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Unterabschnitte

• Massenmittelpunkt
  • Bewegung des Massemittelpunktes
• Impulserhaltung
• Massenmittelpunkt als Bezugssystem
• Kinetische Energie eines Teilchensystems
• Stösse in einer Dimension
  • Elastische Stösse
  • Inelastische Stösse
• Stösse in drei Dimensionen
• Kraftstoss
• Kraftstoss
• Rückstossantriebe
• Kraftstoss
• Rückstossantriebe

Teilchensysteme und Impulserhaltung

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 177])

Massenmittelpunkt

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 177])

Auf einer Geraden ist der Ort des Massenmittelpunktes $x_S$ ist durch

$$m_{ges} x_S = m_1 x_1 + m_2 x_2$$ (4.166)

Dies ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Position.

Allgemein für $n$ Massen

$$x_S = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$$ (4.167)

In drei Dimensionen bei $n$ Teilchen

$$\vec{r}_S = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{r}_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$$ (4.168)

Für kontinuierliche Massenverteilungen

$$\vec{r}_S = \frac{\int \vec{r}dm}{\int dm} = \frac{\int \vec{r}\rho(\vec{r}) dV}{\int \rho{\vec{r}} dV}$$ (4.169)

Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes:

Ein ebener Testkörper muss mindestens zweimal aufgehängt werden, um den Schwerpunkt $S$ zu finden. Bei einem nicht ebenen Körper sind mindestens drei Punkte nötig.

Bewegung des Massemittelpunktes

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 182])

Wiederholung: Definition des Schwerpunktes.

$$m_{ges} \vec{r}_S = \left(\sum\limits_{i=1}^n m_i\right) \vec{r}_S = \sum\limits_{i=1} m_i \vec{r}_i$$ (4.170)

Wir leiten ab und erhalten die Geschwindigkeit (die Masse soll konstant sein)

$$m_{ges} \frac{d \vec{r}_S}{dt} = m_{ges} \vec{v}_S = \sum\limits_{i=0}^n m_i \frac{d \vec{r}_i}{dt} = \sum\limits_{i=0}^n m_i \vec{v}_i$$ (4.171)

Wir leiten ab und erhalten die Beschleunigung (die Masse soll konstant sein)

$$m_{ges} \frac{d \vec{v}_S}{dt} = m_{ges} \vec{a}_S = \sum\limits_{i=0}^n m_i \frac{d \vec{v}_i}{dt} = \sum\limits_{i=0}^n m_i \vec{a}_i$$ (4.172)

Auf das $i$-te Massenstück wirken interne Kräfte $\vec{F}_{i,j}$ und externe Kräfte $\vec{F}_{i,a}$. Nach Newton gilt

$$\vec{F}_i = \sum\limits_{j=1,i\neq j}^{n} \vec{F}_{i,j} + \vec{F}_{i,a}$$ (4.173)

Die beiden letzten Gleichungen kombinieren

$$m_{ges}\vec{a}_S = \sum\limits_{i=1}^n\left[\sum\limits_{j=1,i\ne... ...1}^n\sum\limits_{j=1,i\neq j}^n \vec{F}_{i,j} +\sum\limits_{i=1}^n\vec{F}_{i,a}$$ (4.174)

Für die internen Kräfte gilt nach dem 3. Newtonschen Axiom

$$\vec{F}_{i,j} = - \vec{F}_{j,i}$$ (4.175)

Also wird die Doppelsumme über die internen Kräfte gleich null.

$$\vec{F}_{ext} = \sum\limits_{i=1}^n \vec{F}_{i,a} = m_{ges}\vec{a}_S$$ (4.176)

Ein System von Massen bewegt sich so, wie wenn die Summe aller äusseren Kräfte am Massenmittelpunkt angreifen würde.

Impulserhaltung

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 185])

Materialien

• Impulserhaltung und Bezugssysteme

Wir betrachten zwei Teilchen der Masse $m_i$, die die Kräfte $\vec{F}_{1,2}$ und $\vec{F}_{2,1}$ aufeinander ausüben.

2. Newtonsches Axiom:

$$\vec{F}_{2,1} = \frac{d\vec{p}_1}{dt}$$

$$\vec{F}_{1,2} = \frac{d\vec{p}_2}{dt}$$ (4.177)

3. Newtonsches Axiom $\vec{F}_{1,2} = - \vec{F}_{2,1}$

$$0 = \frac{d\vec{p}_1}{dt} + \frac{d\vec{p}_1}{dt} = \frac{d(\vec{p}_1+\vec{p}_2)}{dt}$$ (4.178)

Daraus folgt:

Wenn keine äusseren Kräfte wirken, gilt, dass $\vec{p}_1 +\vec{p}_2 = const$ ist, also dass der Gesamtimpuls erhalten wird. Die Formel lässt sich zwanglos auf eine beliebige Anzahl Teilchen erweitern.

$$\vec{p}_{ges} = \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{v}_i = m_{ges} \vec{v}_S$$ (4.179)

Nun ist nach dem 2. Newtonschen Axiom

$$\vec{F}_{ges} = \vec{F}_{ext} = \sum\limits_{i=1}^n \vec{F}_{i,a} = \frac{d \vec{p}_ {ges}}{dt}$$ (4.180)

Ohne äussere Kräfte

$$\vec{p}_{ges} = m_{ges} \vec{v}_S = \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{v}_i = const$$ (4.181)

Gesetz der Impulserhaltung

Massenmittelpunkt als Bezugssystem

Dieser Stoff wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 190])

Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicher Geschwindigkeit dargestellt im Laborsystem

Im Laborsystem sollen die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ sein. Wenn $v_S = \frac{v_1 m_1 + v_2 m_2}{m_1+m_2}$ die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist, ist

$$u_1 = v_1-v_S$$

$$u_2 = v_2-v_S$$ (4.182)

Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicher Geschwindigkeit dargestellt im Schwerpunktsystem

Im Schwerpunktsystem haben beide Lastwagen den gleichen Impuls (der Gesamtimpuls ist ja null). Also gilt dort

$$p_1 = -p_2 = m_1 u_1 = - m_2 u_2$$ (4.183)

Wenn wir einen elastischen Stoss annehmen, dann wird $u_1 \rightarrow u_1'=-u_1$ und $u_2 \rightarrow u_2'=-u_2$. Die neuen Geschwindigkeiten sind dann:

$$v_1' = u_1'+v_S = v_S-u_1$$

$$= 2 v_S - v_1 = \frac{2 m_1 v_1 + 2 m_2 v_2 -m_1 v_1 -m_2 v_1}{m_1+m_2}$$

$$= \frac{m_1 v_1 + m_2 (2 v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}$$

$$v_2' = u_2'+v_S = v_S-u_2$$

$$= 2 v_S - v_2 = \frac{2 m_1 v_1 + 2 m_2 v_2 -m_1 v_1 -m_2 v_2}{m_1+m_2}$$

$$= \frac{m_2 v_2 + m_1 (2 v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$$ (4.184)

Setzen wir $m_1 = 1000 kg$ (Smart), $m_2 = 3000 kg$ (z.B. Mercedes-Benz) und $v_1 = 10 m/s$ und $v_2 = -10 m/s$ (eine Frontalkollision in der 30-er Zone). Dann erhalten wir $v_1' = -20 m/s$ und $v_2' = 0 m/s$. Die gesamte kinetische Energie beider Autos wird also in das leichtere der beiden übertragen.

Setzen wir $m_1 = 1000 kg$ (Smart), $m_2 = 3000 kg$ (z.B. Mercedes-Benz) und $v_1 = 30 m/s = 108 km/h$ und $v_2 = 60 m/s = 216 km/h$ (eine Auffahrkollision auf der Autobahn). Dann erhalten wir $v_1' = 75 m/s = 270 km/h$ und $v_2' = 45 m/s = 162 km/h$, eine ziemlich unangenehme Situation für die Insassen des leichteren Autos.

Kinetische Energie eines Teilchensystems

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 194])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 14. 11. 2001 PDF

Wir betrachten ein System von $n$ Teilchen, jedes mit der Masse $m_i$ und der Geschwindigkeit $\vec v_i$. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit $\vec {v}_s = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_1 \vec {v}_i}{\sum\limits_{i_1}^n m_i}$. Jede Geschwindigkeit wird im Schwerpunktssystem zu $\vec {u}_i = \vec {v}_i - \vec {v}_S$.

Die kinetische Energie des Teilchensystems ist

$$E_{kin} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec {v}_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec {v}_i \cdot \vec {v}_i)$$ (4.185)

Die Geschwindigkeiten im Schwerpunktssystem eingesetzt ergibt

$$E_{kin} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec {v}_i \cdot \vec {v}_i)$$

$$= \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec {v}_S + \vec {u}_i) \cdot (\vec {v}_S + \vec {u}_i)$$

$$= v_s^2\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i + \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i u_i^2+ \vec {v}_S \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec {u}_i$$ (4.186)

Die letzte Summe ist der Impuls im Schwerpunktsystem, also null. Deshalb ist die gesamte kinetische Energie

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m_{ges} v_S^2 +E_{kin,rel}$$ (4.187)

wobei die kinetische Energie der Relativbewegung durch

$$E_{kin,rel} = \sum\limits_{i=0}^n m_i u_i^2$$ (4.188)

gegeben ist.

Die kinetische Energie eines Teilchensystems lässt sich als Summe von zwei kinetischen Energien schreiben, der kinetischen Energie $\frac{1}{2} m_{ges} v_S^2$ der Schwerpunktsbewegung, wobei $m_{ges}$ die gesamte Masse ist, und der kinetischen Energie der Relativbewegung $\sum\limits_{i=0}^n m_i u_i^2$, also der Bewegung $\vec {u}_i$ der einzelnen Teilchen relativ zum Schwerpunkt.

v_i$. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit $\vec{v}_s = \frac{\sum\limits_{i=1}^n m_1 \vec{v}_i}{\sum\limits_{i_1}^n m_i}$. Jede Geschwindigkeit wird im Schwerpunktssystem zu $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_S$.

Die kinetische Energie des Teilchensystems ist

$$E_{kin} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec{v}_i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec{v}_i \cdot \vec{v}_i)$$ (4.189)

Die Geschwindigkeiten im Schwerpunktssystem eingesetzt ergibt

$$E_{kin} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec{v}_i \cdot \vec{v}_i)$$

$$= \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i (\vec{v}_S + \vec{u}_i) \cdot (\vec{v}_S + \vec{u}_i)$$

$$= v_s^2\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i + \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i u_i^2+ \vec{v}_S \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{u}_i$$ (4.190)

Die letzte Summe ist der Impuls im Schwerpunktsystem, also null. Deshalb ist die gesamte kinetische Energie

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m_{ges} v_S^2 +E_{kin,rel}$$ (4.191)

wobei die kinetische Energie der Relativbewegung durch

$$E_{kin,rel} = \sum\limits_{i=0}^n m_i u_i^2$$ (4.192)

gegeben ist.

Stösse in einer Dimension

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 195])

Bei jedem Stoss gilt die Impulserhaltung $\sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{v}_{i,e} = \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{v}_{i,a}$, wobei $\vec{v}_{i,a}$ die Anfangsgeschwindigkeiten und $\vec{v}_{i,e}$ die Endgeschwindigkeiten sind.

Elastische Stösse

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 196])

Bei einem elastischen Stoss gilt zusätzlich die Energieerhaltung

$$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i v_{i,e}^2 = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i v_{i,a}^2$$ (4.193)

Als Beispiel berechnen wir den elastischen Stoss zweier Massen auf einer Geraden (eine Dimension)

$$m_1 v_{1,a}+m_2 v_{2,a} = m_1 v_{1,e}+m_2 v_{2,e}$$

$$\frac {1}{2}m_1 v_{1,a}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2,a}^2 = \frac {1}{2}m_1 v_{1,e}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2,e}^2$$ (4.194)

Wir erhalten aus der Energiebedingung

$$m_1 (v_{1,a}^2 -v_{1,e}^2) = m_2 (v_{2,a}^2 -v_{2,e}^2)$$ (4.195)

oder

$$m_1 (v_{1,a} -v_{1,e})(v_{1,a} +v_{1,e}) = m_2 (v_{2,a} -v_{2,e})(v_{2,a} +v_{2,e})$$ (4.196)

Die Impulsbedingung kann analog geschrieben werden

$$m_1 (v_{1,a} -v_{1,e}) = m_2 (v_{2,a} -v_{2,e})$$ (4.197)

Indem wir die Gleichung (4.125) durch die Gleichung (4.126) teilen ergibt sich

$$v_{1,a} +v_{1,e} = v_{2,a} +v_{2,e}$$ (4.198)

oder

$$-(v_{2,a} - v_{1,a}) = +v_{2,e}-v_{1,e}$$ (4.199)

Dies bedeutet, dass die Relativgeschwindigkeit der beiden Körper wohl das Vorzeichen, nicht aber den Betrag ändert.

Inelastische Stösse

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 201])

Bei einem inelastischen Stoss wird ein Teil der kinetischen Energie der Stosspartner in andere Energieformen umgewandelt. Meistens sind die anderen Energieformen die Wärmeenergie oder die Energie der plastischen Deformation. Denkbar ist aber auch eine Umwandlung in magnetische oder elektrische Energie.

Wir nehmen nun einen vollständig inelastischen Stoss an. Dann vereinen sich die Stosspartner $m_1$ und $m_2$ zu einer Masse $m_1+m_2$, die sich mit der Schwepunktsgeschwindigkeit $v_S$ fortbewegt.

$$m_1 v_{1,a} + m_2 v_{2,a} = (m_1+m_2)v_S$$ (4.200)

Bei jedem Stoss, auch beim inelastischen, gilt die Impulserhaltung

Impulserhaltung

$$p_{1,a} + p_{2,a} = m_1 v_{1,a} + m_2 v_{2,a} = p_e = (m_1 + m_2)v_e$$ (4.201)

oder

$$v_e = \frac{m_1 v_{1,a} + m_2 v_{2,a}}{m_1 + m_2} = v_S$$ (4.202)

Energiebetrachtung

Vor dem Stoss ist

$$E_{kin,a} = \frac{1}{2} \left( m_1 v_{1,a}^2 + m_2 v_{2,a}^2\right) = \frac{p_{1,a}^2}{2 m_1}+ \frac{p_{2,a}^2}{2 m_2}$$ (4.203)

Nach dem Stoss

$$E_{kin,e} = \frac{1}{2} \left( m_1 + m_2 \right)v_e^2 = \frac{p_e^2}{2(m_1+m_2)}$$ (4.204)

Vergleich

$$\frac{E_{kin,e}}{E_{kin,a}} = \frac{p_e^2}{2(m_1+m_2)\left(\frac{... ...)} = \frac{p_e^2 m_1 m_2}{(m_1+m_2)\left( m_2 p_{1,a}^2 + m_1 p_{2,a}^2\right)}$$ (4.205)

Für den Spezialfall, dass $p_{2,a}=0$ ergibt sich

$$\frac{E_{kin,e}}{E_{kin,a}} = \frac{ m_1 }{(m_1+m_2)}$$ (4.206)

Stösse in drei Dimensionen

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 203])

Bei elastischen Stössen von zwei Körpern der gleichen Masse im 2- oder 3-dimensionalen, bei dem ein Körper zu Beginn in Ruhe war, gilt aus der Energieerhaltung:

$$\frac{1}{2} m \vec{v}_{1,a}^2 = \frac{1}{2} m \vec{v}_{1,e}^2 + \frac{1}{2} m \vec{v}_{2,e}^2$$ (4.207)

oder

$$v_{1,a}^2 = v_{1,e}^2 + v_{2,e}^2$$ (4.208)

Dies ist aber die pythagoräische Gleichung, mit $v_{1,a}$ als Hypotenuse. Damit sind $v_{1,e}$ und $v_{2,e}$ Katheten und stehen damit senkrecht aufeinander.

Immer dann wenn zwei Teilchen der gleichen Masse, von denen eines am Anfang in Ruhe ist, elastisch stossen, ist der Winkel zwischen den beiden Endgeschwindigkeiten $\pi/2$.

Auch bei unterschiedlichen Massen ist jeder Stoss im Ruhesystem (vor dem Stoss) eines der beiden beteiligten Teilchens in einer Ebene.

Stoss mit allgemeinen Geschwindigkeiten

Im Ruhesystem des 2. Teilchens sind die Geschwindigkeitsvektoren aller Teilchen ($\vec{w}_1$, $\vec{w}_1'$ und $\vec{w}_2'$) in einer Ebene. Dies ist einsichtig, wenn man ein Koordinatensystem so legt, dass die x-Achse parallel zu $\vec{w}_1$ ist. In diesem Koordinatensystem hat der Gesamtimpuls nur eine x-Komponenten (vor und nach dem Stoss). Das bedeutet, dass die y- und z-Komponenten der impulse nach dem Stoss für die beiden Teilchen gegengleich sein müssen. Dann sind die Projektionen von $\vec{w}_1'$ und $\vec{w}_2'$ kollinear, also liegen $\vec w_1$, $\vec {w}_1'$ und $\vec {w}_2'$ in einer Ebene. Im ursprünglichen Laborsystem gilt die Aussage nicht mehr!

Im Detail ausgeführt für zwei gleich schwere Teichen geht die Rechnung wie folgt: Zur Betrachtung der Impulserhaltung legen wir das Koordinatensystem so, dass die x-Achse sich entlang von $\vec v_{1,a}$ befindet. Die y-Achse soll in der durch $\vec {v}_{1,e}$ und $\vec {v}_{2,e}$ aufgespannten Ebene sich befinden. Dann ist die Impulskomponente in die z-Richtung vorher und nachher null. Die Anfangs-Impulskomponente in die y-Richtung ist null und bleibt nach dem Stoss null: da die Massen gleich sind gilt auch

$$v_{2,e,y} = - v_{1,e,y} = - v_{e,y}$$ (4.209)

In x-Richtung erhalten wir

$$v_{1,a,x} = v_{1,e,x}+v_{2,e,x}$$ (4.210)

Zusammen mit der Energieerhaltung gilt

$$v_{1,a,x}^2 = (v_{1,e,x}+v_{2,e,x})^2 = (v_{1,e,x}+v_{e,y})^2 + (v_{2,e,x}- v_{e,y})^2$$ (4.211)

oder

$$2 v_{1,e,x} v_{2,e,x} = 2 (v_{1,e,x}-v_{2,e,x})v_{e,y} + 2 v_{e,y}^2$$ (4.212)

Wenn wir $v_{e,y}$ als Parameter annehmen und berücksichtigen, dass $v_{2,e,x}= v_{1,a,x}-v_{1,e,x}$ ist, dann ist

$$v_{1,e,x}(v_{1,a,x}-v_{1,e,x}) = (2 v_{1,e,x}- v_{1,a,x})v_{e,y} + v_{e,y}^2$$ (4.213)

und

$$v_{1,e,x}^2 + v_{1,e,x}(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})+ v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})$$ (4.214)

sowie

$$v_{1,e,x} = \frac{v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \sqrt{(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})^2 - 4 v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})}}{2}$$

$$= \frac{1}{2}v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.215)

und analog

$$v_{2,e,x} = \frac{1}{2}v_{1,a,x}+2 v_{e,y} \mp \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.216)

Kraftstoss

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 206])

Welche Kräfte wirken bei einem Stoss? Das 2. Newtonsche Axiom sagt, dass $\vec {F} = \frac{d\vec {p}}{dt}$ ist. Wir integrieren diese Gleichung über ein Zeitintervall von $t_1$ bis $t_2$.

$$\vec {p}(t_2) - \vec {p}(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec {F}(t) dt$$ (4.217)

Wenn also eine Kraft (die nicht konstant sein muss) über eine vorgegebene Zeit wirkt, resultiert eine Impulsänderung.

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Mit einem Kraftstoss oder einem Impulsübertrag kann die Wirkung einer sehr kurzzeitigen Kraft beschrieben werden, ohne dass genaue Details über den zeitlichen Verlauf der Kraft bekannt sein müssen.

w_1$, $\vec{w}_1'$ und $\vec{w}_2'$ in einer Ebene. Im ursprünglichen Laborsystem gilt die Aussage nicht mehr!

Im Detail ausgeführt für zwei gleich schwere Teichen geht die Rechnung wie folgt: Zur Betrachtung der Impulserhaltung legen wir das Koordinatensystem so, dass die x-Achse sich entlang von $\vec v_{1,a}$ befindet. Die y-Achse soll in der durch $\vec {v}_{1,e}$ und $\vec {v}_{2,e}$ aufgespannten Ebene sich befinden. Dann ist die Impulskomponente in die z-Richtung vorher und nachher null. Die Anfangs-Impulskomponente in die y-Richtung ist null und bleibt nach dem Stoss null: da die Massen gleich sind gilt auch

$$v_{2,e,y} = - v_{1,e,y} = - v_{e,y}$$ (4.218)

In x-Richtung erhalten wir

$$v_{1,a,x} = v_{1,e,x}+v_{2,e,x}$$ (4.219)

Zusammen mit der Energieerhaltung gilt

$$v_{1,a,x}^2 = (v_{1,e,x}+v_{2,e,x})^2 = (v_{1,e,x}+v_{e,y})^2 + (v_{2,e,x}- v_{e,y})^2$$ (4.220)

oder

$$2 v_{1,e,x} v_{2,e,x} = 2 (v_{1,e,x}-v_{2,e,x})v_{e,y} + 2 v_{e,y}^2$$ (4.221)

Wenn wir $v_{e,y}$ als Parameter annehmen und berücksichtigen, dass $v_{2,e,x}= v_{1,a,x}-v_{1,e,x}$ ist, dann ist

$$v_{1,e,x}(v_{1,a,x}-v_{1,e,x}) = (2 v_{1,e,x}- v_{1,a,x})v_{e,y} + v_{e,y}^2$$ (4.222)

und

$$v_{1,e,x}^2 + v_{1,e,x}(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})+ v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})$$ (4.223)

sowie

$$v_{1,e,x} = \frac{v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \sqrt{(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})^2 - 4 v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})}}{2}$$

$$= \frac{1}{2}v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.224)

und analog

$$v_{2,e,x} = \frac{1}{2}v_{1,a,x}+2 v_{e,y} \mp \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.225)

Kraftstoss

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 206])

Welche Kräfte wirken bei einem Stoss? Das 2. Newtonsche Axiom sagt, dass $\vec {F} = \frac{d\vec {p}}{dt}$ ist. Wir integrieren diese Gleichung über ein Zeitintervall von $t_1$ bis $t_2$.

$$\vec {p}(t_2) - \vec {p}(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec {F}(t) dt$$ (4.226)

Wenn also eine Kraft (die nicht konstant sein muss) über eine vorgegebene Zeit wirkt, resultiert eine Impulsänderung.

Wirkung eines Kraftstosses

$$\left< \vec {F} \right> = \frac{1}{t_2-t_1} \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec {F} (t) dt$$ (4.227)

Rückstossantriebe

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 210])

[width=0.8]rakete.eps

Geschwindigkeiten und Massen bei einer Rakete

Der Gesamtimpuls des Systems bleibt $p$ oder ändert sich um $F_{ext} \Delta t$.

Zur Zeit $t+\Delta t$ ist die Masse $m$ um $\Delta m$ geändert. Die neue Masse ist also $m(t+\Delta t) = m -\Delta m$. Wir wollen zum Schluss unserer Überlegungen auf eine Differentialgleichung kommen, die wir integrieren können. Dabei nimmt die Masse $m$ ab. Wir erhalten eine vorzeichenrichtige Gleichung, wenn wir $dm = -\Delta m$ schreiben. Da die Obergrenze $m_e < m_a$ im späteren Integral kleiner als die Untergrenze $m_a$ ist, erhalten wir wieder die ursprüngliche Ü v_1,a$ befindet. Die y-Achse soll in der durch $\vec{v}_{1,e}$ und $\vec{v}_{2,e}$ aufgespannten Ebene sich befinden. Dann ist die Impulskomponente in die z-Richtung vorher und nachher null. Die Anfangs-Impulskomponente in die y-Richtung ist null und bleibt nach dem Stoss null: da die Massen gleich sind gilt auch

$$v_{2,e,y} = - v_{1,e,y} = - v_{e,y}$$ (4.228)

In x-Richtung erhalten wir

$$v_{1,a,x} = v_{1,e,x}+v_{2,e,x}$$ (4.229)

Zusammen mit der Energieerhaltung gilt

$$v_{1,a,x}^2 = (v_{1,e,x}+v_{2,e,x})^2 = (v_{1,e,x}+v_{e,y})^2 + (v_{2,e,x}- v_{e,y})^2$$ (4.230)

oder

$$2 v_{1,e,x} v_{2,e,x} = 2 (v_{1,e,x}-v_{2,e,x})v_{e,y} + 2 v_{e,y}^2$$ (4.231)

Wenn wir $v_{e,y}$ als Parameter annehmen und berücksichtigen, dass $v_{2,e,x}= v_{1,a,x}-v_{1,e,x}$ ist, dann ist

$$v_{1,e,x}(v_{1,a,x}-v_{1,e,x}) = (2 v_{1,e,x}- v_{1,a,x})v_{e,y} + v_{e,y}^2$$ (4.232)

und

$$v_{1,e,x}^2 + v_{1,e,x}(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})+ v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})$$ (4.233)

sowie

$$v_{1,e,x} = \frac{v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \sqrt{(2 v_{e,y}-v_{1,a,x})^2 - 4 v_{e,y}(v_{e,y}-v_{1,a,x})}}{2}$$

$$= \frac{1}{2}v_{1,a,x}-2 v_{e,y} \pm \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.234)

und analog

$$v_{2,e,x} = \frac{1}{2}v_{1,a,x}+2 v_{e,y} \mp \frac{1}{2} v_{1,a,x}$$ (4.235)

Kraftstoss

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 206])

Welche Kräfte wirken bei einem Stoss? Das 2. Newtonsche Axiom sagt, dass $\vec{F}= \frac{d\vec{p}}{dt}$ ist. Wir integrieren diese Gleichung über ein Zeitintervall von $t_1$ bis $t_2$.

$$\vec{p}(t_2) - \vec{p}(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) dt$$ (4.236)

Wenn also eine Kraft (die nicht konstant sein muss) über eine vorgegebene Zeit wirkt, resultiert eine Impulsänderung.

Wirkung eines Kraftstosses

$$\left< \vec{F}\right> = \frac{1}{t_2-t_1} \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t) dt$$ (4.237)

Rückstossantriebe

Dieser Stoff wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 210])

Geschwindigkeiten und Massen bei einer Rakete

Der Gesamtimpuls des Systems bleibt $p$ oder ändert sich um $F_{ext} \Delta t$.

Zur Zeit $t+\Delta t$ ist die Masse $m$ um $\Delta m$ geändert. Die neue Masse ist also $m(t+\Delta t) = m -\Delta m$. Wir wollen zum Schluss unserer Überlegungen auf eine Differentialgleichung kommen, die wir integrieren können. Dabei nimmt die Masse $m$ ab. Wir erhalten eine vorzeichenrichtige Gleichung, wenn wir $dm = -\Delta m$ schreiben. Da die Obergrenze $m_e < m_a$ im späteren Integral kleiner als die Untergrenze $m_a$ ist, erhalten wir wieder die ursprüngliche berlegung.⁴

$$p_a = mv = p_e = (m+d m)(v+d v) + (-d m) (v - u_{aus})$$

$$= m v + d m v + m d v + d m d v - d m v + d m u_{aus}$$

$$\approx m v + m d v + d m u_{aus}$$ (4.238)

indem die quadratisch kleinen Summanden vernachlässigt werden.

Also bekommt man

$$\Delta p = p_e - p_a = m \Delta v + u_{aus} \Delta m = F_{ext} \Delta t$$ (4.239)

oder

$$m \frac{dv}{dt} = -u_{aus} \frac{dm}{dt} + F_{ext}$$ (4.240)

Bei konstanter äusserer Kraft ist⁵

$$v_e = v_a - g t_v + u_{aus}\ln\frac{m_a}{m_e}$$ (4.241)

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