓ
(3.4)

gegeben. Wir verwenden, dass für kleine Winkel Θ gilt: tan Θ ≈ sin Θ ≈ Θ. Damit folgt

ym- d sin Θ ≈ d tan Θ = d ℓ ≈ m λ
(3.5)

Der m-te helle Streifen liegt also bei

ym ≈ m λℓ- d
(3.6)

Der Abstand zweier Streifen ist

λℓ Δy = d--
(3.7)

Wenn wir die Amplituden der Felder verwenden (die elektrischen Felder E), können wir sagen, dass die beiden Felder E1 = |E0i| sin(ωt) und E2 = |E0i| sin(ωt + δ) am Punkt P interferieren.

E = E1 + E2 = |E0i|sin(ωt ) + |E0i|sin (ωt + δ)
(3.8)

Mit sin α + sin β = 2 cos ( ) α−-β 2 sin ( ) α+β- 2

bekommt man

( ) ( ) δ δ E = 2|E0i|cos 2- sin ωt + 2-
(3.9)

Die Intensität ist dann

( ) ( ) 𝜖0c 2 2 δ- 2 2 δ- I = 4n 2 |E0i| cos 2 = 2n𝜖0c|E0i| cos 2
(3.10)

wobei n der Brechungsindex des Mediums ist. Mit d sin Θ ≈yd∕ℓ wird die Phase

2π 2πyd δ = ---dsin Θ ≈ ----- λ λ ℓ
(3.11)

und mit I0 = n𝜖0c 2|E0i|2

( ) I(y) ≈ 4I0cos2 πyd- λ ℓ
(3.12)

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pict   pict   pict

Beugung an einem Doppelspalt. Links ist d = 3λ, in der Mitte d = 10λ und rechts d = 30λ (rechts ist der gezeigte Bildausschnitt grösser).

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Die Interferenz an einem Doppelspalt hängt von der Polarisationsrichtung ab.

Versuch zur Vorlesung:
Interferenz mit Polarisation (Versuchskarte AT-051)


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