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2.5  Vierpole und Vierpoltheorie

Ein Vierpol ist ein elektrisches Schaltteil (einfach oder zusammengesetzt), das von aussen mit vier Klemmen angesteuert wird[?]. Zwei der Klemmen dienen als Eingang, zwei als Ausgang. Wenn nun am Eingang eine Spannung angelegt wird, so fliest ein Strom, der aber auch von der Belastung am Ausgang abhängt. Genauso kann der Ausgang auf den Eingang rückwirken. Ebenso gibt es Kopplungen vom Eingang auf den Ausgang.

Die Vierpoltheorie beschreibt in einer linearen Näherung um den Arbeitspunkt die Wirkung einer Schaltung. Im Gegensatz zu der Anwendung von Blockschaltbildern wird hier die gegenseitige Beeinflussung von Schaltungen berücksichtigt.


pict

Abbildung 2.35.: Anschlüsse, Ströme und Spannungen bei einem Vierpol

Die Ströme an den Klemmen 1 und 1’ sowie 2 und 2’ sind jeweils gleich. Für lineare, zeitinvariante passive Vierpole gibt es sechs Möglichkeiten, die gegenseitigen Beeinflussungen in einem Gleichungssystem zu beschreiben. So könnte man zum Beispiel schreiben:

U1  =   z11I1 + z12I2            (2.1)
U2  =   z21I1 + z22I2            (2.2)

Die zij sind komplexwertige Koeffizienten, die wie folgt definiert sind:

           |
z11  =  ∂∂UI1||         Leerlaufeingangsimpedanz   (2.3)
         -1 I2=0
        ∂U1||         negativer
z12  =  ∂I2|I=0      R¨uckwirkungswiderstand    (2.4)
           | 1
z    =  ∂U2||         Kernwiderstand            (2.5)
-21     ∂I1 I2=0      vorw¨arts
           |
z22  =  ∂U2||         negative                  (2.6)
        ∂I2 I1=0      Leerlaufausgangsimpedanz

Die obigen Gleichungen geben auch die Messvorschrift für diese Impedanzen wieder. Um z11 zu bestimmen, speist man bei offenem Ausgang den Strom I1 ein und misst die resultierende Spannung U1. Die Gleichungen können kompakt als Matrix geschrieben werden, eine Tatsache die die Rechenarbeit sehr erleichtert.

(     )   (          ) (     )     (     )
  U-1        z11  z12      I1          I1
  U-    =    z-   z-      I-   = Z-   I-
    2         21   22       2           2
(2.7)

Die Matrix Z heisst die Widerstandsmatrix. Durch Permutation können die anderen möglichen Darstellungen erhalten werden. Üblich sind:

Widerstandsmatrix
(     )    (          ) (    )      (    )
   U-1       z11  z12     I1          I1
   U-    =   z-   z-      I-   =  Z-  I-
     2         21   22      2           2
(2.8)

Leitwertform
(    )    (          ) (     )      (     )
  I1        y11  y12     U-1          U-1
  I2   =    y    y       U-2   = Y-   U-2
            -21  -22
(2.9)

Kettenform
(      )   (          ) (     )      (     )
   U-1        a11 a12      U2          U-2
   I     =    a   a        I    =  A-   I
   -1         -21 -22      -2           -2
(2.10)

Hybridform (Reihen-Parallel-Form)
(     )    (          ) (     )      (     )
   U-1       h11  h12      I1           I1
   I2    =   h21  h22      U2   =  H--  U2
(2.11)

Die Matrix H ist besonders beliebt zur Angabe der Vierpolparameter von Transistoren. Bei Transistoren, inherent nichtlinearen Bauteilen, werden die Vierpolparameter am Arbeitspunkt angegeben, es sind also differentielle Parameter. Auch gebräuchlich für Transistoren ist die Y-Matrix. Die Vierpolparameter können wie in Tabelle 2.13 angegeben ineinander umgerechnet werden.







A Z Y H










A
a11
a12
a21
a22
z11
z21
Δz-
z21
-1-
z21
z22-
z21
                                        y
                                        2y2-
                                        21
                                             1y--
                                             -21
                                       Δy-
                                       y21
                                             y11-
                                             y21
                                                                                                    Δh-
                                                                                                    h21
                                                                                                          h11-
                                                                                                          h21
                                                                                                    h22-
                                                                                                    h21
                                                                                                          1--
                                                                                                          h21





Z
a11
a21
Δa-
a21
 1
a21
a
a2221
z11
z12
z21
z22
                                      y
                                      Δ2y2
                                        -
                                              y
                                              Δ12y-
                                               -
                                       y21-
                                       Δy
                                             y11-
                                             Δy
                                                                                                   Δh-
                                                                                                   h22
                                                                                                         h12-
                                                                                                         h22
                                                                                                    h
                                                                                                    h21-
                                                                                                     22
                                                                                                         h1-
                                                                                                          22





Y
a
a2122
Δa-
a12
-1-
a12
a11
a12
z22-
Δz
z12-
Δz
z
Δ2z1
z
Δ1z1
y11
y12
y21
y22
                                                                                                   1--
                                                                                                   h11
                                                                                                          h12-
                                                                                                          h11
                                                                                                  h
                                                                                                  h21
                                                                                                   11
                                                                                                         Δhh-
                                                                                                          11





H
a12
a22
Δa-
a22
-1-
a22
a21
a22
Δz
z22-
z
z1222
z21
z22
-1-
z22
                                      -1-
                                      y11
                                             y12-
                                             y11
                                     y21
                                     y11
                                            Δy-
                                            y11
h11
h12
h21
h22










Δa
a11a22 a12a21  z12
 z21                                                               y12
                                                              y21                                                                                                                           h12
                                                                                                                          h21





Δz
a12-
a21 z11z22 z12z21                                                              -1-
                                                             Δy-                                                                                                                            h11
                                                                                                                           h22





Δy
a21-
a12  1--
 Δz y11y22 y12y21                                                                                                                           h22
                                                                                                                          h11





Δh
a
a1122-  z
 1z212-                                                              y
                                                             y2121 h11h22 h12h21






Tabelle 2.13.: Umrechnung der Vierpolparameter

2.5.1  Zusammenschaltung von Vierpolen

Die Vierpoltheorie erlaubt, das Zusammenschalten einzelner Bauelemente unter Berücksichtigung von Eingangs- und Ausgangswiderständen einfach zu berechnen. Kabel und Leitungen können mit Ketten von Vierpolen modelliert werden.


pict

Abbildung 2.36.: Serienschaltung zweier Vierpole

Die Serienschaltung in Abbildung 2.36 kann mit folgenden Bedingungsgleichungen berechnet werden:

U-11 + U-21 =  U-1
U-  + U-    =  U-
  12   ′22       2
I11 = I-21  =  I1
I12 = I′22  =  I2              (2.12)

Aus Gleichungen (2.8) und (2.12) kann die Matrix-Form der Serieschaltung berechnet werden:

(     )      (                         ) (    )
  U-1    =      z111 + z211  z112 + z212     I1
  U-2           z121 + z221  z122 + z222     I2
                       (     )
         =   (Z- + Z- )   I1                  (2.13)
                1    2    I2
Die Notation zabc bedeutet, dass das Element zbc aus der Matrix Za gemeint ist. Die Matrizen der einzelnen Vierpole addieren sich also bei einer Serienschaltung.

pict

Abbildung 2.37.: Parallelschaltung zweier Vierpole

Bei der Parallelschaltung findet man analog:

(    )      (                         ) (     )
  I-           y   + y     y   + y        U-
    1    =     -111  -211  -112  -212       1
  I2           y121 + y22(1 y12)2 + y222    U-2
                         U-1
         =  (Y-1 + Y-2)  U-                   (2.14)
                           2

Man kann sich die Regeln für die Parallelschaltung von Vierpolen einfach merken: Wie bei Widerständen addieren sich bei einer Parallelschaltung die Leitwerte.


pict

Abbildung 2.38.: Kettenschaltung zweier Vierpole

Bei der Kettenschaltung gilt:

 U   =   U
 -1      -11
U12  =   U21
U-   =   U-
 22       2
 I1  =   I11
I-   =   I-
 12       12
I22  =   I2                 (2.15)

Unter Verwendung der Gleichungen (2.10)für die Kettenform erhält man

(     )      (                                       ) (     )
  U-           a-  a-  +  a- a-    a-  a-  + a-  a-       U-
    1    =       111 211    112 221   111 212    112 222       2
( I1  )        a121a2(11 + a)122a221  a121a212 + a122a222     I2
  U-1                  U-2
  I-     =   A1 ·A2    I-                                 (2.16)
   1                    2

Wie bei jeder Matrixmultiplikation ist die Kettenschaltung von der Reihenfolge abhängig. Physikalisch kann man sich das wie folgt klar machen: Der Eingang des zweiten Vierpols belastet den Ausgang des ersten, während sein Ausgang unbelastet ist. Ebenso wir der Eingang des ersten von einer idealen Quelle angesteuert. Wechselt man nun die Reihenfolge, so sind die jeweiligen Ein- und Ausgänge nicht mehr gleich belastet. Entsprechend muss aus physikalischer Sicht das Resultat von der Reihenfolge der Vierpole abhängen.

2.5.2  Übertragungsfunktion eines Vierpols

Vielfach möchte man die Spannungs- oder Stromverstärkung eines mit der Lastimpedanz ZL belasteten Vierpols wissen (Abbildung 2.39 . Die Lastimpedanz kann komplex sein, wir behandeln so auch die Frage nach kapazitiv belasteten Ausgängen.


pict

Abbildung 2.39.: Übertragungsfunktion eines Vierpols

Ausgangsstrom I2 und Ausgangsspannung U2 hängen dann wie folgt zusammen:

U2 = ZLI2-
(2.17)

Mit der Kettengleichung (2.10)wird

        (          )
U    =    a  +  a12  U
--1       -11   ZL   -2

 I1  =  (a21ZL +  a22)I2          (2.18)

Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion der Spannung

U-2=  g  =  ---1-a---
U-1   -U    a11 + Z12
                   L
(2.19)

und des Stromes

I2-        -----1------
I  = gI =  a Z   + a
-1         -21L    -12
(2.20)

Der Leistungsübertragungsfaktor ist

g  =  g ·g
-P    -U  I-
(2.21)

Die Eingangsimpedanz ist

      U1-       -gI   a11ZL--+-a12
ZI =  I  =  ZL· g   = a  Z   + a
      -1        -U    -21-L    -22
(2.22)

Weiter sind die Übertragungsimpedanz

U-2 = -----ZL-----
I1    a21ZL  + a22
(2.23)

und die Übertragungsadmittanz

I2-   -----1------
U   = a  Z   + a
--1   -11-L    -12
(2.24)

Die Eingangsimpedanz ZI hängt nach Gleichung (2.22) von der Ausgangsimpedanz ZL ab. Sie kann Werte zwischen

ZI |Z =∞   = a11      Leerlaufeingangsimpedanz  (2.25)
    -L       aa21
 ZI |ZL=0  = a1222      Kurzschlusseingangsimpedanz(2.26)

Analog erhält man für die Ausgangsimpedanz ZA abhängig von der Quellimpedanz ZQ

Z- |       =  a22-     Leerlaufausgangsimpedanz  (2.27)
  A ZQ=∞      a21
 ZA |Z- =0  =  a1a2-     Kurzschlussausgangsimpedanz(2.28)
      Q       11

Der Wellenwiderstand des Eingangs Z01 oder Ausgangs Z02 ist das geometrische Mittel aus den entsprechenden Kurzschluss- und Leerlaufimpedanzen.

        ∘ ------------------   ∘ ------
Z01   =    ZI|      ZI|     =    a12a11       Eingangswellenwiderstand
              ZL=∞     ZL=0      a21a22
                               ∘ ------                          (2.29)
Z-   =  ∘ Z--|------Z--|-----=   a12a22       Ausgangswellenwiderstand
  02         A ZQ=∞   A ZQ=0      a21a11
                                                                 (2.30)

Der Wellenwiderstand ist gerade der Abschlusswiderstand, für den der Vierpol angepasst ist. Ein mit Z02 am Ausgang abgeschlossener Vierpol hat gerade die Eingangsimpedanz Z01. Im Anpassungsfall, d.h. wenn die Impedanz der Quelle ZQ = Z01 ist und wenn der Lastwiderstand ZL = Z02 ist, hat man Leistungsanpassung

Die Wellenwiderstände lassen sich durch die Messung von Kurzschluss- und Leerlaufimpedanzen bestimmen. Diese Eigenschaft wird verwendet, um mit Netzwerkanalysatoren komplexe Hochfrequenzleiter oder Bauelemente auszumessen.

Besonders einfach ist die Bestimmung der Wellenwiderstände bei symmetrischen Vierpolen mit a11 = a22. Dann ist

             ∘ ----
Z01 = Z02 =    a12
               a21
(2.31)

2.5.3  Ersatzstrukturen für Vierpole

Für passive Vierpole (δa = a11a22 a12a21 = 1) können die Kettenparameter aij durch die Ein- und Ausgangsimpedanzen bestimmt werden (Messrezept).

         ┌ ---------------------
         ││       Z  |
a-   =   │∘ -------I-ZL=-∞-------
 11        ZA |Z-=∞  − ZA |Z-=0
         ┌ -----Q-----------Q--
         ││      Z- |
a-   =   │∘ -------A-ZQ=-∞------
 22        ZI |Z- =∞ −  ZI|Z-=0
         ┌ -----L----------L----------------   ┌ --------------------------------
         ││ ----------------1----------------   ││ ---------------1----------------
a21  =   │∘          (                     ) =  ∘           (                   )
           ZI |ZL= ∞   ZA |ZQ= ∞ −  ZA |ZQ=0        ZA |ZQ= ∞  ZI |ZL= ∞ −  ZI|ZL=0
                 ┌│ --------------------            ┌ ---------------------
                 ││       ZA |Z- =∞                  ││       ZI |Z =∞
a12  =   ZI|Z-=0 ∘ ----------Q---------=  ZA |Z-=0 │∘ -----------L--------- (2.32)
             L     ZI |ZL=∞ −  ZI |ZL=0         Q      ZA |ZQ= ∞ −  ZA |ZQ=0

Das Übertragungsverhalten eines Vierpols lässt sich nun mit Ersatzschaltungen modellieren.


pict

Abbildung 2.40.: Ersatzschaltung eines Vierpols: T- Glied (Sternschaltung)

Man erhält zum Beispiel für die Sternschaltung in Abbildung 2.40 folgende Beziehungen

Z- |       =  Z˜  + ˜Z-              (2.33)
  I ZL=∞        1     3
                    -Z˜2-˜Z3--
 ZI |ZL=0   =  Z˜1  + ˜     ˜         (2.34)
                    Z2 + Z3
ZA |ZQ=∞   =  Z˜2  + ˜Z3              (2.35)
                      ˜ ˜
 Z  |      =  Z˜  + -Z1-Z3--        (2.36)
 -A ZQ=0      -2    ˜Z1 + Z˜3

Weitere mögliche Ersatzschaltbilder sind in den Abbildungen 2.41 und 2.42 dargestellt.


pict

Abbildung 2.41.: Ersatzschaltung eines Vierpols: π- Glied (Dreiecksschaltung)


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Abbildung 2.42.: Ersatzschaltung eines Vierpols: Kreuzglied



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