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Unterabschnitte

• Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung
• Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen
• Feder-Masse-System im Schwerefeld
• Pendel im Schwerefeld
  • Mathematisches Pendel
  • Physikalisches Pendel
  • Torsionspendel
• Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten

Harmonische Schwingungen

Dieser Stoff wurde am 9. 1. 2002 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 379]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 141])

Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems

Die Kraft auf die Masse ist durch

$$F = -k x$$ (8.431)

gegeben, wobei $k$ die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Masse beschleunigt, so dass

$$F = -kx = ma = m\frac{d^2 x}{dt^2}$$

Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung

$$a=\frac{d^2 x}{dt^2} = - \left(\frac{k}{m}\right) x$$ (8.432)

Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweise wird die obige Gleichung auch als

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \left(\frac{k}{m}\right) x = 0$$ (8.433)

geschrieben. Die Bewegung ist periodisch mit der Frequenz $\nu = 1/T$, wobei $T$ die Schwingungsdauer ist.

Frequenzen werden in Hertz $Hz = 1/s$ gemessen. Die Kreisfrequenz $\omega$ hängt über $\omega = 2 \pi \nu$ mit der Frequenz $\nu$ zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden.

Die Lösung der Gleichung (8.3) ist

$$x = A \cos\left(\omega t + \delta\right)$$ (8.434)

• $A$ ist die Amplitude der Schwingung
• $\omega$ die Kreisfrequenz
• $\delta$ die Phase

Diese Lösung wird durch die Simulation illustriert. Die Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die Position beim Nulldurchgang ist $x(0) = A\cos\delta$.

Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch.

Die Geschwindigkeit der Masse ist

$$v = \frac{dx}{dt} = - A \omega \sin\left(\omega t + \delta\right)$$ (8.435)

Die Geschwindigkeit bei $t=0$ ist $v(0) = -A\omega\sin\delta$. Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, $A$ und $\omega$ unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit $t=0$ und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.

Die Beschleunigung ist

$$a = \frac{d^2x}{dt^2} = - A \omega^2 \cos\left(\omega t + \delta\right)$$ (8.436)

Mit Gleichung (8.2) kann man schreiben

$$a = - \left(\frac{k}{m}\right) x = - \left(\frac{k}{m}\right) A \cos\left(\omega t + \delta\right) - A \omega^2 \cos\left(\omega t + \delta\right)$$ (8.437)

und damit

$$\omega^2 = \frac{k}{m}$$ (8.438)

Damit sind die Frequenz und die Schwingungsdauer

$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ (8.439)

Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (lineares System).

Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung

Dieser Stoff wurde am 9. 1. 2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 387])

Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung

Da die Funktionen $\sin\omega t$ und $\cos\omega t$ beide die Schwingungsgleichung erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe auch die Simulation). Nach der Definition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius $A$ auf die $x$-Achse gerade der Cosinus.

Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen

Dieser Stoff wurde am 9. 1. 2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 388])

Die potentielle Energie einer um die Länge $x$ ausgelenkten Feder ist

$$E_{pot}(t) = \frac{1}{2} k x^2(t)$$ (8.440)

Die kinetische Energie ist

$$E_{kin}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t)$$ (8.441)

Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert

$$E_{ges}(t) = \textrm{const} = E_{kin}(t)+E_{pot}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) + \frac{1}{2} k x^2(t)$$ (8.442)

Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung $\vert x(t)\vert = A$ ist die Geschwindigkeit $v(t)=0$. Also ist bei einem harmonischen Oszillator

$$E_{ges} = \frac{1}{2} k A^2$$ (8.443)

die Gesamtenergie.

Setzen wir die Lösung $x(t) = A\cos\left(\omega t + \delta\right)$ und damit auch $\frac{dx(t)}{dt} = - A\omega\sin\left(\omega t + \delta\right)$ jeweils ein, erhalten wir

$$E_{pot}(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \left(\omega t + \delta\right)$$

$$E_{kin}(t) = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2\left(\omega t + \delta\right)$$

$$= \frac{1}{2} k A^2 \sin^2\left(\omega t + \delta\right)$$ (8.444)

wobei wir $\omega^2 = k/m$ verwendet haben. Die Gesamtenergie ist

$$E_{ges}(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 \left(\omega t + \delta\right) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2\left(\omega t + \delta\right)$$

$$= \frac{1}{2} k A^2 \left[\sin^2\left( \omega t + \delta\right)+\cos^2 \left(\omega t + \delta\right)\right]$$

$$= \frac{1}{2} k A^2$$ (8.445)

unabhängig von $t$. Der Energiegehalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her.

Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator.

Beispiele:

• Kinetische und potentielle Energie beim Pendel oder beim Feder-Masse-System
• Energie im elektrischen und im magnetischen Feld (Schwingkreis)
• Energie im elektrischen Feld und im Gravitationsfeld

Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase $\Theta = \omega t + \delta$ wie folgt geschrieben werden:

$$E_{pot}(t) = E_{ges}\cos^2\Theta$$

$$= E_{ges}\frac{1}{2}\left(1+\cos 2\Theta\right)$$

$$E_{kin}(t) = E_{ges} \sin^2\Theta$$

$$= E_{ges}\frac{1}{2}\left(1-\cos 2\Theta\right)$$ (8.446)

Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte

$$\left<E_{pot}\right> = \left<E_{kin}\right> = \frac{1}{2}E_{ges}$$ (8.447)

sind.

Feder-Masse-System im Schwerefeld

Dieser Stoff wurde am 9.1.2002 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 392])

Schwingendes System im Schwerefeld

Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung

$$m\frac{d^2 x}{dt^2} = -kx +mg$$ (8.448)

beschrieben (1. Simulation und 2. Simulation). Die Ruhelage ist durch $0=-k x_0 + mg$ gegeben. Also ist

$$x_0 = \frac{mg}{k}$$ (8.449)

Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate $x' = x-x_0$ verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme $x$ und $x'$ sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen $\frac{dx}{dt} = \frac{dx'}{dt}$ und die zweiten Ableitungen $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2x'}{dt^2}$ gleich. Deshalb wird Gleichung (8.18)

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k\left(x'+x_0\right) +mg = -kx' -kx_0 +mg = -kx'$$ (8.450)

da $kx_0 = mg$ ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung

$$x'(t) = A\cos\left(\omega t +\delta \right)$$ (8.451)

Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage $x_0$ ist

$$E_{pot,F} = \frac{1}{2} k \left(x'+x_0\right)^2 - \frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} k x'^2 + k x' x_0 = \frac{1}{2} k x'^2 + m g x'$$ (8.452)

da $kx_0 = mg$ ist. Zusätzlich gibt es die potentielle Energie der Gravitation $E_{pot,g} = -mgx'$ bezogen auf die Ruhelage. Die gesamte potentielle Energie ist die Summe aus den potentiellen Energien der Feder und der Gravitation.

$$E_{pot} = E_{pot,F}+E_{pot,g}=\frac{1}{2} k x'^2 + m g x'- mgx' = \frac{1}{2} k x'^2$$ (8.453)

Diese potentielle Energie ist unabhängig von $g$, wenn wir von der jeweiligen Ruhelage aus rechnen.

Pendel im Schwerefeld

Dieser Stoff wurde am 15.1.2002 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 394])

Materialien

Übungsblatt 12 vom 15. 1. 2002 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 15. 01. 2002 PDF

Mathematisches Pendel

Mathematisches Pendel im Schwerefeld

Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse $m$ aufgehängt an einem masselosen Faden der Länge $L$.

Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge

$$s = L\phi$$ (8.454)

Die Kraft tangential an den Bogen $-mg\sin \phi$ beschleunigt die Masse $m$. Die Bewegungsgleichung ist

$$-mg \sin\phi = m\frac{d^2 s}{dt^2}$$ (8.455)

Umgeschrieben erhalten wir

$$\frac{d^2 s}{dt^2} = - g\sin\phi = - g \sin\frac{s}{L}$$ (8.456)

Für sehr kleine Winkel $\phi \ll 1$ ist $\sin\phi \approx \phi$. Damit wird die obige Gleichung

$$\frac{d^2 s}{dt^2} = - g \frac{s}{L} = \frac{g}{L} s$$ (8.457)

Mit $g/L = \omega^2$ erhalten wir die Schwingungsgleichung

$$\frac{d^2 s}{dt^2} = - \omega^2 s$$ (8.458)

deren Lösung $s(t) = s_0\cos\left(\omega t + \delta\right)$ bekannt ist (Simulation). Die Schwingungsdauer ist

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ (8.459)

Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left[1+\frac{1}{2^2}\sin^2\left(\frac{... ...t(\frac{3}{4}\right)^2\sin^4\left(\frac{1}{2}\frac{s_0}{L}\right)+\ldots\right]$$ (8.460)

gegeben.

Physikalisches Pendel

Physikalisches Pendel. $A$ ist der Aufhängungspunkt, $S$ der Massenmittelpunkt.

Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Drehpunktes $A$ rechnen. Das Drehmoment ist

$$M = I\alpha = I \frac{d^2\phi}{dt^2}$$ (8.461)

Die Bewegungsgleichung ist also

$$-mgd \sin\phi = I \frac{d^2\phi}{dt^2}$$ (8.462)

In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung

$$\frac{d^2\phi}{dt^2} + \frac{mgd}{I} \sin\phi =0$$ (8.463)

Mit $\frac{mgd}{I} = \omega^2$ und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physikalische Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung

$$\frac{d^2\phi}{dt^2} + \omega^2 \phi =0$$ (8.464)

Die Schwingungsdauer ist

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$$ (8.465)

Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers

$$I = \frac{m g d T^2}{4\pi^2}$$ (8.466)

Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das Trägheitsmoment nach Gleichung (4.176) $I = \frac{1}{3} m \ell^2$. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also $d = \frac{1}{2}\ell$. Damit wird die Schwingungsdauer

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{3} m\ell^2}{m g \frac{1}{2} \ell}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\ell}{3g}}$$

Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.

Torsionspendel

Torsionspendel (analog zur Gravitationswage)

Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dient zur Winkelbeschleunigung des Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment $I$

$$M = -D\phi = I\frac{d^2 I}{dt^2}$$ (8.467)

Wieder setzen wir $\omega^2 = \frac{D}{I}$. Die Periodendauer ist

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}}$$ (8.468)

Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten

Dieser Stoff wurde am 15.1.2002 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 400])

Wir nehmen eine allgemeine Potentialfunktion

$$E_{pot}(x) = E_{pot}(x_0) + \left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\ve... ...left.\frac{1}{2}\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0} (x-x_0)^2 + \ldots$$ (8.469)

an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt $x_0$. Dieser Punkt soll ein Gleichgewichtspunkt sein $\left(\left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\vert _{x_0}=0\right)$. Dann ist die Kraft $F(x) = -\frac{dE_{pot}(x)}{dx}$ als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Die Steigung der Kraft-Distanz-Kurve, die Federkonstante $k$ ist durch die zweite Ableitung gegeben.

Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen die Schwingungsgleichung

$$= m \frac{d^2x}{dt^2} + \left.\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0} (x-x_0)$$ 0

$$= \left.\frac{dE_{pot}(x)}{dx}\right\vert _{x_0}$$ 0 (8.470)

geschrieben werden. Die Schwingungsdauer für kleine Bewegungen ist

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{m}\cdot \left.\frac{d^2E_{pot}(x)}{dx^2}\right\vert _{x_0}}$$ (8.471)

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