©2002-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

6.6  Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 106, 284]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 415]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1038])


Versuch zur Vorlesung:
Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)


Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

__________________________________________________________________________

pict pict

Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien

_____________________________________________________________________



Versuch zur Vorlesung:
n(λ) Abhängigkeit beim Prisma (Versuchskarte O-074)


Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden die verschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedes Mal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht, werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

Um die Physik der Dispersion zu klären, müssen wir ein physikalisches Modell finden, bei dem eine Frequenzabhängigkeit auftritt. Wir erinnern uns aus der Mechanik, dass bei Oszillatoren eine Resonanz auftritt. Als Beispiel kann man ein Feder-Masse-System betrachten.

__________________________________________________________________________

pict

Modell eines Oszillators

_____________________________________________________________________

In diesem Feder-Masse-Modell wird die Schwingung durch ^x(t) = x0 cos ωt angeregt. Die Amplitude verhält sich als Funktion der Frequenz wie

x (ω ) = ∘--------x0---------
             2    2 2  ω2ω20
          (ω  − ω 0) +  Q2
(6.1)

__________________________________________________________________________

pict   pict

Resonanzkurve links als Funktion der Frequenz ω und rechts als Funktion der Wellenlänge λ. Der Ausschnitt zeigt, dass es einen Bereich der Resonanzkurve gibt, der genau so aussieht wie der Verlauf des Brechungsindexes.

_____________________________________________________________________

Aus diesen Kurven gewinnt man die Anregung, dass ein Feder-Masse-System als Modell für die Dispersion geeignet sein könnte.

__________________________________________________________________________

pict

Links liegt die Elektronenwolke zentriert über dem positiv geladenen Kern. Wenn ein elektrisches Feld E eingeschaltet wird, wird die Elektronenwolke entgegengesetzt zu E verschoben.

_____________________________________________________________________

Ein fester Körper besteht aus Atomen. Diese bestehen aus Elektronen, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit über einen Durchmesser von 100 pm ausgeschmiert ist, sowie aus einem Atomkern, der im Zentrum der Elektronenwolke liegt und einen Durchmesser von ungefähr 1 fm hat. Wenn ein elektrisches Feld E angelegt wird, dann verschiebt sich die Elektronenwolke gegen den Kern um eine Distanz Δx. Diese Verschiebung soll klein gegen den Durchmesser der Elektronenwolke sein. Dann können wir annehmen, dass die Ladung der Elektronenwolke homogen verteilt ist. Da das Coulombgesetz für die elektrostatischen Kräfte die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz hat, hängt die Kraft für die Testladung des Kerns linear von der Auslenkung ab, und zwar so, dass der Schwerpunkt des Kerns und der der Elektronenwolke wieder übereinander gelegt werden sollen. Wir haben also eine zur Auslenkung proportionale rücktreibende Kraft, wie bei einer Feder.

Deshalb nehmen wir an, dass das Elektron-Kern-System als Feder-Masse-System beschrieben werden kann. Da ein Elektron nicht nur Kräfte auf seinen Kern, sondern auch auf die benachbarten ausübt, müssen wir ein dreidimensionales Netz von Federn und Massen betrachten. Wir vereinfachen das System hier auf eine lineare Federkette.

__________________________________________________________________________

pict

Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [Kän78, pp. 292]) .

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

  ¨
m ξn = − k(ξn − ξn−1)+k (ξn+1 − ξn) = k (ξn+1 + ξn− 1)− 2k ξn
(6.2)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benach5barte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist λmin = 2a und entsprechend kmax = πa. Beachte, dass kmax = 2π∕λ die Wellenzahl ist, während k die Federkonstante bedeutet.

Wir setzen Ω02 = 4k
 m und erhalten

        [                     ]
 ¨     2  1-               1-
ξn = Ω 0  4 (ξn+1 + ξn−1) − 2ξn
(6.3)

Wir setzen als vorläufige Lösung für λ > 2a an: ξ(x,t) = Aei(kxωt). Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir x = na und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

                 i(kna− ωt)
ξn = ξ(n,t) = Ae
(6.4)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

pict

Die Dispersionsbeziehung für die Feder-Masse-Kette ist

              ka
ω(k) = Ω0 sin 2--
(6.6)

Wir können das Gefundene auf das Problem des Brechungsindexes wie folgt zurückrechnen:

__________________________________________________________________________

pict
pict

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

_____________________________________________________________________

Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen k-Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über E = ω auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

c2 =  g-= -1-gλ
 S    k   2 π
(6.7)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation1 besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[Kän78] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle ei(k0xωt) sowie der Modulation G(       |  )
 x − dω || t
      dk k0. Die resultierende Welle ist

           1            (     dω ||   )
ξ(x,t) = √----ei(k0x−ωt)G   x − ---||  t
           2π                 dk |k0
(6.8)

Die Gruppengeschwindigkeit

      d ω||
vG  = ---||
      dk |k0
(6.9)

Bei unserem Feder-Masse-System ist vG = 0 wenn λ = 2a ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn vG nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.



Versuch zur Vorlesung:
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit bei Dispersion (Versuchskarte SW-093)


Lösungsmöglichkeiten



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2002-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict  Lizenzinformationen