2.6  Filter

Filterschaltungen sind Baugruppen, die das Frequenzspektrum eines Signals verändern[TS80]. Sie werden verwendet, um zum Beispiel Rauschen zu entfernen, bei drahtloser Übertragung die Trägerfrequenz zu unterdrücken oder um gewisse Komponenten eines Signals zu bevorzugen. Die Filtereigenschaften lassen sich am einfachsten mit analogen Filtern erklären. Darauf aufbauend werden digitale Implementierungen von Filtern besprochen. Die dort erarbeiteten Konzepte können auch bei der Bearbeitung von Datensätzen im Computer verwendet werden.

2.6.1  Analogfilter

Als einfachstes Beispiel eines Filters betrachten wir einen RC Tiefpass. Die Filtercharakteristik geschrieben mit Frequenzen ist

(2.1)

Es ist üblich, die Gleichung (2.1) so umzurechnen, dass die Frequenz Ω, bei der = 2^−1∕2 ist, gleich 1 gesetzt wird. Mit Ω = (ω₀ = ist die natürlich Grenzfrequenz unseres Tiefpasses. Gleichung (2.1) wird dann

(2.2)

Nun haben wir im Abschnitt 2.4.3 über die Laplace-Transformation gesehen, dass diese Kausalität erzwingt. Indem ω mit p identifiziert wird (man kann auch sagen, dass die allgemein komplexe Variable p nur entlang der imaginären Achse betrachtet wird), erhält man die Übertragungsfunktion

(2.3)

und daraus mit P = die normierte Darstellung der Übertragungsfunktion

(2.4)

Die Darstellung in Gleichung (2.4) ist die einfachste denkbare Darstellung eines Tiefpassfilters. Die Grenzfrequenz ist normiert, alle Details der Realisierung werden mit der Normierung kaschiert. Das Vorgehen ist in gewissem Sinne analog zu dem der theoretischen Physiker, wenn sie ℏ = 1 und c = 1 setzen.

Für Sinuswellen ist das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangssignal ist

(2.5)

Für grosse Frequenzen Ω » 1 verhält sich die Ausgangsamplitude = 1∕Ω. Dies entspricht einem Verstärkungsabfall von 6 dB pro Oktave (Faktor 2) oder 20 dB pro Dekade (Faktor 10). Der Verstärkungsabfall pro Dekade ist charakteristisch für die Filterordnung. Pro Ordnung erhält man 20 dB pro Dekade.

Für einen steileren Abfall der Verstärkung kann man n Filter hintereinander schalten. Wenn man annimmt, dass jeder Teilfilter vom vorhergehenden entkoppelt ist (keine Rückwirkung) und wenn man weiter annimmt, dass jeder Teilfilter eine andere Grenzfrequenz haben kann, charakterisiert durch den Faktor α_i dann ist die Übertragungsfunktion

(2.6)

Die Koeffizienten α_i sind reell und positiv.

Für grosse Frequenzen gilt ∝ Ω⁻ⁿ. Der Abfall ist also n mal 20 dB pro Dekade.

Bei n gleichen, entkoppelten Tiefpässen ist die 3-dB Grenzfrequenz Ω = 1, wenn gilt:

(2.7)

Die Grenzfrequenz eines einzelnen Tiefpasses ist um 1∕α höher als die Grenzfrequenz der Gesamtschaltung. Diese Eigenheit ist bei allen zusammengesetzten Teifpässen zu bemerken. Die oben eingeführten Tiefpässe haben nur reelle Pole. Sie heissen kritische Tiefpässe. Tabelle F.1 im Anhang gibt eine Übersicht über die Filterkoeffizienten. Die Koeffizienten sind in Gruppen zu zwei geordnet, da man jedes Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt von Polynomen 2. Grades aufspalten kann.

Allgemein ist eine Filterfunktion gegeben durch

(2.8)

Hier ist A₀ die Verstärkung bei Ω = 0. Für beliebige reelle Koeffizienten c_i kann das Nennerpolynom in Gleichung (2.8) in n∕2 ((n− 1)∕2 bei ungeradem n) Polynome 2. Grades (und ein Polynom ersten Grades bei ungeradem n) aufgespalten werden. Diese Polynome zweiten Grades haben entweder zwei reelle Nullstellen, oder aber zwei konjugiert komplexe. Wir können also schreiben:

(2.9)

Wir vereinbaren, dass bei ungeradem n b₁ = 0 sein soll. Für unser kritisch gedämpftes Filter gilt nun:

(2.10)

Diese Koeffizienten sind in Tabelle F.1 aufgelistet.

Konjugiert komplexe Pole, wie sie in einem Filter höherer Ordnung auftreten können, sind nicht mit einfachen RC-Filtern realisierbar. Entweder man verwendet auch Spulen, also RLC-kreise, oder man benötigt aktive Schaltungen, wie sie im Kapitel 3 besprochen werden.

Es gibt nun verschiedene Optimierungsstrategien für die Filterkoeffizienten. Sie werden in den folgenden Abschnitten nun besprochen.

2.6.1.1. Butterworth-Tiefpässe

Das Betragsquadrat der Verstärkung eines allgemeinen Tiefpasses hat die Form

(2.11)

Wir fordern nun, dass die Verstärkung möglichst lange gleich A₀ sein soll. Das bedeutet, dass der Nenner möglichst lange in der Nähe von 1 sein muss. Dies heisst, dass die verschiedenen Potenzen von Ω so lange wie möglich klein gegen 1 sein müssen. Im Intervall [0…1] ist dies am besten für die höchste Potenz erfüllt. wir setzen also

(2.12)

Den Koeffizienten d_2n kann man aus der Normierungsbedingung

(2.13)

bestimmen. Wir erhalten so dass d_2i = 0; und d_2n = 1 ist. Der Nenner der Bestimmungsgleichung ist nun . Die daraus resultierenden Butterworth-Polynome sind in der Tabelle 2.14 zusammengefasst.

Ordnung n	Polynom
1	1 + P
2	1 + P + P2
3	1 + 2P + 2P2 + P3 =
4	1 + 2.613P + 3.414P2 + 2.613P3 + P4 =

Tabelle 2.14.:

Butterworth-Polynome

2.6.1.2. Tschebyscheff-Tiefpässe

Der Übergang zwischen dem Durchlassbereich und dem Sperrbereich eines Tiefpasses kann man erhöhen, wenn man im Durchlassbereich eine gewisse Welligkeit zulässt. Übliche Polynome haben im Intervall [0…1] eine variable Welligkeit. Tschbyscheff-Polynome haben eine konstante Welligkeit, was man sehr leicht anhand der Definitionsgleichung ersehen kann.

(2.14)

Die ersten der resultierenden Polynome sind in Tabelle 2.15 angegeben.

Die Tiefpassgleichung ist nun

(2.15)

Die Normierungskonstanten d und 𝜖 werden so gewählt, dass für P = 0 die Verstärkung ² = A ₀² ist. Ein Vergleich mit Tabelle 2.15 zeigt, dass für ungerades n d = 1 ist und für gerades n d = 1 + 𝜖² ist. Dabei ist 𝜖 ein Mass für die Welligkeit im Durchlassbereich. Es gelten nun für die Welligkeit, die minimale und maximale Amplitude:

Die die Koeffizienten d und 𝜖 werden in der Tabelle 2.16 für verschiedene Welligkeiten verglichen.

Die Koeffizienten der Tschebyscheff-Filter können nach Weinberg[Wei62] mit den folgenden Gleichungen berechnet werden:

Dabei ist γ = Arsinh. Das so erhaltene Filter hat alle gewünschten Eigenschaften, bis auf die Normierung. Wir verschieben die Frequenzachse um den Faktor α so, dass = 1∕ ist. Die wahren Koeffizienten sind dann a_i = αa_i′ und b_i = α²b _i′. Die Tabellen F.4 bis F.7 zeigen die Filterkoeffizienten. Abbildungen E.7 bis E.10 zeigen die Frequenzgänge, die en sowie das Phasenbild.

2.6.1.3. Besseltiefpässe

Insbesondere für die Verarbeitung von steilen Impulssignalen ist es wünschenswert, wenn die Durchlaufzeit durch den Filter für alle Frequenzen konstant ist. Diese Durchlaufzeit wird im Alölgemeinen die Gruppenlaufzeit genannt. Die Gruppenlaufzeit ist eine Funktion der Phasenverschiebung (analog zur Gruppengeschwindigkeit bei Wellen).

(2.19)

Die Phase φ kann aus der Übertragungsfunktion A(jΩ) wie folgt berechnet werden:

(2.20)

Auf die Gruppenlaufzeit eines allgemeinen Filters n-ter Ordnung wollen wir das Butterworth-Konzept anwenden, um eine möglichst konstante Phase zu bekommen. Dazu verwenden wir die normierte Gruppenlaufzeit

(2.21)

Dabei ist f₀ die Grenzfrequenz des Filters und T₀ = 1∕f₀ die dazugehörige Zeitkonstante. Aus Gleichung (2.21) erhält man

(2.22)

Man rechnet nun für ein zu optimierendes Filter die Gruppenlaufzeit aus. Für kleine Frequenzen Ω « 1 sind nur die niedrigsten Potenzen von Bedeutung. Da in jedem Teilprodukt im Nenner und Zähler jeweils Potenzen von Ω² und Ω⁴ auftreten, werden die Vorfaktoren von Ω⁴ nicht berücksichtigt und diejenigen von Ω² gleichgesetzt. Williams[Wei62] gibt eine Rekursionsformel für die Koeffizienten c_i′ der Besselpolynome an.

Die daraus resultierenden Besselpolynome sind in der Tabelle 2.17 angegeben. In der Tabelle F.2 sind die Koeffizienten wie üblich auf die 3-dB Grenzfrequenz umgerechnet. Die Abbildungen im Anhang E zeigen drastisch die unterschiedlichen Gruppenlaufzeiten (und damit die Impulsverzerrungen) der besprochenen Filtertypen.

n
1	1 + P
2	1 + P + P2
3	1 + P + P2 + P3
4	1 + P + P2 + P3 + P4

Tabelle 2.17.:

Tabelle der Besselpolynome

2.6.1.4. Tiefpass-Hochpass-Transformation

Hochpässe können aus den Tiefpassfilterfunktionen abgeleitet werden, indem man die sogenannte Tiefpass-Hochpass-Transformation anwendet.

(2.24)

Aus der Übertragungsfunktion

(2.25)

wird

(2.26)

Damit können alle oben besprochenen Filtertypen als Hochpässe realisiert werden. Der Abschnitt E.2 im Anhang gibt eine Übersicht über die Übertragungsfunktionen, die Phasenbilder und die Gruppenlaufzeiten.

2.6.1.5. Tiefpass-Bandpass-Transformation

Bandpässe können aus den Tiefpassfilterfunktionen abgeleitet werden, indem man die sogenannte Tiefpass-Bandpass-Transformation anwendet.

(2.27)

ΔΩ ist die Breite des Durchlassbereiches auf dem -3dB-Niveau. ΔΩ hängt mit der Bandbreite B und der Güte Q wie folgt zusammen

(2.28)

Aus der Übertragungsfunktion

(2.29)

wird

(2.30)

Damit können alle oben besprochenen Filtertypen als Bandpässe realisiert werden. Zu beachten ist, dass es für Bandpässe nur gerade Ordnungen gibt. Aus einem Tiefpass 3. Ordnung wird so ein Bandpass 6. Ordnung. Ausser bei einem Bandpass 2. Ordnung kann durch die Wahl der Filterfunktion und der Güte Q die Breite, die Flachheit im Durchlassbereich und die Steilheit getrennt gewählt werden. Der Abschnitt E.3 im Anhang gibt eine Übersicht über die Übertragungsfunktionen, die Phasenbilder und die Gruppenlaufzeiten.

2.6.1.6. Tiefpass-Bandsperren-Transformation

Bandsperren können aus den Tiefpassfilterfunktionen abgeleitet werden, indem man die sogenannte Tiefpass-Bandsperren-Transformation anwendet.

(2.31)

ΔΩ ist die Breite des Sperrbereiches auf dem -3dB-Niveau. ΔΩ hängt mit der Bandbreite B und der Güte Q analog zum Bandpass zusammen (Gleichung (2.28)).

Aus der Übertragungsfunktion

(2.32)

wird

(2.33)

Damit können alle oben besprochenen Filtertypen als Bandsperren realisiert werden. Zu beachten ist, dass es für Bandsperren nur gerade Ordnungen gibt. Aus einem Tiefpass 3. Ordnung wird so eine Bandsperre 6. Ordnung. Ausser bei einer Bandsperre 2. Ordnung kann durch die Wahl der Filterfunktion und der Güte Q die Breite, die Flachheit im Durchlassbereich (ausserhalb des Sperrbereiches) und die Steilheit getrennt gewählt werden. Der Abschnitt E.4 im Anhang gibt eine Übersicht über die Übertragungsfunktionen, die Phasenbilder und die Gruppenlaufzeiten.

2.6.1.7. Allpässe

Wenn gewünscht ist, dass ein Signal zwar verzögert, nicht aber in seiner Amplitude oder Form geändert wird, dann können Allpassfilter eingesetzt werden. Allpassfilter dienen auch als Phasenschieber. Die den Allpassfiltern zugrundeliegende Idee ist die folgende:

• Der Betrag eines Koeffizienten aus einer Funktion und ihrer konjugiert komplexen Funktion ist konstant und gleich eins.

Wir setzen also für die Übertragungsfunktion an

mit

(2.35)

Die Koeffizienten werden mit dem Butterworth-Ansatz so berechnet, das die Gruppenlaufzeit über einen möglichst grossen Frequenzbereich konstant bleibt. Im Anhang finden Sie im Abschnitt E.5 die Übertragungsfunktion, das Phasenbild und die Gruppenlaufzeit dieser Filter. Die Filterkoeffizienten sind in Tabelle F.8 angegeben.

2.6.2  Digitalfilter

Mit der Verfügbarkeit moderner Hochleistungsrechner werden immer öfter Filter auf digitaler Hardware implementiert. Digitale Filter können einerseits analoge Filter nachbilden, sind andererseits auch in der Lage wesentlich kompliziertere Filterfunktionen nachzubilden. Insbesondere sind Bauteiltoleranzen bei digitalen Filtern nicht problematisch. Rundungsfehler können mit mathematischen Methoden abgeschätzt werden. Sie sind dann für alle Implementationen gleich.

Ein digitales Filter wird üblicherweise in einer Umgebung wie in Abbildung 2.43 eingesetzt. Dabei wird das analoge Signal zuerst in ein digitales Signal umgewandelt. Nach der Verarbeitung des so entstandenen Zahlenstromes im digitalen Filter wird mit Digital-Analogwandlern wieder ein analoges Signal erzeugt. Filter am Eingang und am Ausgang sorgen dafür, dass keine unerwünschten Frequenzkomponenten vorhanden sind.

2.6.2.1. Abtastung

Das analoge Signal muss zuerst in ein digitales Signal umgewandelt werden. Typische Auflösungen und Frequenzen bei dieser Umwandlung sind 44,1 kHz und 16 Bit bei Audiosignalen, 8 kHz und 12 Bit bei der Telephonie und 13,3 MHz und 8 Bit bei Fernsehsignalen. Abbildung 2.44 zeigt wie aus einem analogen Signal mit einem Abtast-Halteglied eine Treppenfunktion entsteht. Es ist jedoch leichter, anstelle einer Treppe äquivalente Dirac-Impulse zu verwenden. Auch dieses Signal ist in Abbildung 2.44 gezeigt. Mathematisch wird die Folge von Dirac-Impulsen (wir sind immer noch auf der Analogseite) wie folgt beschrieben:

(2.36)

Wenn Gleichung (2.36) fouriertransformiert wird, erhält man das Spektrum der Dirac-Pulsfolge.

(2.37)

Hier ist f_a = 1∕T_a die Abtastfrequenz. Das Spektrum ist periodisch mit der Abtastfrequenz. Aus Abbildung 2.45 ist ersichtlich, dass ein Eingangsspektrum nur dann getreu wiedergegeben werden kann, wenn seine Bandbreite geringer als

(2.38)

ist. Diese Bedingung wird Abtasttheorem genannt. f_a∕2 heisst auch die Nyquist-Frequenz. Das Eingangsfilter in Abbildung 2.43 dient zur Verringerung der Bandbreite des Eingangssignals, so dass Gleichung (2.2) erfüllt ist. Das Eingangsfilter kann entweder explizit verwendet werden, oder aber man muss sicherstellen, dass das vorhergehende System keine Frequenzkomponenten über der Nyquistfrequenz abgibt. Um die Konstruktion des Eingangsfilters einfach zu halten, wird meistens anstelle von Gleichung (2.38) die Bedingung f_a ≥ 5f_max verwendet. Wenn man bewusst ein schmalbandiges Signal um eine der Vielfachen der Abtastfrequenz digitalisiert und dafür sorgt, dass im eigentlichen Frequenzintervall um 0 keine Signalanteile vorhanden sind, dann ist es möglich ein schnelleres Signal als von der Abtastfrequenz gegeben, zu digitalisieren (Abbildung 2.46). Das Verfahren, Oversampling genannt, wird häufig in Höchstfrequenz-Oszilloskopen eingesetzt.

Die Rückgewinnung des analogen Signals erfordert ebenfalls eine Beschneidung der Bandbreite. Jeder digital-analog-Wandler erzeugt neben dem ursprünglichen Signal auch die um die Vielfachen der Abtastfrequenz gespiegelten Komponenten. Diese müssen mit einem Tiefpassfilter wie in Abbildung 2.43 herausgefiltert werden, es sei denn, man stellt sicher, dass das nachfolgende System wie zum Beispiel bei einem STM diese Funktion übernimmt.

In der Praxis ist es nicht möglich, Dirac-Impulse zu erzeugen. Wenn die Dirac-Pulse durch Pulse der Breite 𝜀T_a ersetzt werden, kann das Eingangssignal als

(2.39)

geschrieben werden. r_𝜀 ist der Rechteckpuls. Als Fouriertransformation erhält man

(2.40)

Abbildung 2.47 zeigt, dass bei einer geschickten Wahl von 𝜀 die erste Nullstelle der Funktion sinx∕x gerade auf die Abtastfrequenz fällt. Dieser Effekt tritt genau dann auf, wenn 𝜀 = 1 ist, wenn man also eine Treppenfunktion hat. Die Fensterfunktion bewirkt andererseits, dass bei der halben Abtastfrequenz das Signal um den Faktor 0,64 abgeschwächt ist. Man kann also nicht einfach ein Digitalsignal zurückwandeln, ohne den Einfluss der Fensterfunktion zu berücksichtigen. Nach Abbildung 2.48 muss das Tiefpassfilter am Ausgang zur Frequenzgangkorrektur verwendet werden. Alternativ, wenn f_a ≥ 5f_max verwendet wird, ist das Filterproblem vielfach zu vernachlässigen. Das bei CD-Spielern als Errungenschaft verkaufte Oversampling dient in erster Linie dazu, Geld bei analogen Ausgangsfiltern zu sparen!

2.6.2.2. Bausteine für digitale Filter

Der Grundbaustein für ein digitales Filter ist die Verzögerungsstrecke um das Abtastintervall T_a. Diese Verzögerungsstrecke tritt auch als Zwischenspeicherung auf, wenn man im Rechner in einer Schleife Signale berechnet. Die Folge wird in die Folge übergeführt mit

(2.41)

Für eine harmonische Folge x(t_n) = e^jωt_n gilt y(t_n) = e^jωt_ne^−jωT_a. Die Übertragungsfunktion eines Verzögerungsgliedes (auch Totzeitglied genannt) ist also

(2.42)

Der Frequenzgang eines Verzögerungsgliedes ist also eine periodische Funktion. Das heisst, dass bei Verzögerungsstrecken immer beliebig grosse Phasenverschiebungen auftauchen. Die Phasenverschiebung ist also, im Gegensatz zu der eines Tiefpasses, nicht kompensierbar.

Mit der im Abschnitt 2.4.4.2 eingeführten z-Transformation kann unter Verwendung der Regel

(2.43)

erhält man für die digitale Übertragungsfunktion

(2.44)

Durch Rückeinsetzen erhält man

(2.45)

Daraus bekommt man für die Amplitude, Phase und Gruppenlaufzeit

also das erwartete Resultat.

Der zweite Baustein für ein digitales Filter ist ein Summationsknoten, der dritte die Multiplikation mit einem konstanten Faktor.

Beispiel

Mit den oben genannten Bauteilen kann ein Tiefpass (Abbildung 2.49) aufgebaut werden. Wir setzen für die Folgen:

(2.47)

Die entsprechende Funktion im z-Raum ist

(2.48)

Daraus erhält man die Übertragungsfunktion

(2.49)

Der Frequenzgang kann berechnet werden, indem man

(2.50)

setzt. Die Übertragungsfunktion in der Zeit wird demnach

(2.51)

Amplitude und Phase sind

Abbildung 2.50 zeigt den Frequenzgang eines Tiefpasses mit β₁ = −0, 85. Abbildung 2.51 zeigt die dazugehörige Sprungantwort. Der Frequenzgang ist mit 1∕T_a periodisch. Das Abtasttheorem sagt, dass der Tiefpass nur bis zur Frequenz 1∕2T_a verwendet werden kann.

Ist β₁ positiv, erhält man eine Hochpasscharakteristik. Abbildung 2.52 zeigt den Frequenzgang für β₁ = 0, 85, Abbildung 2.53 ist die dazugehörige Sprungantwort.

Setzt man β₁ = −1 so wird aus dem Tiefpass ein Integrator, wie man unschwer am Frequenzgang in Abbildung 2.50 ersehen kann. Dann gilt

Eingesetzt in den Frequenzgang erhält man

(2.54)

was in der Tat der Frequenzgang eines Integrators ist.

2.6.2.3. Grundstrukturen digitaler Filter

Zentral für ein digitales Filter ist die Verzögerungskette. Für ihre Einbettung in die Filterstruktur gibt es drei mögliche Konfigurationen:

1. Abbildung 2.55 zeigt ein Filter mit verteilten Summierern. Da jeweils zu jeder Summenbildung auch eine Multiplikation gehört, ist diese Topologie ideal geeignet zur Implementation in einem digitalen Signalprozessor. Bei der seriellen Abarbeitung der Befehle in diesen Prozessoren ist es sogar von Vorteil, wenn die Summation nicht auf einen Summierer konzentriert ist. Jede Summation/Multiplikation ist jeweils um einen Taktschritt verzögert.
2. Bei Abbildung 2.56 ist der Eingang der Verzögerungskette das gewichtete Mittel aus allen Zwischenwerten sowie aus dem Eingangssignal. Der Ausgang andererseits ist das (anders gewichtete) Mittel aller Zwischenwerte.
3. Die Schaltung in Abbildung 2.57 hat nur einen einzelnen Summierer am Ausgang. Im Gegensatz zu den obigen Filtern wird hier eine zweite Verzögerungskette benötig.

Die Ordnung n des Filters bestimmt auch, dass n Verzögerungsstufen benötigt werden. Hier soll nur die gebräuchlichste Topologie analysiert werden, nämlich die aus Abbildung 2.55. Die Differenzengleichung dafür lautet:

(2.55)

Entsprechend berechnet sich aus

(2.56)

ist die Übertragungsfunktion

Die komplexe Übertragungsfunktion kann mit der Identität (2.43) berechnet werden. Weiter normiert man die Frequenz auf die Abtastfrequenz

Das Abtasttheorem verlangt, dass das Eingangssignal nur Frequenzen

Indem man formal für den in der Filterkette nicht vorkommenden Koeffizienten β₀ = 1 setzt, erhält man für die Übertragungsfunktion:

(2.60)

Filter können entweder als einen Block berechnet werden, oder aber wie in Abbildung 2.58 kaskadiert werden. Im Falle der Kaskadierung gilt

Der Frequenzgang ist also das Produkt der einzelnen Frequenzgänge, die Ordnung die Summe der einzelnen Ordnungen. Die Kaskadierung vereinfacht die Berechnung der Filterkoeffizienten und die Verifizierung von Filtern Insbesondere bei Filtern mit Rückkopplung ist dies ein wichtiger Punkt.

Man unterscheidet zwei Typen von Filtern

FIR-Filter

Finite Impulse Response Filter haben keine Rückkopplung. Sie sind deshalb unter allen Betriebszuständen stabil und vorhersagbar. Die genauere Untersuchung wird aber zeigen, dass man sehr hohe Filterordnungen benötigt. Andererseits ist Die Antwort auf einen Impuls von endlicher Länge.

IIR-Filter

Infinite Impulse Response Filter besitzen einen Rückkopplungszweig. Man benötigt deshalb weniger Filterstufen für eine ähnlich steile Filterwirkung wie bei FIR-Filtern. Die Verzögerungszeiten sind deshalb auch geringer. Die Impulsantwort dieser Filter dauert unendlich lange.

2.6.2.4. FIR-Filter

Bei FIR-Filtern sind alle Koeffizienten β_i = 0. Die Differenzengleichung lautet also:

Daraus folgt für den z-Raum

(2.63)

und für die Übertragungsfunktion

(2.64)

Mit Gleichung (2.43) bekommt man den komplexen Frequenzgang

(2.65)

Wenn die Filterkoeffizienten Symmetriebedingungen genügen lassen sich besonders einfach zu berechnende Filterstrukturen realisieren. Bei gerader Symmetrie α_n−k = α_n ist der komplexe Frequenzgang

(2.66)

Bei ungerader Symmetrie α_n−k = −α_n erhält man entsprechend

(2.67)

Bei ungerader Symmetrie in gerader Ordnung muss α_n = 0 sein. Also können Amplitude und Phase explizit angegeben werden:

(2.68)

Der Betrag der Übertragungsfunktion lässt sich einfach aus den Summen in den Gleichungen (2.66) und (2.66) berechnen. Die Phase ist

(2.69)

In beiden Fällen hängt die Phase linear von der Frequenz ab. Entsprechend ist die Gruppenlaufzeit

(2.70)

Die Gruppenlaufzeit ist für alle FIR-Filter mit symmetrischen Koeffizienten frequenzunabhängig. Symmetrische FIR Filter eingesetzt in Audiogeräten erzeugen keine Laufzeitverzerrungen! Ausser in Ausnahmefällen verwendet man nur FIR-Filter mit linearer Phase.

FIR-Filter 1. Ordnung

Das in Abbildung 2.59 gezeigte Filter ist ein Tiefpass (Berechnet mit Excel-Tabelle ¹ ). Für eine Einheitsfolge = erhält man die Ausgangsfolge = . Die Verstärkung ist hier also 1. Man berechnet dass die z-Übertragungsfunktion, die komplexe Übertragungsfunktion, ihr Betrag, die normierte Grenzfrequenz, die Phase und die Gruppenlaufzeit

sind. Eine Analyse der allgemeinen FIR-Übertragungsfunktion zeigt, dass

(2.72)

ist. Bei der halben Abtastfrequenz, der höchsten nach dem Nyquist-Theorem zulässigen Frequenz, ist die Eingangsfolge = . Das Ausgangssignal ist, wie man leicht nachprüft, die Nullfolge = . Auch diese Eigenschaft ist allgemeingültig.

(2.73)

Weiter stellt mann fest, dass

Speist man in ein FIR-Filter die Folge = . ein, so erhält man als Impulsantwort die Folge = , also gerade die Folge der Filterkoeffizienten.

Die Grenzfrequenz des Filters erhält man, indem man = = cos πF_g setzt.

Abbildung 2.60 zeigt einen FIR-Hochpass 1. Ordnung (Berechnet mit Excel-Tabelle² ). Im Unterschied zum Tiefpass ist α₁ mit −1 multipliziert. Unsere Regeln sagen, dass die Verstärkung bei der Frequenz null auch null ist, und dass sie bei der halben Abtastfrequenz maximal ist. Im einzelnen sind die Kenngrössen:

FIR-Filter 2. Ordnung

Die Summe der Koeffizienten in der Abbildung 2.61 (Berechnet mit Excel-Tabelle³ ) ist eins, also ist die Verstärkung bei bei der Frequenz null eins. Die Übertragungsfunktion sowie die weiteren Kenndaten sind:

Abbildung 2.62 zeigt einen FIR-Hochpass 2. Ordnung (Berechnet mit Excel-Tabelle⁴ ). Im Vergleich zum Tiefpass zweiter Ordnung ist das Vorzeichen von α₁ gewechselt worden. Die Übertragungsfunktion sowie die weiteren Kenndaten sind:

Setzt man α₁ = 0 so erhält man aus dem Tiefpass oder Hochpass die in Abbildung 2.63 gezeigte FIR-Bandsperre 2. Ordnung (Berechnet mit Excel-Tabelle⁵ . Die Übertragungsfunktion sowie die weiteren Kenndaten sind:

Negiert man in der Bandsperre in Abbildung 2.63 α₂ so erhält man aus der Bandsperre einen Bandpass (Abbildung 2.64) (Berechnet mit Excel-Tabelle⁶ . Die Übertragungsfunktion sowie die weiteren Kenndaten sind:

Berechnung der Filterkoeffizienten für FIR-Filter Eine Einführung in die Berechnung der FIR-Filterkoeffizienten kann in Tietze-Schenk[TS80] gefunden werden. Es gibt zwei bevorzugte Verfahren zu dieser Berechnung: die Fenster-Methode und den Remez Exchange Algorithmus. Die zweite Methode ist ein auf Tschebyscheff-Polynomen beruhender Optimierungsalgorythmus, der eine minimale Anzahl von Filterkoeffizienten liefert.

Wie in der Gleichung (2.62) gezeigt wurde, ist die Antwort eines FIR-Filters auf eine Impulsanregung

(2.79)

Aus (2.79) folgt als Ausgangsfolge die Folge der Koeffizienten.

(2.80)

Nun sind bei einem linearen System die Impulsantwort und der Frequenzgang durch eine (inverse) Fouriertransformation ineinander überführbar. Für zeitdiskrete Systeme mit f_a = 1∕T_a sind die Werte der Impulsantwort für t = kT_a durch

(2.81)

aus dem Frequenzgang A_w gegeben. man erhält die gewünschten Koeffizienten, indem man (2.80) und (2.81) gleichsetzt.

Das resultierende Filter muss nach Tietze und Schenk[TS99] normalisieret und auf die gewünschte Grenzfrequenz umgerechnet werden.

2.6.2.5. IIR-Filter

Die zweite Klasse digitaler Filter stellen die rekursiven Filter oder Infinite Impulse Response-Filter dar. Da Ihre Impulsantwort wie die der analogen Filter unendlich lange dauert, kann man die analogen Filter auf die digitalen abbilden.

Zur Abbildung eines analogen Filters auf ein digitales Filter verwendet man die bilineare Transformation[TS80][LH93]. Um den Freqenzbereich [0…∞] des analogen Filters auf den Frequenzbereich [0…] des digitalen Filters abgebildet.

(2.82)

Wie gewünscht strebt für f →∞ die digitale Frequenz f′ → . Dabei ist die Verzerrung der Frequenzachse umso geringer, je geringer die Frequenz im Vergleich zur Taktfrequenz ist. Wir rechnen wieder mit normierten Frequenzen

Die Transformationsgleichung für die normierten Frequenzen ist dann

(2.84)

Bei der Transformation eines Tschebyschefftiefpasses (Abbildung 2.65) bleibt das charakteristische Überschwingen erhalten. Damit die Grenzfrequenz des ursprünglichen Tiefpasses und des neuen Tiefpasses gleich bleibt, ersetzen wir in Gleichuing (2.84) den Vorfaktor .

(2.85)

Man erkennt in Abbildung 2.65, dass nun der Frequenzgang des digitalen Filters erst über der Grenzfrequenz F_g abweicht. Die Variable P in der normierten Übertragungsfunktion wird

(2.86)

Unter Verwendung der Umformung

(2.87)

sowie mit der Definition von z ist

(2.88)

Die Form der obigen Gleichung erklärt den Namen ¨Bilineare Transformation¨. Sie bildet den Arbeitsbereich eines analogen Filters auf den eines digitalen ab. Abweichungen sind desto geringer, je grösser die Abtastfrequenz f_a im Vergleich zu den interessierenden Frequenzen ist. Aus

(2.89)

Wenn man die bilineare Transformation oben einsetzt, erhält man

(2.90)

Durch Koeffizientenvergleich erhält man schliesslich die Koeffizienten der Digitalfilter

(2.91)

IIR-Filter erster Ordnung

Für das in der Abbildung 2.66 dargestellte IIR-Filter erster Ordnung soll der analoge Frequenzgang (schliesst alle Filterarten ein)

(2.92)

auf das IIR-Filter

(2.93)

Der Koeffizientenvergleich ergibt

Die obigen Gleichungen angewandt auf einen allgemeinen Tiefpass A(P) = ergeben

Der Hochpass A(P) = wird in der digitalen Implementation

Bei einem digitalen Filter wird die Grenzfrequenz durch die Abtastfrequenz festgelegt. Dies bietet eine einfache Möglichkeit der Abstimmung des Filters.

IIR-Filter zweiter Ordnung

Die allgemeine Form eines analogen Filters zweiter Ordnung

(2.97)

wird durch die bilineare Transformation zu

(2.98)

der Übertragungsfunktion des digitalen IIR-Filters aus Abbildung 2.67. Die Koeffizienten sind:

Aus dem Tiefpass A(P) = erhält man das äquivalente IIR Filter mit den Koeffizienten

Der Hochpass A(P) = wird zu

Weiter wird der Bandpass A(P) = transformiert in

Die Bandsperre A(P) = transformiert sich in

Endlich wird aus dem Allpass A(P) = das folgende digitale IIR-Filter