Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

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Deﬁnition von Vektoren. ist ein Ortsvektor, der Geschwindigkeitsvektor.

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( ) −→r = r = x y

( ) ( ) −→ vx x˙ v = v = vy = y˙

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

dx x˙= --- dt

geschrieben.

Addition:

( ax ) ( bx ) ( ax + bx ) a + b = | a | + | b | = | a + b | ( y ) ( y ) ( y y ) bz bz dz + bz

(B.1)


	Versuch zur Vorlesung:
	Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

∘ -2----2----2 |a| = ay + by + az

(B.2)

Skalarprodukt

a ·b = axbx + aybz + azbz = |a||b|· cos (∠a,b )

(B.3)

der Einheitsvektor _x ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

( ) ( ) ( ) | ax | | bx | | aybz − azby | a × b = ( ay ) × ( by ) = ( azbx − axbz ) bz bz axby − aybx

(B.4)

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

a × b ⊥ a

(B.5)

a × b ⊥ b

(B.6)

|a × b| = |a||b|· sin (∠a,b)

(B.7)

a · (b × c) = b· (c × a) = − b· (a × c)

(B.8)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch ,, aufgespannten Spates.

Gegeben seien zwei Vektoren und . Die Projektion von auf , das heisst, die Komponente von in die Richtung von ist

a = a = a ·e = a· -b-= a· b- b in Richtung b b |b| b

(B.9)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

axbx + ayby + azbz ab = --∘--2----2---2--- bx + by + bz

(B.10)

Beispiel:

Sei = (3,2, − 2) und = (− 2,0,1) . Dann ist

3· (− 2) + 2·0 + (− 2)·2 − 6 − 4 10 5 ab = ----∘------2---2----2----= --√---- = − --√--= − √--- (− 2) + 0 + 2 8 2 2 2

Beispiel:

Sei = (3,2, − 2) und = (0,0,1) . Dann ist

3·0-+-2·0--+-(−-2)·2- −-2- ab = √02--+-02-+-12 = √1--= − 2

Dies ist die z-Komponente von .