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Unterabschnitte

• Arbeit und Energie bei konstanter Kraft, kinetische Energie
  • Beschleunigungsarbeit
• Arbeit und Energie bei veränderlicher Kraft
  • Spannarbeit, Arbeit bei veränderlicher Kraft
  • Nicht-lineares Kraftgesetz ( $F = -D r^2$)(F = -D r2)
• Allgemeine Formulierung der Arbeit bei 3 Dimensionen
  • Skalarprodukt
• Potentielle Energie
  • Gleichgewicht
• Energieerhaltungssatz
  • Harmonischer Oszillator
  • Mathematisches Schwerependel
  • Ebenes 2-dim. Pendel mit lin. Kraftgesetz
• Verallgemeinerter Energiesatz
• Leistung

Arbeit,Energie,Leistung

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 129]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 20])

Materialien

Quiz zur Energie

• Arbeit: Eine Kraft verrichtet nur dann Arbeit, wenn ihr Angriffspunkt sich unter der Einwirkung der Kraft eine gewisse Strecke bewegt. Nur die Kraftkomponente entlang der Bewegung entlang der Bewegungsrichtung trägt zur Arbeit bei. Wenn Sie unter grosser Kraftanstrengung einen Gegenstand in Position halten, dann leisten Sie im Sinne der Physik keine mechanische Arbeit.
• Energie bezeichnet die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu leisten. Leistet ein physikalisches System an einem zweiten Arbeit, dann wird Energie ausgetauscht. Energieformen sind die Bewegungsenergie, auch kinetische Energie genannt, die Lageenergie, potentielle Energie genannt, Energie der elektrostatischen und magnetischen Felder sowie Wärmeenergie.
• Leistung bezeichnet die rate des Energietransfers oder der Arbeit, also Arbeit pro Zeit.

Arbeit und Energie bei konstanter Kraft, kinetische Energie

Dieser Stoff wurde am 31.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 130])

Arbeit

Die Arbeit $W$ im obigen Bild ist

$$W = F \cos \Theta x = F_x x$$ (4.104)

Einheit der Arbeit oder Energie $1 J = 1 N m = 1 \frac{m^2 kg}{s^2}$

Beschleunigungsarbeit

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 29])

Materialien:

Folien zur Vorlesung am 06. 11. 2001 PDF

Übungsblatt 4 vom 06. 11. 2001 (HTML oder PDF)

Bei konstanter Beschleunigung und konstanter Masse ist

$$F_x = m a_x$$

Der zurückgelegte Weg ist nach Gleichung (3.24)

$$v_e^2 = v_0^2+ 2 a \Delta x <tex2html_comment_mark>326$$ (4.105)

Arbeit:

$$W = F_x \Delta x = m a_x \Delta x = m \left[\frac{v_e^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}\right] = \frac{1}{2}m v_e^2-\frac{1}{2}m v_0^2$$ (4.106)

Die Beschleunigungsarbeit ändert offensichtlich eine Grösse, die nur von der Masse und von der Geschwindigkeit abhängt.

Die kinetische Energie $E_{kin} = \frac{1}{2}m v^2$ ist die in der Bewegung innewohnende Energie, die zur Arbeitsleistung herangezogen werden kann

Arbeit und Energie bei veränderlicher Kraft

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 134])

Wenn die Kraft nicht konstant ist, so kann die Strecke $s$ in $n$ Teilstrecken $s/n$ aufgeteilt werden.

Die Fläche unter der Kurve ist dann

$$W = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sum\limits_{j=0}^{n-1} F_j \frac{s}{n} = \int\limits_{x_1}^{x_1+s} F_x(x)dx$$ (4.107)

Der Grenzwert ist das Integral.

Das Integral

$$W = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x) dx$$ (4.108)

ist die Definition der Arbeit

Beispiel: Fläche unter $g(\alpha) = \sin(\alpha)$

Das Resultat ist $\int\limits_0^\pi \sin(\alpha)d\alpha = \left. \cos(\alpha)\right\vert _0^\pi = 2$.

Fläche unter der Kurve $\sin(\alpha)$ zwischen 0 und $\pi$. Der Untertitel gibt die Anzahl Schritte sowie das numerische Resultat.

Spannarbeit, Arbeit bei veränderlicher Kraft

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 134]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 134])

Beispiel: wir spannen eine Feder.

Das Kraftgesetz einer Feder ist

$$F(x) = - kx$$ (4.109)

Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft entgegengesetzt zur Auslenkung gerichtet ist. $k$ mit der Einheit $N/m$ ist die Federkonstante.

Wenn ich als Experimentator die Feder spanne, dann muss ich die Kraft $F_{exp}(x)= -F(x)$ ausüben. Die Arbeit, die ich leiste, ist

$$W = \int\limits_0^x F_{exp}(\xi)d\xi = -\int\limits_0^x F(\xi) d\xi = \int\limits_0^x (-k\xi)d\xi$$ (4.110)

Die Spannarbeit beim Spannen von 0 nach $x$ ist also

$$W(x) =\int\limits_0^x F(\xi) d\xi = \int\limits_0^x -(- k \xi)d\xi$$ (4.111)

Wir müssen die von uns aufgebrachte Kraft, also die Reaktionskraft zur Federkraft, einsetzen und erhalten richtigerweise positive Kräfte. Die Arbeit, die die Feder verrichtet, ist gegeben aus der durch die Feder erzeugten Kraft und dem Weg: deshalb muss ein Minuszeichen weniger stehen.

Die Arbeit, die ich an einem System verrichte, wird in dem System als potentielle Energie gespeichert.

Eine äquivalente Aussage ist: Die potentielle Energie ist die Arbeit gegen die Feldkraft.

Nicht-lineares Kraftgesetz ( $F = -D r^2$)(F = -D r2)

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

Wir setzten das Kraftgesetz $F = -D r^2$ in die Gleichung (4.40) ein, berücksichtigen, dass wir gegen diese Kraft arbeiten müssen und erhalten

$$W = \int\limits_{r_1}^{r_2} -(-D r^2) dr = \left.\frac{D}{3} r^3\right\vert _{r_1}^{r_2} = \frac{D}{3}\left[r_2^3-r_1^3\right]$$ (4.112)

Allgemeine Formulierung der Arbeit bei 3 Dimensionen

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 137])

Wir betrachten einen Massepunkt, der sich auf einer beliebigen Bahn im 3-dimensionalen Raum bewegt. Bei der Kreisbewegung sahen wir, dass eine senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit gerichtete Beschleunigung den Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert. Wir betrachten nun zur Berechnung der Arbeit $W$ die entlang des Weges wirkende Kraft $F_s$.

$$\Delta W = F_s \Delta s$$ (4.113)

wobei $\Delta s$ die Länge einer an die Bahnkurve angelegten Sehne ist.

Grenzwert

$$W = \int\limits_{s_1}^{s_2} F_s ds$$ (4.114)

wobei die Länge der Strecke entlang der Bahnkurve mit $s$ gemeint ist.

2. Newtonsches Axiom

$$F_s = m \frac{dv}{dt}$$ (4.115)

Es gilt, wenn wir die Geschwindigkeit entlang der Bahnkurve $\vec{s}(t)$ mit der Kettenregel ausrechnen. $ds$ ist ein Weglängenelement entlang der Bahnkurve.

$$\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$$ (4.116)

Arbeit

$$W_{ges} = \int\limits_{s_1}^{s_2} F_s ds = \int\limits_{s_1}^{s_2... ...s}ds = \int\limits_{s_1}^{s_2} m v dv = \frac{1}{2} m v_2^2-\frac{1}{2} m v_1^2$$ (4.117)

In 3 Dimensionen ist die kinetische Energie wie in einer Dimension durch

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2$$ (4.118)

gegeben.

Skalarprodukt

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik[BSMM00, 189])

Ist $\vec{F}$ nicht entlang der Bahnkurve $d\vec{s}$ gerichtet, dann muss die Komponente von $\vec{f}$ entlang $d\vec{s}$ berechnet werden. Wenn der Winkel zwischen der Bahnkurve und der Kraft $\phi$ ist, gilt

$$F_s = (F \cos \phi)$$ (4.119)

Die Funktion, deren Resultat von einem Winkel zwischen zwei Vektoren abhängt, ist das Skalarprodukt.

Definition

$$\vec{A}\cdot \vec{B}= A B \cos\phi$$ (4.120)

Rechenregeln

• $\vec{A}\cdot \vec{A}= A^2$ Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber. Die Länge eines Vektors ist also $\vert\vec{A}\vert = \sqrt{\vert \vec{A}\vert^2} = \sqrt{\vec{A}\cdot \vec{A}}$
• $\vec{A}\cdot \vec{B}= \vec{B}\cdot \vec{A}$ Kommutativität
• $\left(\vec{A}+ \vec{B}\right) \cdot \vec{C}= \vec{A}\cdot \vec{C}+ \vec{B}\cdot \vec{C}$ Distributivgesetz
• $\vec{A}\cdot \vec{B}= \left(A_x \vec{e}_x +A_y \vec{e}_y +A_z \vec{e}_z\right)... ..._x \vec{e}_x +B_y \vec{e}_y +B_z \vec{e}_z\right) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$. Komponentenschreibweise. Bei der Rechnung muss berücksichtigt werden, dass die Einheitsvektoren $\vec{e}_i$ jeweils paarweise senkrecht aufeinander stehen. Deshalb sind alle Skalarprodukte $\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{i,j}$. Die Funktion $\delta_{i,j}$ hat zwei Werte
  $\delta_{i,j} = \left\{\begin{array}{lcl}0&\;\;\;\;&i \neq j\\ 1 & \;\;\;\; & i=j\end{array}\right.$

Nun ist die Arbeit entlang eines infinitesimalen Vektors $d\vec{s}$ entlang der Bahnkurve durch

$$dW = F \cos\phi ds = \vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.121)

oder in Integralform

Allgemeine Definition der Arbeit

$$W = \int\limits_{s_1}^{s_2} \vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.122)

Potentielle Energie

Dieser Stoff wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 129]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 22])

Die an einem System verrichtete Arbeit führt zu einer Änderung des Energieinhaltes eines Systems. Diese gespeicherte Energie kann bei Bedarf abgegeben werden. Sie heisst deshalb potentielle Energie

Potentielle Energien existieren nur, wenn die Kräfte konservativ sind.

• Eine Kraft heisst konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang einer geschlossenen Bahn null ist.
• Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massenpunkt verrichtet ist unabhängig vom Weg

Wenn ein System mit Hilfe seiner potentiellen Energie Arbeit verrichtet, dann nimmt seine potentielle Energie ab.

$$W = \int \vec{F}\cdot d\vec{s}= - \Delta E_{pot}$$ (4.123)

Anders gesagt,

$$dE_{pot} = -\vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.124)

$$\Delta E_{pot} = E_{pot,2}-E_{pot,1} = -W = -\int\limits_{s_1}^{s_2} \vec{F}\cdot d\vec{s}$$ (4.125)

Die Lageenergie eines Körpers in Nähe der Erdoberfläche ist (Kraft $\vec{F}_z = -m g \vec{e}_z$

$$dE_{pot} = -\vec{F}\cdot d\vec{s}= - (-m g \vec{e}_z)\cdot (dx \vec{e}_x + dy \vec{e}_y + dz \vec{e}_z) = m g\, dz$$ (4.126)

oder

$$E_{pot} = E-{pot,0}+mgz$$ (4.127)

Auf die Frage nach der Definition der potentiellen Energie mit $E_{pot}=mgh$ zu antworten ist falsch. Diese Formel ist ein Spezielfall, eine Anwendung der Gleichung

$$\Delta E_{pot} = E_{pot,2}-E_{pot,1} = -\int\limits_{s_1}^{s_2} \vec{F}\cdot d\vec{s},$$

was die richtige Antwort wäre.

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

Materialien

Folien zur Vorlesung am 07. 11. 2001 PDF

Beispiel: Feder

Die Federkraft ist $F = - kx$. Deshalb ist die potentielle Energie der Feder

$$E_{pot} = -\int_0^{x} F(\xi) d\xi = -\int_0^x -k\xi d\xi = k \int_0^x \xi d\xi = \frac{1}{2} k x^2$$ (4.128)

Beispiel: Feder mit progressiver Kennlinie

Sei $F(x) = -k ( x + x^3)$. Dann ist

$$E_{pot} = -\int_0^x -k(\xi+\xi^3)d\xi = k\int_0^x\xi + \xi^3d\xi = \frac{k}{2}x^2\left(1+\frac{x^2}{2}\right)$$ (4.129)

Gleichgewicht

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 147])

Die potentielle Energie $E_{pot}(\vec{r})$, die Bahnkurve $\vec{s}(\vec{r})$ und die Kraft $\vec{F}(\vec{r})$, die über die Gleichung (4.57) miteinander verbunden sind, hängen alle vom Ort ab. In einer Dimension ist klar, dass wenn

$$E_{pot} (s_2) = -\int\limits_{s_1}^{s_2} F(s) ds$$ (4.130)

ist, dass dann auch

$$F(s) = - \frac{dE_{pot}}{ds}$$ (4.131)

sein muss. In drei Dimensionen kann man sich überlegen, dass die drei Kraftkomponenten entlang der x-, der y- und der z-Achse die Bewegung in Richtung der jeweiligen anderen Achsen nicht beeinflussen (orthogonale Vektoren). Wir hatten bei der Behandlung des schiefen Wurfes gesehen, dass dies so war. Also scheint es angebracht, dass die x Komponente der Kraft nur von der Ableitung der potentiellen Energie nach x abhängt.

$$F_x(x,y,z) = -\frac{\partial E_{pot}}{\partial x}$$

$$F_y(x,y,z) = -\frac{\partial E_{pot}}{\partial y}$$

$$F_z(x,y,z) = -\frac{\partial E_{pot}}{\partial z}$$ (4.132)

Die Schreibweise $\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$ meint, dass man bei der Berechnung der Ableitung die Variablen $y$ und $z$ konstant setzt. Dies ist die partielle Ableitung nach $x$

Die drei Operationen aus Gleichung (4.65) schreibt man kompakt als Gradientenbildung

$$\vec{F}= - \textrm{grad} E_{pot} = -\left(\frac{\partial E_{pot}}... ...pot}}{\partial y}, \frac{\partial E_{pot}}{\partial z}\right) = -\nabla E_{pot}$$ (4.133)

$\nabla = \vec{e}_x \frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y \frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z \frac{\partial}{\partial z}$ heisst Nabla-Operator und ist eine Kurzschreibweise für die Bildung der drei partiellen Ableitungen.

Bei einer Feder ist die potentielle Energie $E_{pot} = \frac{1}{2}k x^2$. Die Kraft auf das Federende ist gegeben durch $F = -\frac{d E_{pot}}{dx} = -k x$. Für die Lage $x=0$ ist die Kraft auf das Federende null: dies ist eine Ruhelage. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage wirkt die Kraft so, dass das Federende gegen die Ruhelage beschleunigt wird (Minuszeichen in der Kraft).

Man unterscheidet die folgenden Gleichgewichte:

• Ein Teilchen befindet sich in einer Ruhelage, wenn die Kraft auf das Teilchen null ist, wenn also die Potentielle Energie ein Extremum hat $F = -\frac{d E_{pot}}{dx}$.
• Die Gleichgewichtslage heisst stabile Gleichgewichtslage, wenn die potentielle Energie ein Minimum hat (wie bei der Feder). Ein Minimum liegt vor, wenn die zweite Ableitung $\frac{d^2 E_{pot}}{dx^2}>0$ ist. Allgemeiner: Ein Minimum liegt vor, wenn die erste nicht verschwindende Ordnung der Ableitungen gerade ist und ihr Wert grösser null ist.
• Eine Gleichgewichtslage heisst labiles oder instabiles Gleichgewicht, wenn die potentielle Energie in der Gleichgewichtslage ein Maximum hat. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass die zweite Ableitung $\frac{d^2 E_{pot}}{dx^2}<0$ ist. Allgemeiner: Ein Maximum liegt vor, wenn die erste nicht verschwindende Ordnung der Ableitungen gerade ist und ihr Wert kleiner null ist.
• Ein indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn die erste Ableitung der potentiellen Energie in der Umgebung der Gleichgewichtslage konstant gleich null ist.

Beispiel: Kraft auf zwei Kondensatorplatten (Elektrostatische MEMS)

Ohne Beweis: Zwei Kondensatorplatten der Fläche $A$ im Abstand $x$ geladen auf die Spannung $U$ ziehen sich mit

$$F = - \epsilon\epsilon_0 \frac{A}{x^2}U^2$$ (4.134)

Die potentielle Energie ist dann

$$E_{pot}(x) = -\int\limits_x^\infty - \epsilon\epsilon_0 \frac{A}{x^2}U^2 dx$$

$$= \epsilon\epsilon_0 A U^2 \int\limits_x^\infty \frac{1}{x^2} dx$$

$$= \left.\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{x}U^2\right\vert _x^\infty$$

$$= -\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{x}U^2$$ (4.135)

Wenn wir nun eine Blattfeder mit der Aufhängung im Abstand $x_0$ montieren, so hat diese die potentielle Energie

$$E_{pot,Feder} = \frac{1}{2}k (x-x_0)^2$$ (4.136)

Zusammen ist die potentielle Energie

$$E_{pot,gesamt} = \frac{1}{2}k (x-x_0)^2-\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{x}U^2$$ (4.137)

Diese Funktion ist für verschiedene $x_0 = [0.5,1,2,3,4]$ gezeichnet (von rot bis türkis).

Die Kraft ist dann

$$F = -\frac{dE_{pot}}{dx} = -k(x-x_0)-\epsilon\epsilon_0\frac{A}{x^2}U^2$$ (4.138)

Kräfte berechnet für $x_0 = [0.5,1,2,3,4]$ (von rot bis türkis) und konstante angelegte Spannung. Für die beiden kleinsten Werte existiert keine Ruhelage.

Die Gleichgewichtslage wird mit $F(x_R) = 0$ berechnet. Uns interessiert die Ruhelage als Funktion der angelegten Spannung $U$. Die Bestimmungsgleichung ist von dritter Ordnung. Wenn $x_L$ ein Schätzwert ist, dann setzen wir $x_R = x_L+\Delta x$ ein und vernachlässigen alle Terme, in denen $\Delta x$ mit einer höheren als der ersten Potenz vorkommt.

$$= x_R^2(x_R-x_0)+\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2$$ 0

$$= x_R^3 - x_0 x_R^2+\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2$$

$$= (x_L+\Delta x)^3-x_0 (x_L + \Delta x)^2 +\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2$$

$$= x_L^3 + 3 x_L^2\Delta x + \ldots - x_0 x_L^2 -2 x_0 x_L \Delta x - \ldots +\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2$$ (4.139)

Aufgelöst ergibt sich die Rekursionsformel

$$\Delta x = -\frac{x_L^3 -x_0 x_L^2 + \epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2}{3 x_L^2 - 2 x_0 x_L}$$ (4.140)

Die erste Näherung erhalten wir, indem wir $x_L = x_0$ setzen.

$$\Delta x = -\frac{\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2}{x_0^2}$$ (4.141)

also

$$x_R = x_0 -\frac{\epsilon\epsilon_0 \frac{A}{k} U^2}{x_0^2}$$ (4.142)

1. (grün, bzw. lila) und 2. (rot bzw blau) Näherungslösung für die Gleichgewichtslage als Funktion der angelegten Spannung. Man beachte, dass die beiden Näherungslösungen nur für kleine Spannungswerte übereinstimmen. Die Diskrepanz rührt daher, dass dieses System eine eingebaute Instabilität besitzt und eine analytische Näherungslösung in deren Nähe versagt.

Energieerhaltungssatz

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 158]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 25])

Materialien

• Energieerhaltung und Zeit zum Durchlaufen einer Strecke
• Billard und Energieerhaltung

Bei einem rein mechanischen konservativen System muss die vom System geleistete in die Änderung der kinetischen Energie gesteckt werden.

$$W_{ges} = \int \vec{F}\cdot d\vec{s}= -\Delta E_{pot} = +\Delta E_{kin}$$ (4.143)

Anders geschrieben

$$\Delta E_{pot} +\Delta E_{kin} = \Delta (E_{pot} +E_{kin}) = 0$$ (4.144)

Das bedeutet, dass die mechanische Gesamtenergie

$$E = E_{pot} + E_{kin} = const$$ (4.145)

für konservative Systeme konstant ist. Dies ist der Energieerhaltungssatz der Mechanik.

Harmonischer Oszillator

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 394])

Bei einem harmonischen Oszillator wird Energie zwischen zwei Reservoirs hin und her verschoben, zwischen der kinetischen Energie und der potentiellen Energie.

Harmonischer Oszillator mit Feder-Masse-System, Federkonstante $k$, Masse $m$.

Potentielle Energie

$$E_{pot}(x) = \frac{1}{2}k x^2$$ (4.146)

Kinetische Energie mit $v(x)$

$$E_{kin}(x)=\frac{1}{2}m v^2(x)$$ (4.147)

Gesamtenergie

$$E_{tot}= E_{kin} + E_{pot} = \frac{1}{2}\left( k x^2 + m v^2(x)\right) = const$$ (4.148)

Potentielle Energie (rot) und kinetische Energie (Blau) beim harmonischen Oszillator

Mathematisches Schwerependel

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

In einem Potential $E_{pot}(z)$ gilt

$$E_{pot}(z) + \frac{1}{2} m v^2(z) = E = const$$ (4.149)

Die Geschwindigkeit ist also gegeben durch

$$v(z) = \sqrt{\frac{2\left[E-E_{pot}(z)\right]}{m}}$$ (4.150)

Beispiel:

Im Schwerefeld ist $E_{pot} = mgz$. Wenn $h$ die Referenzhöhe ist, gilt

$$v(z) = \sqrt{2g(h-z)}$$ (4.151)

Fadenpendel. Die Höhe ist $h=L - L\cos\alpha$.

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt, dass

$$E = E_{kin}+E_{pot} = \frac{1}{2}m v^2(h) + mgh$$ (4.152)

Wenn $h_{max}$ die Höhe bei der maximalen Auslenkung ist, dann ist

$$mgh_{max} = \frac{1}{2} m v^2(h) + mgh$$ (4.153)

Umgerechnet erhält man

$$v = \sqrt{2 g (h_{max}-h)}$$

$$= \sqrt{2 g (L(1-\cos\alpha_{max})-L(1-\cos\alpha))}$$

$$= \sqrt{2 g L (\cos\alpha -\cos\alpha_{max}) }$$ (4.154)

Ebenes 2-dim. Pendel mit lin. Kraftgesetz

Dieser Stoff wurde am 7.11.2001 behandelt

Ein zweidimensionales Pendel liegt vor, wenn die potentielle Energie durch

$$E_{pot} = \frac{1}{2} k \left(x^2 +y^2\right)$$ (4.155)

gegeben ist. Die Kraft ist

$$\vec{F}= - \nabla E_{pot} = -k\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ \end{array}\right)$$ (4.156)

Dieses Pendel zeigt Bewegungen, die in der x-Richtung und in der y-Richtung harmonische Funktionen sind, aber eine Phase beinhalten können.

$$\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c} x_0 \cos(\omega t)\\ y_0 \cos (\omega t +\phi)\\ \end{array}\right)$$ (4.157)

Dies sind Lissajous-Figuren.

Das Potential muss nicht rotationssymmetrisch sein. Wenn wir annehmen, dass die x- und die y-Achse Hauptachsen sind, dann kann das Potential als

$$E_{pot} = \frac{1}{2} \left(k_x x^2 + k_y y^2\right)$$ (4.158)

geschrieben werden. Die Kraft ist

$$\vec{F}= - \nabla E_{pot} = -\left(\begin{array}{c}k_x x\\ k_y y\\ \end{array}\right)$$ (4.159)

Dieses Pendel zeigt Bewegungen, die in der x-Richtung und in der y-Richtung harmonische Funktionen sind, aber wie vorher auch eine Phase beinhalten können.

$$\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c} x_0 \cos(\omega_x t)\\ y_0 \cos (\omega_y t +\phi)\\ \end{array}\right)$$ (4.160)

Diese Lissajous-Figuren beschreiben nur dann geschlossene Bahnen, wenn $\omega_x/\omega_y$ eine rationale Zahl ist.

Verallgemeinerter Energiesatz

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 158])

Wenn nichtkonservative Kräfte, also Reibungskräfte, vorhanden sind, dann gilt für die Arbeit, die in diese nichtkonservativen Kräfte geht:

$$-W_{nk} = \Delta E_{pot} + \Delta E_{kin} = \Delta E \leq 0$$ (4.161)

Die nichtkonservativen Kräfte verringern also die mechanische Energie eines Systems.

Leistung

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 165])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 13. 11. 2001 PDF

Übungsblatt 5 vom 13. 11. 2001 (HTML oder PDF)

Die Leistung gibt an, wie schnell Energie (Arbeit) von einem System auf ein zweites übertragen wird.

$$dW = \vec{F}\cdot d\vec{s}= \vec{F}\cdot \vec{v}dt$$ (4.162)

oder

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec{F}\cdot \vec{v}$$ (4.163)

Einheit: $1 \frac{J}{s} = 1 W \triangleq$ Watt

Beispiel:

Ein Lastwagen der Masse $m$ fährt einen Berg der Steigung $\alpha$ mit der Geschwindigkeit $v$ hoch. Was ist die minimal benötigte Leistung?

Es gilt:

$$v_z = v \sin\alpha$$ (4.164)

und damit

$$P = m g v_z = m g v \sin \alpha$$ (4.165)

Wenn die Masse des Lastwagens $m = 40000 kg$ und seine Geschwindigkeit $v= 10 m/s$ ist, erhalten wir

Winkel	Steigung [%]	Leistung [kW]
0	0	0
$\pi/1000$	0.314	12,3
$\pi/100$	3.14	123
$\pi/50$	6.3	246
$\pi/20$	15.8	614

Umgekehrt, wenn $P=400 kW$ ist, ist die maximale Geschwindigkeit

Winkel	Steigung [%]	Geschwindigkeit [m/s]
$\pi/1000$	0.314	325
$\pi/100$	3.14	32.45
$\pi/50$	6.3	16.23
$\pi/20$	15.8	6.52
$\pi/10$	32.5	3.24
$\pi/4$	100	1.30

Für einen Personenwagen mit $m=2000 kg$ und $P=100 kW$ gilt

Winkel	Steigung [%]	Geschwindigkeit [m/s]
$\pi/1000$	0.314	1625
$\pi/100$	3.14	162.3
$\pi/50$	6.3	81.2
$\pi/20$	15.8	32.6
$\pi/10$	32.5	16.2
$\pi/4$	100	6.5

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