3.10  Interferenz- und Beugungsmuster beim Doppelspalt

3.10.1  Fouriertransformation und Faltung

Die im Abschnitt 3.3.3 vorgestellte Fouriertransformation ist eine lineare Transformation (siehe z.B. [AW95, BSMM08]). Hier soll die Faltung diskutiert werden. Dazu überlegen wir, wie hoch die Gesamtenergie von Licht ist, das von einer begrenzten Leuchte mit konstanter Intensität durch einen Spalt geschickt wird, wobei die Leuchte am Spalt vorbei bewegt wird.

Abbildung 3.10.1 zeigt das Prinzip einer Faltung. Wenn die Leuchte ganz vom Spalt abgedeckt wird, ist die Intensität I₁ = 0. Wenn die Leuchte teilweise vom Spalt abgedeckt wird, hängt die Intensität I₁ von der Position ab. Ist die Leuchte im Spalt, ist die Intensität I₁ wieder konstant.

Abbildung 3.10.1 zeigt ein gerechnetes Beispiel. Die rote rechteckförmige Kurve I₀ wird am Spalt vorbeigeschoben. Die blaue Kurve I₁ zeigt das Resultat. Formal wird eine Faltung in einer Dimension durch die Integralgleichung

(3.1)

beschrieben (Siehe [AW95, p865]). ∗ ist das Operationszeichen für eine Faltung. Hecht [Hec05, p 859] schreibt

(3.2)

Der Unterschied rührt wieder von der Verteilung des Faktors 1∕(2π) her. Beachten Sie auch, dass bei Hecht ⊛ das Operatorzeichen für eine Faltung ist.

Faltungen können besonders effizient über die Fouriertransformation berechnet werden:

3.10.2  Fouriertransformation und Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion nach Gleichung (B.3) hat eine besonders einfache Fouriertransformation

(3.4)

Das Resultat ist also eine Funktion mit konstanter komplexer Amplitude. Umgekehrt ist die Fouriertransformation einer konstanten Funktion eine Dirac-Delta-Funktion

(3.5)

Die Interpretation dieser Gleichungen zum Beispiel für Schall ist: ein extrem kurzer Knall enthält alle Schallfrequenzen.

3.10.3  Diskussion der Interferenz beim Doppelspalt

Perfekte Spalte, also Spalte mit verschwindender Breite können über Dirac-Deltafunktionen (B.3) modelliert werden. Ein Beugungsobjekt mit mehreren gleichabständigen identischen Spalten kann als Faltung

1. der Beugungsfunktion des Einzelspaltes
2. der Multiplikation mit einer unendlichen Summe von Diracpulsen an den Orten der Spalte
3. und alles gefaltet mit der Beugungsfunktion des Spaltes mit der Breite des Objektes.

Dies kann auch so formuliert werden:

Da die charakteristische Länge des Einzelspaltes kleiner ist als die Gitterperiode, ist das Beugungsmuster des Einzelspaltes breiter als das des Gitters. Die Beugungsfunktion des Einzelspaltes gibt die Umhüllende des Beugungsmusters.

Wir hatten für das Beugungsmuster des Doppelspalts mit linienförmigen Spalten

(3.6)

wenn wir n = 1 setzen. Das gesamte Beugungsmuster ist dann durch

(3.7)

wobei Φ(Θ) = a sin Θ und δ(Θ) = d sin Θ sind mit a der Spaltbreite und d dem Abstand der beiden Spalte. Wir können nun noch mit Θ(y) = arctan das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen.